• 数学 虹口区2015年高三试卷
填空题 本大题共15小题,每小题4分,共60分。把答案填写在题中横线上。
1

1.设P和Q是两个集合,定义集合P﹣Q={x|x∈P,且x∉Q},如果P={x|log2x<1},Q={x||x﹣2|<1},那么P﹣Q等于________.

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2.在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若a=1,b=,则B=________.

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3.若数列{an}满足:a1=1,an+1=an(n∈N*),则a1+a2+…+an=________.

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4.若(x2+6的二项展开式中x3的系数为,则a=________(用数字作答).

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5.若函数的定义域为R,则实数a的取值范围是________.

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6.在数列{an}中,若a1=1,an+1=2an+3(n≥1),则该数列的通项an=________.

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7.一个正四棱柱的各个顶点在一个直径为2cm的球面上.如果正四棱柱的底面边长为1cm,那么该棱柱的表面积为________cm2

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8.已知双曲线(m>0)的一条渐近线方程为y=x,它的一个焦点恰好在抛物线y2=ax的准线上,则 a=________.

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9.如图,平面内有三个向量,其中的夹角为120°,的夹角为30°,且||=||=2,||=4,若(λ、μ∈R),则λ+μ的值为________.

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10.已知函数y=f(x)的图象与函数y=ax(a>0且a≠1)的图象关于直线y=x对称,记g(x)=f(x)[f(x)+2f(2)﹣1].若y=g(x)在区间[,2]上是增函数,则实数a的取值范围是________.

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1

11.已知⊙O的方程是x2+y2﹣2=0,⊙O'的方程是x2+y2﹣8x+10=0,由动点P向⊙O和⊙O'所引的切线长相等,则动点P的轨迹方程是________.

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12.从4名男同学和3名女同学中随机选出3人参加演讲比赛,则女同学被抽到的数学期望为________.

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13.已知实数x、y满足,则z=2x﹣y的取值范围是________.

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14.设函数f(x)=x2+1,若关于x的不等式f()+4f(m)≤4m2f(x)+f(x﹣1)对任意x∈[,+∞)恒成立,则实数m的取值范围是________.

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15.在实数集R中,我们定义的大小关系“>”为全体实数排了一个“序”,类似的,我们在平面向量集D={|=(x,y),x∈R,y∈R}上也可以定义一个称为“序”的关系,记为“›”.定义如下:对于任意两个向量=(x1,y1),=(x2,y2),当且仅当“x1>x2”或“x1=x2且y1>y2”.按上述定义的关系“›”,给出如下四个命题:

①若=(1,0),=(0,1),=(0,0),则

②若,则

③若,则对于任意∈D,(+)>(+);

④对于任意向量=(0,0)若,则

其中真命题的序号为________.

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单选题 本大题共4小题,每小题4分,共16分。在每小题给出的4个选项中,有且只有一项是符合题目要求。
1

16.复数的虚部是()

A

B

C

D

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1

17.下列各小题中,p是q的充分必要条件的是()

①p:m<﹣2,或m>6;q:x2+mx+m+3有两个不同的零点;

②p:=1;q:y=f(x)是偶函数;

③p:cosα=cosβ;q:tanα=tanβ;

④p:A∩B=A;q:∁UB⊆∁UA.

A①②

B②③

C③④

D①④

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1

18.如图,动点P在正方体ABCD﹣A1B1C1D1的对角线BD1上.过点P作垂直于平面BB1D1D的直线,与正方体表面相交于M,N.设BP=x,MN=y,则函数y=f(x)的图象大致是()

A

B

C

D

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19.已知满足条件x2+y2≤1的点(x,y)构成的平面区域面积为S1,满足条件[x]2+[y]2≤1的点(x,y)构成的平面区域的面积为S2,其中[x]、[y]分别表示不大于x,y的最大整数,例如:[﹣0.4]=﹣1,[1.6]=1,则S1与S2的关系是()

AS1<S2

BS1=S2

CS1>S2

DS1+S2=π+3

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简答题(综合题) 本大题共74分。简答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
1

20.已知△ABC三个顶点的直角坐标分别为A(3,4)、B(0,0)、C(c,0).

(1)若,求c的值;

(2)若c=5,求sinA的值.

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21.如图,在四棱锥P﹣ABCD中,底面为直角梯形,AD∥BC,∠BAD=90°,PA⊥底面ABCD,且PA=AD=AB=2BC,M、N分别为PC、PB的中点.

(1)求证:PB⊥DM;

(2)求CD与平面ADMN所成的角.

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22.在m(m≥2)个不同数的排列P1P2…Pn中,若1≤i<j≤m时Pi>Pj(即前面某数大于后面某数),则称Pi与Pj构成一个逆序.一个排列的全部逆序的总数称为该排列的逆序数.记排列(n+1)n(n﹣1)…321的逆序数为an,如排列21的逆序数a1=1,排列321的逆序数a3=6.

(1)求a4、a5,并写出an的表达式;

(2)令,证明2n<b1+b2+…+bn<2n+3,n=1,2,….

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23.对于定义在R上的函数f(x),可以证明点A(m,n)是f(x)图象的一个对称点的充要条件是f(m﹣x)+f(m+x)=2n,x∈R.

(1)求函数f(x)=x3+3x2图象的一个对称点;

(2)函数f(x)=ax3+(b﹣2)x2(a,b∈R)在R上是奇函数,求a,b满足的条件;并讨论在区间[﹣1,1]上是否存在常数a,使得f(x)≥﹣x2+4x﹣2恒成立?

(3)试写出函数y=f(x)的图象关于直线X=M对称的充要条件(不用证明);利用所学知识,研究函数f(x)=ax3+bx2(a,b∈R)图象的对称性。

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24.在直角坐标平面内,我们定义A(x1,y1)、B(x2,y2)两点间的“直角距离”为DAB=|x1﹣x2|+|y1﹣y2|.

(1)在平面直角坐标系中,写出所有满足到原点的直角距离为2的“格点”的坐标(“格点”指的是横、纵坐标均为整数的点)

(2)求到两定点F1、F2的“直角距离”之和为定值2a(a>0)的动点的轨迹方程,并在直角坐标系内作出该动点的轨迹;

①F1(﹣1,0)、F2(1,0)、a=2;

②F1(﹣1,﹣1)、F2(1,1)、a=2

③F1(﹣1,﹣1)、F2(1,1)、a=4;

(3)写出同时满足以下两个条件的所有格点的坐标,并说明理由;

①到A(﹣1,﹣1)、B(1,1)两点的“直角距离”相等;

②到C(﹣2,﹣2)、D(2,2)两点的“直角距离”之和最小。

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