2021年高考真题 数学 (新高考II卷)
精品
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单选题 本大题共8小题,每小题5分,共40分。在每小题给出的4个选项中,有且只有一项是符合题目要求。
1
题型: 单选题
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分值: 5分

2.

A1

B−1

Ci

D−i

正确答案

B
1
题型: 单选题
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分值: 5分

3.6名同学到甲、乙、丙三个场馆做志愿者,每名同学只去1个场馆,甲场馆安排1名,乙场馆安排2名,丙场馆安排3名,则不同的安排方法共有

A120种

B90种

C60种

D30种

正确答案

C
1
题型: 单选题
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分值: 5分

4.日晷是中国古代用来测定时间的仪器,利用与晷面垂直的晷针投射到晷面的影子来测定时间.把地球看成一个球(球心记为O),地球上一点A的纬度是指OA与地球赤道所在平面所成角,点A处的水平面是指过点A且与OA垂直的平面.在点A处放置一个日晷,若晷面与赤道所在平面平行,点A处的纬度为北纬40°,则晷针与点A处的水平面所成角为

A20°

B40°

C50°

D90°

正确答案

B
1
题型: 单选题
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分值: 5分

5.某中学的学生积极参加体育锻炼,其中有96%的学生喜欢足球或游泳,60%的学生喜欢足球,82%的学生喜欢游泳,则该中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生数占该校学生总数的比例是

A62%

B56%

C46%

D42%

正确答案

C
1
题型: 单选题
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分值: 5分

7.已知P是边长为2的正六边形ABCDEF内的一点,则 的取值范用是

A

B

C

D

正确答案

D
1
题型: 单选题
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分值: 5分

8.若定义在的奇函数f(x)在单调递减,且f(2)=0,则满足x的取值范围是

A

B

C

D

正确答案

D
1
题型: 单选题
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分值: 5分

1.设集合A={x|1≤x≤3},B={x|2<x<4},则AB=

A{x|2<x≤3}

B{x|2≤x≤3}

C{x|1≤x<4}

D{x|1<x<4}

正确答案

C
1
题型: 单选题
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分值: 5分

6.基本再生数R0与世代间隔T是新冠肺炎的流行病学基本参数.基本再生数指一个感染者传染的平均人数,世代间隔指相邻两代间传染所需的平均时间.在新冠肺炎疫情初始阶段,可以用指数模型:描述累计感染病例数I(t)随时间t(单位:天)的变化规律,指数增长率rR0,T近似满足R0 =1+rT.有学者基于已有数据估计出R0=3.28,T=6.据此,在新冠肺炎疫情初始阶段,累计感染病例数增加1倍需要的时间约为(ln2≈0.69)

A1.2天

B1.8天

C2.5天

D3.5天

正确答案

C
多选题 本大题共4小题,每小题5分,共20分。在每小题给出的4个选项中,有多项符合题目要求,全对得5分,选对但不全得2.5分,有选错的得0分。
1
题型: 多选题
|
分值: 5分

10.下图是函数y= sin(ωx+φ)的部分图像,则sin(ωx+φ)=

A

B

C

D

正确答案

A,C,D
1
题型: 多选题
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分值: 5分

9.已知曲线.

Am>n>0,则C是椭圆,其焦点在y轴上

Bm=n>0,则C是圆,其半径为

Cmn<0,则C是双曲线,其渐近线方程为

Dm=0,n>0,则C是两条直线

正确答案

C,D
1
题型: 多选题
|
分值: 5分

11.已知a>0,b>0,且a+b=1,则

A

B

C

D

正确答案

B,C
1
题型: 多选题
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分值: 5分

12.信息熵是信息论中的一个重要概念.设随机变量X所有可能的取值为,且,定义X的信息熵.

An=1,则H(X)=0

Bn=2,则H(X)随着的增大而增大

C,则H(X)随着n的增大而增大

Dn=2m,随机变量Y所有可能的取值为,且,则H(X)≤H(Y)

正确答案

A,B,D
填空题 本大题共4小题,每小题5分,共20分。把答案填写在题中横线上。
1
题型:填空题
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分值: 5分

13.斜率为的直线过抛物线Cy2=4x的焦点,且与C交于AB两点,则=________.

正确答案

1
题型:填空题
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分值: 5分

16.已知直四棱柱ABCDA1B1C1D1的棱长均为2,∠BAD=60°.以为球心,为半径的球面与侧面BCC1B1的交线长为________.

正确答案

1
题型:填空题
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分值: 5分

14.将数列{2n–1}与{3n–2}的公共项从小到大排列得到数列{an},则{an}的前n项和为________.

正确答案

1
题型:填空题
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分值: 5分

15.某中学开展劳动实习,学生加工制作零件,零件的截面如图所示.O为圆孔及轮廓圆弧AB所在圆的圆心,A是圆弧AB与直线AG的切点,B是圆弧AB与直线BC的切点,四边形DEFG为矩形,BCDG,垂足为C,tan∠ODC=EF=12 cm,DE=2 cm,A到直线DEEF的距离均为7 cm,圆孔半径为1 cm,则图中阴影部分的面积为________cm2.

