数学 虹口区2015年高三试卷
精品
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填空题 本大题共15小题,每小题4分,共60分。把答案填写在题中横线上。
1
题型:填空题
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分值: 4分

2.在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若a=1,b=,则B=________.

正确答案

解析

解析已在路上飞奔,马上就到!

知识点

任意角的概念
1
题型:填空题
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分值: 4分

5.若函数的定义域为R,则实数a的取值范围是________.

正确答案

0≤a≤1

解析

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知识点

函数的概念及其构成要素
1
题型:填空题
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分值: 4分

7.一个正四棱柱的各个顶点在一个直径为2cm的球面上.如果正四棱柱的底面边长为1cm,那么该棱柱的表面积为________cm2

正确答案

2+4

解析

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知识点

函数的概念及其构成要素
1
题型:填空题
|
分值: 4分

8.已知双曲线(m>0)的一条渐近线方程为y=x,它的一个焦点恰好在抛物线y2=ax的准线上,则 a=________.

正确答案

±24

解析

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知识点

双曲线的定义及标准方程
1
题型:填空题
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分值: 4分

10.已知函数y=f(x)的图象与函数y=ax(a>0且a≠1)的图象关于直线y=x对称,记g(x)=f(x)[f(x)+2f(2)﹣1].若y=g(x)在区间[,2]上是增函数,则实数a的取值范围是________.

正确答案

(0,]

解析

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知识点

函数的概念及其构成要素
1
题型:填空题
|
分值: 4分

1.设P和Q是两个集合,定义集合P﹣Q={x|x∈P,且x∉Q},如果P={x|log2x<1},Q={x||x﹣2|<1},那么P﹣Q等于________.

正确答案

(0,1]

解析

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知识点

集合的含义
1
题型:填空题
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分值: 4分

3.若数列{an}满足:a1=1,an+1=an(n∈N*),则a1+a2+…+an=________.

正确答案

解析

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知识点

由数列的前几项求通项
1
题型:填空题
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分值: 4分

4.若(x2+6的二项展开式中x3的系数为,则a=________(用数字作答).

正确答案

2

解析

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知识点

函数的概念及其构成要素
1
题型:填空题
|
分值: 4分

6.在数列{an}中,若a1=1,an+1=2an+3(n≥1),则该数列的通项an=________.

正确答案

2n+1﹣3

解析

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知识点

由数列的前几项求通项
1
题型:填空题
|
分值: 4分

9.如图,平面内有三个向量,其中的夹角为120°,的夹角为30°,且||=||=2,||=4,若(λ、μ∈R),则λ+μ的值为________.

正确答案

6

解析

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知识点

空间几何体的结构特征
1
题型:填空题
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分值: 4分

14.设函数f(x)=x2+1,若关于x的不等式f()+4f(m)≤4m2f(x)+f(x﹣1)对任意x∈[,+∞)恒成立,则实数m的取值范围是________.

正确答案

(﹣∞,﹣]∪  [,+∞)

解析

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知识点

函数的概念及其构成要素
1
题型:填空题
|
分值: 4分

15.在实数集R中,我们定义的大小关系“>”为全体实数排了一个“序”,类似的,我们在平面向量集D={|=(x,y),x∈R,y∈R}上也可以定义一个称为“序”的关系,记为“›”.定义如下:对于任意两个向量=(x1,y1),=(x2,y2),当且仅当“x1>x2”或“x1=x2且y1>y2”.按上述定义的关系“›”,给出如下四个命题:

①若=(1,0),=(0,1),=(0,0),则

②若,则

③若,则对于任意∈D,(+)>(+);

④对于任意向量=(0,0)若,则

其中真命题的序号为________.

正确答案

①②③

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知识点

四种命题及真假判断
1
题型:填空题
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分值: 4分

11.已知⊙O的方程是x2+y2﹣2=0,⊙O'的方程是x2+y2﹣8x+10=0,由动点P向⊙O和⊙O'所引的切线长相等,则动点P的轨迹方程是________.

正确答案

解析

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知识点

双曲线的定义及标准方程
1
题型:填空题
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分值: 4分

12.从4名男同学和3名女同学中随机选出3人参加演讲比赛,则女同学被抽到的数学期望为________.

正确答案

解析

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知识点

函数的概念及其构成要素
1
题型:填空题
|
分值: 4分

13.已知实数x、y满足,则z=2x﹣y的取值范围是________.

正确答案

[- 5,7]

解析

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知识点

不等式的性质
单选题 本大题共4小题,每小题4分,共16分。在每小题给出的4个选项中,有且只有一项是符合题目要求。
1
题型: 单选题
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分值: 4分

17.下列各小题中,p是q的充分必要条件的是()

①p:m<﹣2,或m>6;q:x2+mx+m+3有两个不同的零点;

②p:=1;q:y=f(x)是偶函数;

③p:cosα=cosβ;q:tanα=tanβ;

④p:A∩B=A;q:∁UB⊆∁UA.

