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数学 浦东新区2017年高三第二次模拟考试
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试卷目录
1、填空题
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
2、单选题
13
14
15
16
3、简答题
17
18
19
20
21
  • 真题试卷
  • 模拟试卷
填空题 本大题共12小题，每小题5分，共60分。把答案填写在题中横线上。
1
题型：填空题
|
分值: 5分

1. _________________.

正确答案

解析

．

考查方向

求数列极限

解题思路

先把分子展开,再把分子和分母同时除以,根据求极限的法则计算即可.

易错点

根据分式的性质变形

1
题型：填空题
|
分值: 5分

6. 一个总体分为、两层，其个体数之比为4:1，用分层抽样方法从总体中抽取一个容量为10的样本，已知层中甲、乙都被抽到的概率为，则总体中的个数为_________________.

正确答案

40

解析

由分层抽样可得B层抽取的个数为，

设B层的个体数为，由已知可得：，

即，解得：，

不合题意，舍去，

∴，即B层的个体数为8，

∴总体中的个数为．

考查方向

分层抽样；古典概型

解题思路

先根据分层抽样方法求出B层抽取的个数，再根据古典概型求出B层的个体数，即可得出总体的个数．

易错点

根据古典概型求B层的个体数

1
题型：填空题
|
分值: 5分

8. 设为的反函数，则的最大值为_________________.

正确答案

解析

∵为增函数，

∴，也为增函数，且，

∴为增函数，

当时，．

考查方向

反函数

解题思路

根据反函数的定义求出的定义域、值域及单调性，即可得出所求函数的最大值．

易错点

反函数与原函数的关系

1
题型：填空题
|
分值: 5分

正确答案

解析

∵，

∴，，

∵，

∴，

当最小时，，

∴，，

此时，与的夹角为．

考查方向

平面向量的性质

解题思路

根据求出，从而得出的最小值，从而得出所求的夹角

易错点

求出的夹角为

1
题型：填空题
|
分值: 5分

2. 已知角的终边过点，则_________________.

正确答案

解析

点到原点的距离，

．

考查方向

任意角三角函数的定义

解题思路

求出点到原点的距离r，再根据任意角三角函数的定义计算

易错点

任意角三角函数的定义中与的区别

1
题型：填空题
|
分值: 5分

3. 某圆锥底面半径为4，高为3，则此圆锥的侧面积为_________________.

正确答案

解析

∵母线，底面圆的周长，

∴此圆锥的侧面积为．

考查方向

圆锥的体积和表面积

解题思路

求出圆锥的母线及底面圆的周长，根据扇形面积公式计算即可

易错点

扇形面积公式

1
题型：填空题
|
分值: 5分

4. 若、是双曲线的两个焦点，点在双曲线上，则的面积为_________________.

正确答案

解析

∵，

∴，，

∴，

把代入,

得，

∴．

考查方向

双曲线的几何性质

解题思路

根据双曲线的几何性质求出c，得出的长，把代入，求出，再根据三角形面积公式计算．

易错点

双曲线中的关系与椭圆中的关系的区别

1
题型：填空题
|
分值: 5分

5. 已知关于、的二元一次方程组无解，则_________________.

正确答案

解析

∵关于、的二元一次方程组 无解，

∴直线与直线平行，

∴，且

解得：．

考查方向

两直线的位置关系

解题思路

由二元一次方程组无解，可知两直线平行，根据两直线平行的条件求a．

易错点

没有考虑到这个条件

1
题型：填空题
|
分值: 5分

7. 在的表格上填入数字，设在第行第列所填的数字为，，且，则表格中共有5个1的填表方法种数为_________________.

正确答案

326

解析

∵当时,有5种结果；当时，有种组合，

∴表格中共有5个1的填表方法种数为．

考查方向

组合

解题思路

把分为和两种情况，根据分类计数原理及组合知识计算．

易错点

分类计数原理与分步计数原理的使用

1
题型：填空题
|
分值: 5分

9. 已知数列的首项，数列为等比数列，且，又，则_________________.

正确答案

4034

解析

∵，

∴，

，

，

……

，

∵为等比数列，

∴，

∴．

考查方向

等比数列的性质

解题思路

根据已知的递推公式得出的表达式，再根据等比数列的性质计算即可．

易错点

推导的表达式

1
题型：填空题
|
分值: 5分

11. 定义，已知实数、满足，，设，则的取值范围为_________________.

