数学新乡市2017年高三第一次调研考试

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试卷目录

1、单选题

2、简答题

3、填空题

真题试卷
模拟试卷

单选题本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的4个选项中，有且只有一项是符合题目要求。

题型：单选题

分值: 5分

1．已知集合，则（）

正确答案

解析

为定义域，故，其补集为，解得，所以.

考查方向

定义域，一元二次不等式，集合交集，并集和补集．

解题思路

先求集合A，再求，然后求出即可.

易错点

1.要看清楚它的研究对象，是实数还是点的坐标还是其它的一些元素，这是很关键的一步.2.要注意分母不能为零.3.元素与集合之间是属于和不属于的关系，集合与集合间有包含关系. 在求交集时注意区间端点的取舍.

题型：单选题

分值: 5分

2．已知复数，则的虚部为（）

正确答案

解析

，虚部为.

考查方向

复数运算．

解题思路

分子分母同时乘以分母的共轭复数.

易错点

1.计算错误.

题型：单选题

分值: 5分

3．统计新生婴儿的体重，其频率分布直方图如图所示，则新生婴儿体重在克内的频率为（）

A0.001

B0.1

C0.2

D0.3

正确答案

解析

频率即小长方形的面积，.

考查方向

频率分布直方图．

解题思路

利用频率即小长方形的面积.

易错点

理解小长方形的高度的意义

题型：单选题

分值: 5分

4．如图是一个几何体的三视图，根据图中数据，可得该几何体的表面积为（）

正确答案

解析

由三视图知这是一个半球，由两个面组成，表面积为.

考查方向

三视图．

解题思路

有三视图得到原几何体，然后利用球的表面积公式及圆的面积公式.

易错点

容易丢掉圆的面积.

题型：单选题

分值: 5分

5．函数的零点必落在区间（）

正确答案

解析

，所以零点所在区间为.

考查方向

零点与二分法．

解题思路

带入验证，满足即可.

易错点

函数值的正负的判断.

题型：单选题

分值: 5分

7．已知变量满足，则的取值范围是（）

正确答案

解析

画出可行域如下图所示，由图可知，目标函数分别在点和点处取得最大值为，最小值为.

考查方向

线性规划．

解题思路

作出可行域，然后平移目标函数所在的直线找出最值.

易错点

可行域容易画错，最优解容易找错.

题型：单选题

分值: 5分

8．执行下面的程序框图，则输出结果（）

正确答案

解析

运行程序，，判断是，，判断是，，判断是，，判断否，退出循环，输出.

考查方向

算法与程序框图．

解题思路

先求s，n，直到满足判断框的条件即可.

易错点

循环次数容易出错.

题型：单选题

分值: 5分

9．已知函数的部分图象如图所示，则把函数的图像向左平移后得到的函数图象的解析式是（）

正确答案

解析

由图可知，，所以，

，所以，向左移后得到.

考查方向

三角函数图象与性质，三角函数图象变换．

解题思路

由两个特殊点的横坐标的距离可得到周期，然后求出的值，由特殊点求出的值，最后根据平移变换求出平移后的解析式.

易错点

向右平移时容易让整体减去.

题型：单选题

分值: 5分

6．已知各项均不为0的等差数列满足，数列为等比数列，且，则（）

A25

B16

正确答案

解析

由，得，所以，.

考查方向

等差、等比数列的基本概念．

解题思路

利用等差数列的性质先求出，然后再利用等比数列的性质求出结果.

易错点

等差，等比数列的性质容易记错.

题型：单选题

分值: 5分

10．已知函数，若，则实数的取值范围是（）

正确答案

解析

当时，符合题意，排除B，D.

当时，

不符合题意，排除C，故选A.

考查方向

分段函数图象与性质．

解题思路

(1)特殊值验证.（2）先判断函数的单调性，然后利用单调性解不等式.

易错点

直接把和2m代入函数解析式.

