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2024年高考真题 数学
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数学 热门试卷

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试卷目录
1、单选题
1
2
3
4
5
6
7
8
2、多选题
9
10
11
3、填空题
12
13
14
4、简答题
15
16
17
18
19
  • 真题试卷
  • 模拟试卷
单选题 本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的4个选项中，有且只有一项是符合题目要求。
1
题型： 单选题
|
分值: 5分

已知，则（    ）

A0

B1

C

D2

正确答案

C

解析

本题主要考查了复数的模的计算。

，故选c

1
题型： 单选题
|
分值: 5分

已知命题p：命题q：则（    ）

Ap和q都是真命题

B-p和q都是真命题

Cp和-q都是真命题

D-p和-q都是真命题

正确答案

B

解析

本题主要考查了命题的真假判断以及绝对值不等式、方程的求解等知识点。

p:当时，p假命题，-p真命题, q:当，，q为真命题，-q为假命题。因此故选B。

1
题型： 单选题
|
分值: 5分

已知向量满足，且，则（    ）

A

B

C

D1

正确答案

B

解析

本题主要考查了向量的模、数量积以及垂直的相关知识点。

因为，所以，可得

由题干知，分别平方得，推出，又因为，所以。

联立，开平方得，故选B

1
题型： 单选题
|
分值: 5分

某农业研究部门在面积相等的100块稻田上种植一种新型水稻，得到各块稻田的亩产量（均在之间，单位：kg）并部分整理下表

据表中数据，结论中正确的是（    ）

A100块稻田亩产量的中位数小于1050kg

B100块稻田中亩产量低于1100kg的稻田所占比例超过80%

C100块稻田亩产量的极差介于200kg至300kg之间

D100块稻田亩产量的平均值介于900kg至1000kg之间

正确答案

C

解析

本题主要考查了中位数、频数、比例、极差以及平均值这些知识点。

根据频数分布表可知，，所以亩产量的中位数不小于 1050kg，A错误；亩产量不低于 1100kg 的频数为，所以低于 1100kg 的稻田占比为，B错误；亩产量在 [1050,1100)的频数为，所以，D错误；因此答案选择C。

1
题型： 单选题
|
分值: 5分

已知曲线C：（），从C上任意一点P向x轴作垂线段，为垂足，则线段的中点M的轨迹方程为（    ）

A

B

C

D（）

正确答案

A

解析

本题主要考查了曲线的轨迹方程以及坐标变换等知识点。

设，则将坐标代入原方程联立，得 方程 。故选A。

1
题型： 单选题
|
分值: 5分

设函数当时，曲线与恰有一个交点，则（    ）

A-1

B

C1

D2

正确答案

D

解析

本题主要考查了函数的性质、方程的根以及导数的应用等知识点。

联立 ，推出

设，转化为有唯一交点。由于为偶函数，对于二次函数，

当时，；

当时，，显然无交点；综上：，故选D。

1
题型： 单选题
|
分值: 5分

已知正三棱台的体积为则与平面ABC所成角的正切值为（    ）

A

B1

C2

D3

正确答案

B

解析

本题主要考查了正三棱台的体积公式，以及线面角的相关知识。

设高为 ；三棱台的体积

可得，得 故选B。

1
题型： 单选题
|
分值: 5分

设函数若则的最小值为（    ）

A

B

C

D1

正确答案

C

解析

本题主要考查了函数的性质、不等式以及最值问题等知识点。

恒成立，两个函数均单调递增，零点分别为，当且仅当两个零点重合时，可满足，此时，则，当时取最小值，最小值为。故选C。

多选题 本大题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的4个选项中，有多项符合题目要求，全对得6分，选对但不全得3分，有选错的得0分。
1
题型： 多选题
|
分值: 6分