正确答案

解析

由已知可得，

最大时过点，此时；

最小时过点，此时．

考查方向

线性规划

解题思路

先根据已知得出z的函数式，再根据线性规划问题求解即可．

易错点

通过定义求出z的函数式表达式

1
题型：填空题
|
分值: 5分

正确答案

解析

由已知可得最小正周期，

一条对称轴为，一个对称中心为：，

所以最小周期为．

考查方向

的图象和性质

解题思路

根据已知条件求出对称轴和对称中心，根据的性质即可求出周期．

易错点

根据已知求对称轴和对称中心

单选题 本大题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的4个选项中，有且只有一项是符合题目要求。
1
题型： 单选题
|
分值: 5分

13. 已知、、满足，且，那么下列各式中一定成立的是（   ）

A

B

C

D

正确答案

D

解析

由可得a，c异号，又由，可得a>0，c<0，

A. 由可得，又，所以，A错；

B.由，则，B错；

C.当b=0时，，C错；

D. 因为，所以，D对．

考查方向

不等式的性质

解题思路

根据已知条件得出a>0，c<0，再对每个选项进行判断即可

易错点

在C选项中未考虑到b=0的情况

1
题型： 单选题
|
分值: 5分

14. 二项式展开式中的常数项为（   ）

A

B

C

D

正确答案

C

解析

，

当，即时，常数项为．

考查方向

二项式定理的通项公式

解题思路

先根据二项式定理的通项公式求出的表达式，再根据已条条件求出，即可得出所求的常数项．

易错点

根据幂的运算法则把化简

1
题型： 单选题
|
分值: 5分

16. 阅读材料：空间直角坐标系中，过点且一个法向量为的平面的方程为；过点且一个方向向量为的直线的方程为；阅读上面材料，并解决下面问题：已知平面的方程为，直线是两平面与的交线，则直线与平面所成角的大小为（   ）

A

B

C

D

正确答案

A

解析

由变形得：，

∴平面的一个法向量

由平面和变形可得，

∴直线的方向向量，

设平面的法向量与直线的夹角为，则，

直线与平面所成角为：．

考查方向

空间向量的应用

解题思路

把变形为，得到平面的法向量；由平面和变形可得，求得直线的方向向量，再根据向量夹角公式计算．

易错点

求直线的方向向量

1
题型： 单选题
|
分值: 5分

15. 若分别过、、、四个点各作一条直线，所得四条直线恰围成正方形，则该正方形的面积不可能为（   ）

A

B

C

D

正确答案

C

解析

如果过点作四条直线构成一个正方形，

过点的必须和过的其中一条直线平行和另外两条垂直，

假设过点和点的直线相互平行时，如图，

设直线与轴正方向的夹角为，再过作它的平行线，过、作它们的垂线、，过点作轴的平行线分别与、于点、，

则，，

因为，所以，则，

所以正方形的面积，

同理可求，当直线和过的直线平行时正方形的面积为，

当直线和过点的直线平行时正方形的面积为．

故选：C．

考查方向

三角恒等变换

解题思路

过其中两点作平行线，设它们的倾斜角为，过其它两点作这两条平行线的垂直，得到矩形，求出矩形的两邻边，再根据这两条邻边相等，得到的值，从而得出所求的面积．

易错点

矩形的边长与的关系

简答题（综合题） 本大题共76分。简答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
1
题型：简答题
|
分值: 14分

在中，角、、的对边分别为、、，已知，且；

17.求角的大小；

18.求的面积.

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

解析

∵，

∴，

∵，∴，

∴(舍)或，

∴．

考查方向

二倍角公式

解题思路

根据二倍角公式把左边化简，求出的值．

易错点

二倍角公式的变形

第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

解析

，

又∵，∴，

∴．

考查方向

余弦定理及三角形面积公式

解题思路

由余弦定理得到关于a和b的等式，再根据求出的值，由三角形面积公式计算即可．

易错点

余弦定理的变形

1
题型：简答题
|
分值: 14分

已知关于的方程的两个根是、；

19.若为虚数且，求实数的值；

20.若，求实数的值.