题型：单选题

分值: 5分

11．已知双曲线，过双曲线的右焦点，且倾斜角为的直线与双曲线交地两点，是坐标原点，若，则双曲线的离心率为（）

正确答案

解析

由题意可知是通径，根据双曲线的对称性和可知，三角形为等边三角形，即，由，得，两边除以得，解得.

考查方向

直线与圆锥曲线位置关系．

解题思路

本题主要考查直线和双曲线的位置关系，考查双曲线的对称性和离心率.过双曲线的右焦点且倾斜角为的直线所得弦即为通径，通径的长度为，这可以作为一个结论来记下来.根据双曲线的对称性和可知，三角形为等边三角形，利用角度得到边的关系，列出方程，然后转化为离心率，解方程求得离心率.

易错点

忽略了双曲线的对称性.

题型：单选题

分值: 5分

12．已知数列满足，则所有可能的值构成的集合为（）

正确答案

解析

当时，；当时，；当时，，当时， .所以符合题意，排除C；符合题意，排除A；符合题意，排除B，故选D.

考查方向

递推数列．

解题思路

本题主要考查递推数列、合情推理与演绎推理两个知识点.题目给定的递推数列，作用在于已知某一项，可以求出其后一项.列举当时，可能的取值，然后通过令分别等于，递推后面几项，只要满足的，即为符合题意的.

易错点

计算错误

简答题（综合题）本大题共90分。简答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

题型：简答题

分值: 12分

在中，角的对边分别为，已知．

17．求；

18．若，求面积的最大值．

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

解析

原式化为，解得．

考查方向

正、余弦定理.

解题思路

根据余弦定理，正弦定理，和，将已知化为解得.

易错点

忽略三角形内角和.

第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

解析

因为，所以，所以（当且仅当时取等号），从而（当且仅当时取等号），即面积的最大值为．

考查方向

利用正弦定理求三角形面积．

解题思路

【解题思路】三角形面积公式

易错点

忽略基本不等式的应用.

题型：简答题

分值: 12分

甲、乙两位数学老师组队参加某电视台闯关节目，共3关，甲作为嘉宾参与答题，若甲回答错误，乙作为亲友团在整个通关过程中至多只能为甲提供一次帮助机会，若乙回答正确，则甲继续闯关，若某一关通不过，则收获前面所有累积奖金．约定每关通过得到奖金2000元，设甲每关通过的概率为，乙每关通过的概率为，且各关是否通过及甲、乙回答正确与否均相互独立．

21．求甲、乙获得2000元奖金的概率；

22．设表示甲、乙两人获得的奖金数，求随机变量的分布列和数学期望．

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

解析

甲、乙获得2000元奖金的概率有两种情况：①第一关甲答对，第二关甲、乙都答错；②第一关甲答错，乙答对，第二关甲答错．

故其概率为：

考查方向

相互独立事件．

解题思路

甲、乙获得元奖金的概率有两种情况：①第一关甲答对，第二关甲、乙都答错；②第一关甲答错，乙答对，第二关甲答错．故其概率为：.

易错点

少情况.

第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

分布列见解析，.

解析

根据题意，，

；；

；

随机变量的分布列为

所以（元）（写成也对）．

考查方向

二项分布．

解题思路

根据题意，，利用相互独立事件概率计算公式和二项分布计算公式计算出分布列，并求出数学期望.

易错点

随机变量的取值容易找错.

题型：简答题

分值: 12分

如图①所示，四边形为等腰梯形，，且于点为的中点．将沿着折起至的位置，得到如图②所示的四棱锥.

19．求证：平面；

20．若平面平面，求二面角的余弦值．

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

证明见解析.

解析

取的中点，连接．

∵为的中点，

∴，且，

∵图①中四边形为等腰梯形，，且，

∴，

∴四边形为平行四边形，∴，

∵平面平面，

∴平面

考查方向

线面平行的判定．

解题思路

取的中点，连接，根据中位线，且，而，所以且，所以四边形为平行四边形，所以，所以平面.

易错点

折起时一些线段角度不改变.