A①②

B②③

C③④

D①④

正确答案

D

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知识点

四种命题及真假判断
1
题型: 单选题
|
分值: 4分

19.已知满足条件x2+y2≤1的点(x,y)构成的平面区域面积为S1,满足条件[x]2+[y]2≤1的点(x,y)构成的平面区域的面积为S2,其中[x]、[y]分别表示不大于x,y的最大整数,例如:[﹣0.4]=﹣1,[1.6]=1,则S1与S2的关系是()

AS1<S2

BS1=S2

CS1>S2

DS1+S2=π+3

正确答案

A

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知识点

任意角的概念
1
题型: 单选题
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分值: 4分

16.复数的虚部是()

A

B

C

D

正确答案

B

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知识点

虚数单位i及其性质
1
题型: 单选题
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分值: 4分

18.如图,动点P在正方体ABCD﹣A1B1C1D1的对角线BD1上.过点P作垂直于平面BB1D1D的直线,与正方体表面相交于M,N.设BP=x,MN=y,则函数y=f(x)的图象大致是()

A

B

C

D

正确答案

B

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知识点

空间几何体的结构特征
简答题(综合题) 本大题共74分。简答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
1
题型:简答题
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分值: 14分

20.已知△ABC三个顶点的直角坐标分别为A(3,4)、B(0,0)、C(c,0).

(1)若,求c的值;

(2)若c=5,求sinA的值.

正确答案

(1)由A(3,4)、B(0,0)、C(c,0).

得到:=(﹣3,﹣4),=(c﹣3,﹣4),

=﹣3(c﹣3)+16=0,

解得c=

(2)当c=5时,C(5,0),

则|AB|==5,

|AC|==2,|BC|=5,

根据余弦定理得:

cosA===

由A∈(0,π),

得到sinA==

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知识点

任意角的概念
1
题型:简答题
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分值: 16分

23.对于定义在R上的函数f(x),可以证明点A(m,n)是f(x)图象的一个对称点的充要条件是f(m﹣x)+f(m+x)=2n,x∈R.

(1)求函数f(x)=x3+3x2图象的一个对称点;

(2)函数f(x)=ax3+(b﹣2)x2(a,b∈R)在R上是奇函数,求a,b满足的条件;并讨论在区间[﹣1,1]上是否存在常数a,使得f(x)≥﹣x2+4x﹣2恒成立?

(3)试写出函数y=f(x)的图象关于直线X=M对称的充要条件(不用证明);利用所学知识,研究函数f(x)=ax3+bx2(a,b∈R)图象的对称性。

正确答案

(1)解:设A(m,n)为函数f(x)=x3+3x2图象的一个对称点,

则f(m﹣x)+f(m+x)=2n,对于x∈R恒成立.

即(m﹣x)3+3(m﹣x)2+(m+x)3+3(m+x)2=2n对于x∈R恒成立,

∴(6m+6)x2+(2m3+6m2﹣2n)=0由

解得:

故函数f(x)图象的一个对称点为(﹣1,2).

(2)①因为函数是奇函数,则由f(﹣x)=﹣f(x)

得:﹣ax3+(b﹣2)x2=﹣ax3﹣(b﹣2)x2

解得a∈R,b=2;

②当a∈R,b=2时f(x)是奇函数.不存在常数a使f(x)≥﹣x2+4x﹣2x∈[﹣1,1]时恒成立.

依题,此时f(x)=ax3

令g(x)=﹣x2+4x﹣2,x∈[﹣1,1],

∴g(x)∈[﹣7,1],

若a=0,f(x)=0,不合题;

若a>0,f(x)=ax3此时为单调增函数,f(x)min=﹣a.

若存在a合题,则﹣a≥1,与a>0矛盾.

若a<0,f(x)=ax3此时为单调减函数,

f(x)min=a若存在a合题,则a≥1,与a<0矛盾.

综上可知,符合条件的a不存在.

(3)函数的图象关于直线x=m对称的充要条件是f(m+x)=f(m﹣x)

①a=b=0时,f(x)=0(x∈R),其图象关于x轴上任意一点成中心对称;关于平行于y轴的任意一条直线成轴对称图形;

②a=0,b≠0时,f(x)=bx2(x∈R),其图象关于y轴对称图形;

③a≠0,b=0时,f(x)=ax3,其图象关于原点中心对称;

④a≠0,b≠0时,f(x)=ax3+bx2的图象不可能是轴对称图形.

设A(m,n)为函数f(x)=ax3+bx2图象的一个对称点,

则f(m﹣x)+f(m+x)=2n对于x∈R恒成立.

即a(m﹣x)3+b(m﹣x)2+a(m+x)3+b(m+x)2=2n对于x∈R恒成立,(3am+b)x2+(am3+bm2﹣n)=0

,由解得

故函数f(x)图象的一个对称点为(﹣).

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知识点

函数的概念及其构成要素
1
题型:简答题
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分值: 14分

21.如图,在四棱锥P﹣ABCD中,底面为直角梯形,AD∥BC,∠BAD=90°,PA⊥底面ABCD,且PA=AD=AB=2BC,M、N分别为PC、PB的中点.