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

25

解析

∵，∴，

∵，

∴．

考查方向

复数的乘除法则及复数的几何意义

解题思路

方程的两个根为共轭复数，根据复数的乘除法则及复数的几何意义，可得，再由一元二次方程根与系数的关系即可求出．

易错点

共轭复数的性质

第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

3或5

解析

，

若方程的判别式，即时，则方程有两个实数根，

则，

解得：，

若方程的判别式，即时，则方程有一对共轭虚根，

则，解得：．

考查方向

一元二次方程根的性质

解题思路

先由一元二次方程根与系数的关系得到，当时，得到，求出；当时，得到，求出．

易错点

没有考虑到的情况

1
题型：简答题
|
分值: 14分

关于函数的对称性有如下结论：对于给定的函数，如果对于任意都有成立（其中、为常数），则函数关于点对称；

21.用题设中的结论证明：函数关于点对称；

22.若函数既关于点对称，又关于点对称，且当时，，求：①的值；②当时，的表达式.

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

略

解析

易知的定义域为，

对任意，有，

∴函数关于点对称．

考查方向

函数的对称性

解题思路

根据已知中的结论证明即可．

易错点

对中和的正确理解

第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

①19；②

解析

函数关于点对称，故，

即，

又函数关于点对称，得，

即，

故，即，

①

②当时，

∴，

又由得：

，

即当时，．

考查方向

函数的对称性

解题思路

①由函数关于点对称，得，由函数关于点对称，得，由此推出即可；②由可得，从而推出，再由已知的函数式即可得解．

易错点

对题目中函数关系式的理解和运用

1
题型：简答题
|
分值: 16分

已知数列满足，，其中；

23.若数列前四项、、、依次成等差数列，求、的值；

24.若，且数列为等比数列，求的值；

25.若，且是数列的最小项，求的取值范围.

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

解析

,

，

由等差数列知，得．

考查方向

等差数列的性质

解题思路

先根据递推公式求得的表达式，再根据等差数列的性质求出．

易错点

由递推公式求得的表达式

第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

或

解析

，

由，得或，

当时，，满足题意；

当时，用累加法得，满足题意．

解题思路

由递推公式求得的表达式，再根据等比数列的性质列出关于的方程，求出，最后验证即可．

易错点

由递推公式求出数列的通项公式

第(3)小题正确答案及相关解析

正确答案

解析

，

当时，则恒成立，得恒成立，

设，只需求出的最小值，

，

时，，

时，直接验证知，

故为最小值，其值为，所以，

当时，需满足恒成立，对一一验证，

；；；，

综上可得，．

考查方向

数列的有界性

解题思路

由累加法可求出的通顶公式，再把与作差，由恒成立求出的范围．

易错点

由递推公式求出的通项公式

1
题型：简答题
|
分值: 18分

椭圆的左、右焦点分别为、，经过点且倾斜角为的直线与椭圆交于、两点（其中点在轴上方），的周长为8；

26.求椭圆的标准方程；

27.如图，把平面沿轴折起来，使轴正半轴和轴所确定的半平面，与轴负半轴和轴所确定的半平面互相垂直；

① 若，求异面直线和所成角的大小；

② 若折叠后的周长为，求的大小.

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

解析

∵的周长为8，

∴，，

又,则，

∴椭圆的标准方程为：．

考查方向

椭圆的几何性质

解题思路

根据椭圆的定义求出，再由椭圆的性质求出．

易错点

椭圆中的关系

第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

①；②或

解析

① 直线：与联立，

求得，

如图建立空间直角坐标系：

在空间直角坐标系中，，

，

异面直线和所成角为，则，

∴所求的角为．

②设A，B在新图形中的对应点记为，

由，，

得：，

设折叠前，

直线与椭圆联立方程，

得，

，

在空间直角坐标系中，，

，，

，　()

，

所以，　()

由()()可得，

，

，

，

,

解得：，故为或．

考查方向

直线与椭圆的综合运用

解题思路

①先在平面直角坐标系中求出A，B的坐标，再建立空间直角坐标系，求出向量和的坐标，根据向量夹角公式计算即可；②设直线的方程为，A，B在新图形中的对应点记为，得出，再根据把它转化为关于的方程，求出即可得所求的倾斜角．

易错点

式子的变形及计算

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