第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

解析

易证两两垂直，故以点为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，

∴，

所以，设平面的法向量为．

则令，得，

显然为平面的一个法向量，

所以，

由图知平面与平面所成的二面角为锐角，所以所求的余弦值为．

考查方向

空间向量与立体几何．

解题思路

以点为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，计算平面与平面的法向量，利用两个法向量求得二面角的余弦值为.

易错点

坐标求错.

题型：简答题

分值: 12分

设为坐标原点，已知椭圆的离心率为，抛物线的准线方程为．

23．求椭圆和抛物线的方程；

24．过定点的直线与椭圆交于不同的两点，若在以为直径的圆的外部，求直线的斜率的取值范围．

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

，.

解析

由题意得，∴，故抛物线的方程为，又，∴，∴，从而椭圆的方程为．

考查方向

直线与圆锥曲线位置关系．

解题思路

抛物线的准线为，所以，抛物线方程为，根据离心率，所以椭圆的方程为.

易错点

抛物线方程中的a易求错.

第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

解析

显然直线不满足题设条件，可设直线．

由，得．

∵，∴，

，

根据题意，得，

∴

．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．11分

∴，综上得 .

考查方向

直线与圆锥曲线位置关系．

解题思路

设直线，联立直线的方程和椭圆的方程，消去，由于直线和椭圆有两个交点，所以判别式大于零，写出根与系数关系，“在以为直径的圆的外部”等价于，将根与系数关系代入求得的取值范围是.

题型：简答题

分值: 12分

已知函数．

25．函数的极值；

26．设，比较与1的大小关系，并说明理由．

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

当时，函数无极值，当时，函数有极大值，无极小值.

解析

依题意

①若，则在上恒成立，函数无极值；

②若，则，此时，

令，解得，令，解得，

故函数的单调增区间为，单调减区间为，

故函数的极大值为，无极小值.

综上所述，当时，函数无极值；当时，函数有极大值，无极小值

考查方向

函数导数与不等式．

解题思路

依题意，分子是一个二次项系数含有参数的式子，所以要对进行分类讨论，根据开口方向，将分成和两类来讨论函数的单调区间和极值.

易错点

确定函数的定义域，否则，写出的单调区间易出错.分类讨论易考虑不全面.

第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

，理由见解析.

解析

依题意，，

要比较与1的大小，即比较与的大小．

∵，∴可比较与的大小

令，即比较与的大小．

设，

则，

因为，所以，所以函数在上单调递减，

故，所以对任意恒成立，

所以，

所以 .

考查方向

函数导数与不等式．

解题思路

，即比较与的大小. 令，即比较与的大小．构造函数利用导数求得其最大值为，得证.

易错点

解决含参数问题及不等式问题注意两个转化：（1）利用导数解决含有参数的单调性问题可将问题转化为不等式恒成立问题，要注意分类讨论和数形结合思想的应用．（2）将不等式的证明、方程根的个数的判定转化为函数的单调性问题处理．

题型：简答题

分值: 10分

请考生在22、23、24三题中任选一题作答.注意：只能做所选定的题目.如果多做，则按所做的第一个题目记分，作答时请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑.

选修4-1：几何证明选讲

如图，已知四边形是圆的内接四边形，是圆上的动点，与交于，圆的切线与线段的延长线交于．

27．证明：是的平分线；

28．若过圆心，，求的长．

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

证明见解析.

解析

因为是圆的切线，所以，又，

所以，故是的平分线 .

考查方向

几何证明选讲．

解题思路

由弦切角等于所夹的弧所对的圆周角，得，又所以，故是的平分线.

易错点

切割线定理应用

第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

解析

因为为圆心，易得，

因为，所以，所以，

由切割线定理得，即，

即，解得.

考查方向

几何证明选讲．

解题思路

因为为直径，由垂径定理得，且，再由切割线定理列方程，求解得.

易错点

切割线定理应用

题型：简答题

分值: 10分

选修4-5：不等式选讲

已知函数．

31．求不等式的解集；

32．若实数，且的最小值为，求的最小值，并指出此时的值．

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

解析

原不等式等价于，解得，综上所述，不等式的解集为 .

