数学涪陵区2015年高三试卷

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单选题
填空题
简答题

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试卷目录

1、单选题

2、填空题

3、简答题

真题试卷
模拟试卷

单选题本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的4个选项中，有且只有一项是符合题目要求。

题型：单选题

分值: 5分

1．已知复数，则复数的虚部为（）

正确答案

解析

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知识点

复数的基本概念

题型：单选题

分值: 5分

7.若正数满足，则的最小值为（）

正确答案

解析

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知识点

函数的概念及其构成要素

题型：单选题

分值: 5分

5.若，则向量与的夹角为（）

A30°

B60°

C120°

D150°

正确答案

解析

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知识点

单位向量

题型：单选题

分值: 5分

9.设满足约束条件，则取值范围是（）

正确答案

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知识点

指数函数的图像变换

题型：单选题

分值: 5分

10.已知函数对任意的实数都有，且，若当，且时，不等式恒成立，则实数的范围是（）

正确答案

解析

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知识点

指数函数的图像变换

题型：单选题

分值: 5分

2.以抛物线的焦点为圆心，且过坐标原点的圆的方程为（）

正确答案

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知识点

圆的标准方程抛物线的标准方程和几何性质

题型：单选题

分值: 5分

4. 设m、n是两条不同的直线，是三个不同的平面，下列四个命题中正确的是（）

①//，则；

②；

③ ；

④．

A①和②

B②和③

C③和④

D①和④

正确答案

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知识点

直线与平面垂直的判定与性质

题型：单选题

分值: 5分

6.中，A、B的对边分别是，且，那么满足条件的（）

A有一个解

B有两个解

C无解

D不能确定

正确答案

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知识点

任意角的概念

题型：单选题

分值: 5分

3.“”是“一元二次方程有实数解”的（　）

A充分非必要条件

B必要非充分条件

C充要条件

D既不充分也非必要条件

正确答案

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知识点

导数的乘法与除法法则

题型：单选题

分值: 5分

8．陈、余两家夫妇二人各带1个小孩一起去参观园博园，购票后排队依次入园。为安全起见，首尾一定要排两位爸爸，另外，两位小孩一定要排在一起，则这6人的入园顺序排法种数共有（）

A12

B24

C36

D48

正确答案

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知识点

幂函数的概念、解析式、定义域、值域

填空题本大题共5小题，每小题5分，共25分。把答案填写在题中横线上。

题型：填空题

分值: 5分

12．某大学对1000名学生的自主招生水平测试成绩进行统计，得到样本频率分布直方图如图所示，现规定不低于70分为合格，则合格人数是__________.

正确答案

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知识点

模拟方法估计概率

题型：填空题

分值: 5分

11.椭圆的离心率为 .

正确答案

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知识点

椭圆的定义及标准方程

题型：填空题

分值: 5分

13.若为二项式展开式中的常数项，则 _______.

正确答案

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知识点

幂函数的概念、解析式、定义域、值域

题型：填空题

分值: 5分

14.已知数列中，，则等于___________ .

正确答案

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知识点

指数函数的图像变换

题型：填空题

分值: 5分

15. 如图,球夹在锐二面角之间，与两个半平面的切点分别为，若,球心到二面角的棱的距离为,则球的表面积为_________.

正确答案

解析

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知识点

函数的最值及其几何意义

简答题（综合题）本大题共75分。简答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

题型：简答题

分值: 13分

16．设函数．

（1）求函数的最大值和最小正周期；

（2）设为的三个内角，若，,且为锐角，求.

正确答案

解：

（1）

所以当，即时，取得最大值.

的最小正周期

故函数的最大值为，最小正周期为

（2）由，即，解得

又为锐角，所以

由求得

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知识点

指数函数的图像变换

题型：简答题

分值: 13分

18．如图，已知四棱锥中，是边长为的正三角形，平面平面，四边形为菱形，，为中点，为中点。

（1）求证：平面；

（2）求二面角的大小.

正确答案

（1）证明：取SC的中点R，连QR, DR.. 由题意知：PD∥BC且PD=BC; QR∥BC且QR =BC,

QR∥PD且QR =PD.PQ∥PR,又PQ面SCD,PQ∥面SCD.

（2）

法一：，.

法二：以P为坐标原点，PA为x轴，PB为y轴，PS为z轴建立空间直角坐标系，则S（），B（）,C（），Q（），

面PBC的法向量为（）, 设为面PQC的一个法向量，

由

cos

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知识点

幂函数的概念、解析式、定义域、值域

题型：简答题

分值: 13分

17.四川灾后重建工程督导评估小组五名专家被随机分配到A、B、C、D四所不同的学校进行重建评估工作，要求每所学校至少有一名专家。

（1）求评估小组中甲、乙两名专家不在同一所学校的概率；

（2）设随机变量为这五名专家到A校评估的人数，求的分布列与数学期望E。

正确答案

解：

（1）记评估小组中甲、乙两名专家被分配在同一所学校的事件为F，那么P(F)=，

所以甲、乙两名专家不在同一所学校的概率为：P()=1－P(F)=。

（2）随机变量的可能取值为1,2，则P(=2)= ；

P(=1)=1－P(=2)=

所以的分布列是：

所以的数学期望E=1×+2×=

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知识点

简单复合函数的导数

题型：简答题

分值: 12分

19.已知函数．

（I）当时，求函数的单调区间；

（II）若函数的图象在点处的切线的倾斜角为，问：在什么范围取值时，函数在区间上总存在极值？

正确答案

解：

（I）当时，，

令时，解得，所以在（0，1）上单调递增；

令时，解得，所以在（1，+∞）上单调递减．

（II）因为函数的图象在点（2，）处的切线的倾斜角为45o，

所以

所以，

，

函数在区间上总存在极值，因为

所以只需

解得

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知识点

幂函数的图像

题型：简答题

分值: 12分

20．已知点F是抛物线C：的焦点，S是抛物线C在第一象限内的点，且|SF|=。

（1）求点S的坐标；

（2）以S为圆心的动圆与轴分别交于两点A、B，延长SA、SB分别交抛物线C于M、N两点；

①判断直线MN的斜率是否为定值，并说明理由；

②延长NM交轴于点E，若|EM|=|NE|，求cos∠MSN的值。

正确答案

解：

（1）设(＞0)，由已知得F，则|SF|=，

∴=1，∴点S的坐标是(1,1)。

（2）

①设直线SA的方程为由得

∴，∴

由已知SA=SB，∴直线SB的斜率为，∴，

∴

②设E(t,0)，∵|EM|=|NE|，∴，∴ ，则∴

∴直线SA的方程为，则，同理

∴

解析

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知识点

指数函数的单调性与特殊点

题型：简答题

分值: 12分

21．已知数列中，，，其前项和满足.令,且已知.

（1）求数列的通项公式；

（2）求证：；

（3）求证：。

正确答案

（1）由题意知即

∴

检验知、时，结论也成立，故.

（2）

（3）

法一：令

两式相乘有

法二：可用柯西不等式

法三：数学归纳法：

①时成立，时成立；

（只写时成立，本问不得分）

②假设，时，成立

则，

要证

只需证

即证即证

即证

时，

再验证时成立。

解析

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知识点

指数函数单调性的应用

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正确答案

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