对于函数和下列说法正确的有（    ）

A与有相同的零点

B与有相同的最大值

C与有相同的最小正周期

D与的图像有相同的对称轴

正确答案

B,C

解析

本题主要考查了三角函数的零点、最值、周期以及对称轴等知识点。

选项A.令零点不同；选项 最大值相同；

选项

选项对称轴显然不同 错误

1
题型： 多选题
|
分值: 6分

抛物线C：的准线为，P为C上的动点，过P作的一条切线，Q为切点，过P作的垂线，垂足为B，则（    ）

A与相切

B 当P，A，B三点共线时，

C当时，

D满足的点P有且仅有2个

正确答案

A,B,D

解析

本题主要考查了抛物线的性质（如准线方程）、圆的切线性质、点到直线的距离公式、向量的数量积以及抛物线轨迹方程等知识点。

点，到准线的距离为1等于圆A的半径，故A正确；

当P，A，B三点共线时，此时点，，，切线长，故B正确；

当时，，，对应的点

B为，当时，，不满足，故C错误；

设抛物线的焦点为，由抛物线定义可得，满足的点P需在线段PF的垂直平分线上，得，与抛物线联立可得判别式大于零，故满足点P有且仅有2个。D正确。

1
题型： 多选题
|
分值: 6分

设函数，则（    ）

A当时，有三个零点

B当时，是的极大值点

C存在a，b，使得为曲线的对称轴

D存在a，使得点为曲线的对称中心

正确答案

A,D

解析

本题主要考查了函数的导数、极值、零点、对称轴以及对称中心等知识点。

求导，得

，故A正确

时，为极小值， B错

不存在对称轴， C错

关于 中心对称， D正确

故选AD

填空题 本大题共3小题，每小题5分，共15分。把答案填写在题中横线上。
1
题型：填空题
|
分值: 5分

记为等差数列的前n项和，若，，则

正确答案

95

解析

本题主要考查了等差数列的通项公式、等差数列的性质以及等差数列前n项和公式等知识点。

1
题型：填空题
|
分值: 5分

已知为第一象限角，为第三象限角，则

正确答案

_

解析

本题主要考查了三角函数的相关知识点。

1
题型：填空题
|
分值: 5分

在如图的4×4方格表中选4个方格，要求每行和每列均恰有一个方格被选中，则共有________种选法，在所有符合上述要求的选法中，选中方格中的4个数之和的最大值是________．

正确答案

24,112

解析

本题主要考查了排列组合的知识点。

(1)

(2)每列十位数字一样，故只要看个位，可选出15,21,33,43和最大： 15+21+33+43=112

简答题（综合题） 本大题共77分。简答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
1
题型：简答题
|
分值: 13分

记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知

（1）求A．

（2）若求的周长．

正确答案

（1）

（2）

解析

本题主要考查了辅助角公式、二倍角公式、正弦定理等知识点。

1
题型：简答题
|
分值: 15分

已知函数

（1）当时，求曲线在点处的切线方程；

（2）若有极小值，且极小值小于0，求a的取值范围．

正确答案

（1）

（2）

解析

本题主要考查了导数的计算与应用，包括求函数的导数，利用导函数求切线方程，以及通过导函数判断函数的单调性和极值等知识点。

（1）当时,，求导得，所以，可得切线方程为，即。

（2）导函数：

当，则 恒大于0，即在R上单调递增，无极小值，舍去；

当，在上单调递减，在上单调递增，

则极小值，令

所以在上单调递减，因为，所以在上上，所以对于方程的解集为。

1
题型：简答题
|
分值: 15分

如图，平面四边形ABCD中，，，，，，点E，F满足，，将沿EF对折至，使得

（1）证明：

（2）求面PCD与面PBF所成的二面角的正弦值．

正确答案

（1）

（2）

解析

本题主要考查了平面向量的应用、空间直线与直线的垂直关系的证明、空间向量求二面角等知识点。

(1)证明：设 A的坐标为则B为

依次求出

P关于EF的中点M对称，

设

将表达式代

建立坐标系求出各点坐标，再利用向量相乘之积为证明垂直

（2）以E为坐标原点，为X轴正方向，为y轴正方向，为Z轴正方向建立

坐标系。

平面PBF交坐标轴于P,E,A三点，坐标分别为，

所以平面PBF的平面方程为；

所以平面PBF的法向量；

平面PCD平行于X轴，与y轴的交点为D，与Z轴的交点为 P;

所以平面PCD的平面方程为；

所以平面PCD的法向量；

平面PCD与平面PBF所成的二面角的余弦值；

所以平面PCD与平面PBF所成的二面角的正弦值为。

1
题型：简答题
|
分值: 17分

某投篮比赛分为两个阶段，每个参赛队由两名队员组成，比赛具体规则如下：第一阶段由参赛队中一名队员投篮3次，若3次都未投中，则该队被淘汰，比赛成员为0分；若至少投中一次，则该队进入第二阶段，由该队的另一名队员投篮3次，每次投中得5分，未投中得0分.该队的比赛成绩为第二阶段的得分总和．某参赛队由甲、乙两名队员组成，设甲每次投中的概率为p，乙每次投中的概率为q，各次投中与否相互独立．

（1）若，，甲参加第一阶段比赛，求甲、乙所在队的比赛成绩不少于5分的概率．

（2）假设

（i）为使得甲、乙所在队的比赛成绩为15分的概率最大，应该由谁参加第一阶段比赛？

（ii）为使得甲、乙，所在队的比赛成绩的数学期望最大，应该由谁参加第一阶段比赛？

正确答案

（1）0.686

（2）（i）甲

（ii）甲

解析

本题主要考查了概率的计算、相互独立事件概率的乘法公式、条件概率，以及对数学期望的理解和计算等知识点。

甲，乙不少5的.

（2）

所以甲>乙
甲获胜概率大

又考虑比较二者乘积大小

所以甲获胜概率大

1
题型：简答题
|
分值: 17分

已知双曲线点在C上，为常数，．按照如下方式依次构造点，过作斜率为的直线与的左支交于点，令为关于y轴的对称点，记的坐标为

（1）若求；

（2）证明：数列是公比为的等比数列；

（3）设为的面积，证明：对任意的正整数

正确答案

(1)

（2）略

（3）略

解析

本题主要考查了双曲线的性质、直线方程、对称点的求法、等比数列的证明、三角形面积的计算等知识点。

得

(2) 由

得两边同时乘以，得

其中倒数第二个等号应用了

这是来自和都在双曲线上这个条件，因此，即，是以为公比的等比数列。

（3）

利用等比

又因为等比，所以始终保持相等。

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