• 数学 闵行区2011年高三试卷
填空题 本大题共14小题,每小题4分,共56分。把答案填写在题中横线上。
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1.函数的定义域为_______。

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2.已知集合,若的值是_______。

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3.若是单位矩阵,则_______.

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4.已知为复数,若,则_______.

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5.在的展开式中项的系数为_______.

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6.若关于的三元一次方程组有唯一解,则的取值的集合是_______.

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7.已知地球的半径为,在北纬东经有一座城市,在北纬西经有一座城市,则坐飞机从城市飞到的最短距离是_______.(飞机的飞行高度忽略不计)

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8.已知等差数列的各项均不为零,且公差,若是一个与无关的常数,则_______.

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9.已知一随机变量的分布列如下表,则随机变量的方差_______.

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10.在极坐标系中,点为曲线的对称中心,则三角形面积等于_______

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11.若框图所给的程序运行的结果为,那么判断框中应填入的关于的判断条件是_______ 

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12.若函数存在反函数,且函数的图像过点,则函数的图像一定过点_______.

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13.用符号表示小于的最大整数,如,有下列命题:

①若函数,则的值域为

②若,则方程有三个根;

③若数列是等差数列,则数列也是等差数列;

④若,则的概率为

则所有正确命题的序号是_______.

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14.设且为常数。若存在一公差大于的等差数列,使得为一公比大于的等比数列,请写出满足条件的一组的值_______.(答案不唯一,一组即可)

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单选题 本大题共4小题,每小题5分,共20分。在每小题给出的4个选项中,有且只有一项是符合题目要求。
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15.若直线的一个法向量,则直线的一个方向向量和倾斜角分别为(    )

A

B

C

D

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16.在△中,“”是“△为钝角三角形”的(  )

A充分必要条件

B必要不充分条件

C充分不必要条件

D既不充分又不必要条件

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18.已知数据是上海普通职工个人的年收入,设这个数据的中位数为,平均数为,方差为,如果再加上世界首富的年收入,则这个数据中,下列说法正确的是(     )

A 年收入平均数大大增大,中位数一定变大,方差可能不变

B 年收入平均数大大增大,中位数可能不变,方差变大

C 年收入平均数大大增大,中位数可能不变,方差也不变

D 年收入平均数可能不变,中位数可能不变,方差可能不变

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17.一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是一个底角为,腰和上底均为1的等腰梯形,则原平面图形的面积为(       )

A

B

C

D

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简答题(综合题) 本大题共74分。简答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
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19.在直三棱柱中,,且异面直线所成的角等于,设


(1)求的值;
(2)求直线到平面的距离。

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20. 在中, 分别为角的对边,且满足

(1)求角大小;

(2)若,求的面积的最大值。

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21. 为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗,房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层.某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层,每厘米厚的隔热层建造成本为6万元.该建筑物每年的能源消耗费用(单位:万元)与隔热层厚度(单位:cm)满足关系:,若不建隔热层,每年能源消耗费用为8万元.设为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和.

(1)求的值及的表达式;

(2)隔热层修建多厚时,总费用达到最小,并求最小值。

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22.如图,已知椭圆,以该椭圆上的点和椭圆的左、右焦点为顶点的三角形的周长为.一等轴双曲线的顶点是该椭圆的焦点,设为该双曲线上异于顶点的任一点,直线与椭圆的交点分别为

(1)求椭圆和双曲线的标准方程;

(2)设直线的斜率分别为,证明

(3)是否存在常数,使得恒成立?若存在,求的值;若不存在,请说明理由。

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23. 一青蛙从点开始依次水平向右和竖直向上跳动,其落点坐标依次是,(如图所示,坐标以已知条件为准),表示青蛙从点到点所经过的路程。

(1) 若点为抛物线准线上一点,点均在该抛物线上,并且直线经过该抛物线的焦点,证明

(2)若点要么落在所表示的曲线上,要么落在所表示的曲线上,并且,试写出(不需证明);

(3)若点要么落在所表示的曲线上,要么落在所表示的曲线上,并且,求的表达式。

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