考查方向

不等式选讲．

解题思路

不等式为，利用零点分段法去绝对值，分成三段，求得不等式的解集为.

易错点

交并集求错.

第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

解析

依题意，可知，

，

故，当且仅当时等号成立.

考查方向

不等式选讲．

解题思路

，所以，利用基本不等式求得最小值为，此时.

易错点

，所以，绝对值得几何意义.

题型：简答题

分值: 10分

选修4-4：坐标系与参数方程

在直角坐标系中，以为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知直线的参数方程为，（为参数），曲线的普通方程为，点的极坐标为．

29．求直线的普通方程和曲线的极坐标方程；

30．若将直线向右平移2个单位得到直线，设与相交于两点，求的面积．

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

，.

解析

根据题意，直线的普通方程为，曲线的极坐标方程为 .

考查方向

坐标系与参数方程．

解题思路

通过加减消元法求得直线的普通方程为，根据化简得圆的极坐标方程为．

易错点

普通方程与极坐标方程的转化公式.

第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

解析

的普通方程为，所以其极坐标方程为，所以，故，因为，所以点到直线的距离为，所以.

考查方向

坐标系与参数方程．

解题思路

将直线向右平移个单位得到直线，方程为，其极坐标方程为，所以，故.点到直线的距离为，所以．

易错点

将直线向右平移个单位得到直线，的方程易错.

填空题本大题共4小题，每小题5分，共20分。把答案填写在题中横线上。

题型：填空题

分值: 5分

13．已知向量，若间的夹角为，则____________．

正确答案

解析

考查方向

向量运算．

解题思路

利用向量的数量积的性质及数量积的定义.

易错点

忘记开方.

题型：填空题

分值: 5分

14．经过抛物线的焦点和顶点且与准线相切的圆的半径为___________．

正确答案

解析

焦点为，所以圆心在直线上，设圆心坐标为，所以到准线的距离即半径为.

考查方向

抛物线．

解题思路

先确定圆心在直线上，根据圆心到准线的距离即为圆的半径求出.

易错点

忽略圆心到准线的距离即为半径.

题型：填空题

分值: 5分

15．已知一个圆锥内接于球（圆锥的底面圆周及顶点均在球面上），若球的半径，圆锥的高是底面半径的2倍，则圆锥的体积为___________．

正确答案

解析

设圆锥底面半径为，高为.依题意有，解得，所以圆锥的体积为.

考查方向

圆锥与球．

解题思路

本题主要突破口在于找到外接球的球心. 设几何体底面外接圆半径为,常见的图形有正三角形,直角三角形,矩形,它们的外心可用其几何性质求；而其它不规则图形的外心,可利用正弦定理来求.若长方体长宽高分别为则其体对角线长为；长方体的外接球球心是其体对角线中点.找几何体外接球球心的一般方法:过几何体各个面的外心分别做这个面的垂线,交点即为球心. 三棱锥三条侧棱两两垂直,且棱长分别为，则其外接球半径公式为: .

易错点

找不到球心和圆锥的关系.

题型：填空题

分值: 5分

16．由1，2，3三个数字组成的五位数中，相邻的数字不相同的五位数共有_________个．

正确答案

解析

先分类，只有个数字组成的位数，一共有种；由个数字组成的位数，其中是固定的，最后两个数可能是六种情况，其中的，先排三个相同的数字，在拍剩下两个数字，所以方法数有种，对于三种，由于有两个数字相同，各有种排法，共有种排法.综上所述，方法数一共有种.

考查方向

排列组合．

解题思路

解决排列组合应用问题的关键是要分析问题中有无限制条件．对于有限制条件的排列组合问题要注意考虑限制条件的元素或位置．对较复杂的排列组合问题，要采用先选后排的原则．

易错点

区分某一问题是排列问题还是组合问题，关键看选出的元素与顺序是否有关．若交换某两个元素的位置对结果产生影响，则是排列问题；若交换任意两个元素的位置对结果没有影响，则是组合问题．也就是说排列问题与选取元素的顺序有关，组合问题与选取元素的顺序无关．

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