1.已知复数 ,则
等于( )
正确答案
解析
解析已在路上飞奔,马上就到!
知识点
2.已知某程序框图如图所示,则执行该程序后输出的结果是( )
正确答案
解析
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知识点
4.已知三条不重合的直线m、n、l与两个不重合的平面α、β,有下列命题:
①若m∥n,n⊂α,则m∥α;
②若l⊥α,m⊥β且l∥m,则α∥β;
③若m⊂α,n⊂α,m∥β,n∥β,则α∥β;
④若α⊥β,α∩β=m,n⊂β,n⊥m,则n⊥α.
其中正确的命题个数是( )
正确答案
解析
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知识点
7.已知不等式组,表示的平面区域为
,若直线
与平面区域
有公共点,则
的取值范围是( )
正确答案
解析
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知识点
8.△PAB所在的平面α和四边形ABCD所在的平面β垂直,且AD⊥α,BC⊥α,AD=4,BC=8,AB=6,∠APD=∠CPB,则点P在平面α内的轨迹是( )
正确答案
解析
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知识点
6.已知抛物线(
)的焦点
恰好是双曲线
的一个焦点,且两条曲线交点的连线过点
,则该双曲线的离心率为( )
正确答案
解析
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知识点
3.已知非零向量,
,
满足
0,向量
,
的夹角为
,且
,则向量
与
的夹角为( )
正确答案
解析
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知识点
5.如图是一个几何体的三视图,则该几何体的体积为( )
正确答案
解析
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知识点
10.如图,圆的弦ED,CB的延长线交于点A.若BD
AE,AB=4,BC=2,AD=3,则DE=________;CE=___________.
正确答案
5;
解析
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知识点
13.已知,A是曲线
与
围成的区域,若向区域
上随机投一点P,则点P落入区域A的概率为____________.
正确答案
解析
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知识点
9.若的展开式中的常数项为
,则实数
________.
正确答案
-1
解析
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知识点
11.某食品厂为了检查一条自动包装流水线的生产情况,随机抽取该流水线上的40件产品作为样本称出它们的重量(单位:克),重量的分组区间为(490,495],(495,500],……,(510,515],由此得到样本的频率分布直方图,如图所示.根据此频率分布直方图,可知重量超过500克的产品共有________件.
正确答案
26
解析
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知识点
12.有2位男生和3位女生共5位同学站成一排.若男生甲不站两端,3位女生中有且只有两位女生相邻,则不同排法的种数为____.
正确答案
48
解析
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知识点
14.已知是等比数列,
,
,
是等差数列,
,其前
项和
满足
.在数列
中任取一项
,在数列
中任取一项
,记“点
位于以原点为圆心,9为半径的圆的内部”为事件
.
(Ⅰ)若,则
=________;
(Ⅱ)若,则整数
的最小值为______.
正确答案
; 11
解析
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知识点
15. 已知函数.
(Ⅰ)求的最小正周期和单调区间;
(Ⅱ)在中,
、
、
分别是
A、
B、
C的对边,若
,
,
的面积为
,求
的值。
正确答案
(Ⅰ)
由,
,得
.
所以函数的单调递增区间为[
],
函数的单调递减区间为[
],
(Ⅱ)由,
,
又的内角,
,
,
,
,
,
,
解析
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知识点
16. 在一个选拔项目中,每个选手都需要进行4轮考核,每轮设有一个问题,能正确回答者进入下一轮考核,否则被淘汰. 已知某选手能正确回答第一、二、三、四轮问题的概率分别为、
、
、
,且各轮问题能否正确回答互不影响.
(Ⅰ)求该选手进入第三轮才被淘汰的概率;
(Ⅱ)求该选手至多进入第三轮考核的概率;
(Ⅲ)该选手在选拔过程中回答过的问题的个数记为,求随机变量
的分布列和期望.
正确答案
设事件(
)表示“该选手能正确回答第
轮问题”,
由已知,
,
,
,
(Ⅰ)设事件表示“该选手进入第三轮被淘汰”,
则
(Ⅱ)设事件表示“该选手至多进入第三轮考核”,
则
(III)的可能取值为
,
,
,
,
所以,的分布列为
解析
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知识点
18.设R,函数
.
(Ⅰ)若函数在点(0,
)处的切线方程为
,求a的值;
(Ⅱ)当时,讨论函数
的单调性.
正确答案
(Ⅰ).