(1)求证:PB⊥DM;

(2)求CD与平面ADMN所成的角.

正确答案

(1)因为N是PB的中点,PA=AB,

所以AN⊥PB.

因为AD⊥平面PAB,所以AD⊥PB,

从而PB⊥平面ADMN.

因为DM⊂平面ADMN,

所以PB⊥DM.

(2)取AD的中点G,连接BG、NG,

则BG∥CD,

所以BG与平面ADMN所成的角和CD与平面ADMN所成的角相等.

因为PB⊥平面ADMN,

所以∠BGN是BG与平面ADMN所成的角.

在Rt△BGN中,

故CD与平面ADMN所成的角是

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知识点

任意角的概念
1
题型:简答题
|
分值: 14分

22.在m(m≥2)个不同数的排列P1P2…Pn中,若1≤i<j≤m时Pi>Pj(即前面某数大于后面某数),则称Pi与Pj构成一个逆序.一个排列的全部逆序的总数称为该排列的逆序数.记排列(n+1)n(n﹣1)…321的逆序数为an,如排列21的逆序数a1=1,排列321的逆序数a3=6.

(1)求a4、a5,并写出an的表达式;

(2)令,证明2n<b1+b2+…+bn<2n+3,n=1,2,….

正确答案

(1)由排列21的逆序数a1=1,排列321的逆序数a2=3,排列4321的逆序数a3=6,

得a4=4+3+2+1=10,a5=5+4+3+2+1=15,所以an=n+(n﹣1)+…+2+1=

(2)因为,…,

所以b1+b2+…+bn>2n.

又因为,…,

所以b1+b2+…+bn=2n+2[()+()+…+()]=

综上,2n<b1+b2+bn<2n+3,n=1,2,…

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由数列的前几项求通项
1
题型:简答题
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分值: 16分

24.在直角坐标平面内,我们定义A(x1,y1)、B(x2,y2)两点间的“直角距离”为DAB=|x1﹣x2|+|y1﹣y2|.

(1)在平面直角坐标系中,写出所有满足到原点的直角距离为2的“格点”的坐标(“格点”指的是横、纵坐标均为整数的点)

(2)求到两定点F1、F2的“直角距离”之和为定值2a(a>0)的动点的轨迹方程,并在直角坐标系内作出该动点的轨迹;

①F1(﹣1,0)、F2(1,0)、a=2;

②F1(﹣1,﹣1)、F2(1,1)、a=2

③F1(﹣1,﹣1)、F2(1,1)、a=4;

(3)写出同时满足以下两个条件的所有格点的坐标,并说明理由;

①到A(﹣1,﹣1)、B(1,1)两点的“直角距离”相等;

②到C(﹣2,﹣2)、D(2,2)两点的“直角距离”之和最小。

正确答案

(1)设点P(x,y),则有新定义可得,|x|+|y|=2,

则满足条件的格点的坐标为(0,2),(0,﹣2),(1,1),(1,﹣1),(﹣1,1),(﹣1,﹣1),(2,0),(﹣2,0);

(2)①动点的轨迹方程为|x+1|+|x﹣1|+2|y|=4,如图1所示轨迹为六边形.

②|x+1|+|x﹣1|+|y﹣1|+|y+1|=4,如图2所示轨迹为正方形及内部.

③|x+1|+|x﹣1|+|y﹣1|+|y+1|=8,如图3所示轨迹是八边形.

(3)设满足条件的格点的坐标为(x,y),

则由①,得|x+1|+|y+1|=|x﹣1|+|y﹣1|,当x≥1,y≥1,x+y+2=x+y﹣2不成立;

当x≤﹣1,y≤﹣1,方程也不成立;

当x≥1,y≤﹣1,x+1﹣y﹣1=x﹣1+1﹣y成立;

当x≤﹣1,y≥1,也成立;

当x≥1,﹣1<y<1,x+1+y+1=x﹣1+1﹣y,则y=﹣1;

当x≤﹣1,﹣1<y<1,则y=1;

当﹣1<x<1,y≥1,x+1+y+1=1﹣x+y+1,则x=0;

当﹣1<x<1,y≤﹣1,x+1﹣y﹣1=1﹣x+1﹣y,则x=1;

当﹣1<x<1,﹣1<y<1,x+1+y+1=1﹣x+1﹣y,则x+y=0.

由②得,到C(﹣2,﹣2)、D(2,2)两点的“直角距离”之和d=|x+2|+|x﹣2|+|y+2|+|y﹣2|≥|(2+x)+(2﹣x)|+|(2+y)+(2﹣y)=4+4=8,当且仅当﹣2≤x≤2且﹣2≤y≤2,取得最小值8.

综合上面,可得格点为(2,﹣1),(2,﹣2),(1,﹣1),(1,﹣2),(0,0),(﹣1,2),(﹣1,1),(﹣2,2),(﹣2,1).

解析

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知识点

函数的概念及其构成要素

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