正确答案

简答题(综合题) 本大题共58分。简答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
1
题型:简答题
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分值: 12分

19.(12分)

为加强环境保护,治理空气污染,环境监测部门对某市空气质量进行调研,随机抽查了天空气中的浓度(单位:),得下表:

(1)估计事件“该市一天空气中浓度不超过,且浓度不超过”的概率;

(2)根据所给数据,完成下面的列联表:

(3)根据(2)中的列联表,判断是否有的把握认为该市一天空气中浓度与浓度有关?

附:

正确答案

1
题型:简答题
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分值: 12分

20.(12分)

如图,四棱锥P-ABCD的底面为正方形,PD⊥底面ABCD.设平面PAD与平面PBC的交线为l.

(1)证明:l⊥平面PDC;

(2)已知PD=AD=1,Ql上的点,求PB与平面QCD所成角的正弦值的最大值.

正确答案

(1)证明:

在正方形中,

因为平面平面

所以平面

又因为平面,平面平面

所以

因为在四棱锥中,底面是正方形,所以

平面,所以

因为

所以平面

(2)如图建立空间直角坐标系

因为,则有

,则有

因为QB=,所以有

设平面的法向量为

,即

,则,所以平面的一个法向量为,则

根据直线的方向向量与平面法向量所成角的余弦值的绝对值即为直线与平面所成角的正弦值,所以直线与平面所成角的正弦值等于

所以直线与平面所成角的正弦值为.

1
题型:简答题
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分值: 10分

17.(10分)

在①,②,③这三个条件中任选一个,补充在下面问题中,若问题中的三角形存在,求的值;若问题中的三角形不存在,说明理由.

问题:是否存在,它的内角的对边分别为,且,________?

注:如果选择多个条件分别解答,按第一个解答计分.

正确答案

解法一:由题意结合所给的条件,利用正弦定理角化边,得到a,b的比例关系,根据比例关系,设出长度长度,由余弦定理得到的长度,根据选择的条件进行分析判断和求解.

解法二:利用诱导公式和两角和的三角函数公式求得的值,得到角的值,然后根据选择的条件进行分析判断和求解.

【详解】解法一:

可得:

不妨设

则:,即

选择条件①的解析:

据此可得:,此时.

选择条件②的解析:

据此可得:

则:,此时:,则:.

选择条件③的解析:

可得

与条件矛盾,则问题中的三角形不存在.

解法二:∵,

,

 ,

,∴,∴,∴,

若选①,,∵,∴,∴c=1;

若选②,,则,;

若选③,与条件矛盾.

1
题型:简答题
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分值: 12分

18.(12分)

已知公比大于的等比数列满足

(1)  求的通项公式;

(2)  求.

正确答案

(1) 设等比数列的公比为q(q>1),则

整理可得:

数列的通项公式为:.

(2)由于:,故:

.

1
题型:简答题
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分值: 12分

22.(12分)

已知函数

(1)当时,求曲线y=fx)在点(1,f(1))处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积;

(2)若fx)≥1,求a的取值范围.

正确答案

(1).

,∴切点坐标为(1,1+e),

∴函数f(x)在点(1,f(1)处的切线方程为,即,

切线与坐标轴交点坐标分别为,

∴所求三角形面积为;

(2)解法一:,

,且.

,则

∴g(x)在上单调递增,即上单调递增,

时,,∴,成立.

时,,

∴存在唯一,使得,且当,当

因此

>1,

恒成立;

时, 不是恒成立.

综上所述,实数a的取值范围是[1,+∞).

解法二:等价于

,

,上述不等式等价于,

显然为单调增函数,∴又等价于,即

,则

h’(x)>0,h(x)单调递增;在(1,+∞)上h’(x)<0,h(x)单调递减,

,

a的取值范围是[1,+∞).

书面表达 本大题共12分。
1
题型:简答题
|
分值: 12分

21.(12分)

已知椭圆C过点M(2,3),点A为其左顶点,且AM的斜率为

(1)求C的方程;

(2)点N为椭圆上任意一点,求△AMN的面积的最大值.

正确答案

(1)由题意可知直线AM的方程为:,即.

y=0时,解得,所以a=4,

椭圆过点M(2,3),可得

解得b2=12.

所以C的方程:.

(2)设与直线AM平行的直线方程为:

如图所示,当直线与椭圆相切时,与AM距离比较远的直线与椭圆的切点为N,此时△AMN的面积取得最大值.

联立直线方程与椭圆方程

可得:

化简可得:

所以,即m2=64,解得m=±8,

AM距离比较远的直线方程:

直线AM方程为:

N到直线AM的距离即两平行线之间的距离,

利用平行线之间的距离公式可得:

由两点之间距离公式可得.

所以△AMN的面积的最大值:.

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