(Ⅱ)答案略
解析
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知识点
17.如图,三棱柱ABC—A1B1C1中,AA1⊥面ABC,BC⊥AC,BC=AC=2,AA1=3,D为AC的中点.
(Ⅰ)求证:AB1//面BDC1;
(Ⅱ)求二面角C1—BD—C的余弦值;
(Ⅲ)在侧棱AA1上是否存在点P,使得CP⊥面BDC1?并证明你的结论.
正确答案
(I)证明: 连接B1C,与BC1相交于O,连接OD
∵BCC1B1是矩形,∴O是B1C的中点.又D是AC的中点,
∴OD//AB1.∵AB1面BDC1,OD
面BDC1,∴AB1//面BDC1
(II)解:如力,建立空间直角坐标系,则
C1(0,0,0),B(0,3,2),C(0,3,0),A(2,3,0), D(1,3,0)
设=(x1,y1,z1)是面BDC1的一个法向量,则
,即
,取
易知=(0,3,0)是面ABC的一个法向量.
∴二面角C1—BD—C的余弦值为
(III)假设侧棱AA1上存在一点P(2,y,0)(0≤y≤3),使得CP⊥面BDC1.
则
∴方程组无解.∴假设不成立. ∴侧棱AA1上不存在点P,使CP⊥面BDC1
解析
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知识点
19.设椭圆的左、右焦点分别为
,上顶点为
,离心率为
,在
轴的负半轴上有一点
,且
.
(Ⅰ)若过三点的圆恰好与直线
相切,求椭圆
的方程;
(Ⅱ)在(Ⅰ)的条件下,过右焦点作斜率为
的直线
与椭圆
交于
两点,在
轴上是否存在点
(
,0),使得以
为邻边的平行四边形是菱形,如果存在,求出
的取值范围;如果不存在,说明理由.
正确答案
(Ⅰ)由题意得
,所以
.
又,于
,所以
为
的中点,
所以,
所以的外接圆圆心为
,半径
又过三点的圆与直线
相切,
,解得
,
.
故所求椭圆方程为
(Ⅱ)由()知,设
的方程为:
,
椭圆联立方程得,即
.
设交点为,因为
,
则
若存在点,使得以
为邻边的平行四边形是菱形,
由于菱形对角线垂直,所以.
,
又的方向向量是
,故
,
,即
,
由已知条件知,
,故存在满足题意的点
且
的取值范围是
解析
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知识点
20.对于数集,其中
,
,定义向量集
. 若对于任意
,存在
,使得
,则称X具有性质P. 例如
具有性质P.
(Ⅰ)若,且
具有性质P,求x的值;
(Ⅱ)若X具有性质P,求证:1X,且当时,
;
(Ⅲ)若X具有性质P,且,
(q为常数),求有穷数列
的通项公式。
正确答案
(Ⅰ)选取,Y中与
垂直的元素必有形式(b,-1).
所以x=2b,从而x=4.
(Ⅱ)证明:取.设
满足
.
由得
,所以
、
异号.
因为-1是X中唯一的负数,
所以、
中之一为-1,另一为1,
故1X.
假设,其中
,则
.
选取,并设
满足
,即
,
则、
异号,从而
、
之中恰有一个为-1.
若=-1,则2,矛盾;
若=-1,则
,矛盾.
所以x1=1.
(Ⅲ)[解法一]猜测,i=1, 2, …, n.
记,k=2, 3, …, n.
先证明:若具有性质P,则
也具有性质P.
任取,
、
.当
、
中出现-1时,显然有
满足
;
当且
时,
、
≥1.
因为具有性质P,所以有
,
、
·
,使得
,
从而和
中有一个是-1,不妨设
=-1.
假设且
不
,
则.由
,
得,与
·
矛盾.所以
·
.从而
也具有性质P.
现用数学归纳法证明:,i=1, 2, …, n.
当n=2时,结论显然成立;
假设n=k时,有性质P,则
,i=1, 2, …, k;
当n=k+1时,若有性质P,则
也有性质P,所以.
取,并设
满足
,即
.由此可得s与t中有且只有一个为-1.
若,则1,不可能;
所以,
,又
,所以
.
综上所述,,i=1, 2, …, n.
[解法二]设,
,则
等价于
.
记,则数集X具有性质P当且仅当数集B关于
原点对称.
注意到-1是X中的唯一负数,共有n-1个数,
所以也只有n-1个数.
由于,已有n-1个数,对以下三角数阵
……
注意到,所以
,从而数列的通项公式为
,k=1, 2, …, n.
解析
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