数学徐汇区2015年高三试卷

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填空题本大题共14小题，每小题4分，共56分。把答案填写在题中横线上。

1．不等式的解集是________

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2．设集合,则=_______

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3．三角形的三边之比为,则此三角形的最大内角是____

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4．若纯虚数满足（其中是虚数单位，），则____

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5．已知双曲线的两个焦点分别是、，点在双曲线上，且垂直于轴，，则此双曲线的渐近线方程是_______

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6．某产品经过4次革新后，成本由原来的105元下降到60元．如果这种产品每次革新后成本下降的百分率相同，那么每次革新后成本下降的百分率是______（精确到）

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7．双曲线的渐近线与圆相切，则r=____

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8．已知复数（其中是虚数单位），若在复平面上对应的点位于第三象限，则实数的取值范围是_______．

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9．已知，则的值为_______

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10．已知是虚数单位，集合，，（可以等于），从集合中任取一元素，则该元素为实数的概率为________

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11．如图1所示的正方体的棱长为1,沿对角面（图中阴影部分）将其分割成两块,重新拼接成如图2所示的斜四棱柱,则所得的斜四棱柱的表面积是_______

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12．在极坐标系中，已知点，点是曲线上任意一点，设点到直线的距离为，则的最小值为______

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13．有一堆形状、大小相同的珠子，其中只有一粒重量比其它的轻，某同学经过思考，他说根据科学的算法，利用天平，四次肯定能找到这粒最轻的珠子，则这堆珠子最多有_____粒．

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14．以正方形的四个顶点分别作为椭圆的两个焦点和短轴的两个端点，是该椭圆上的任意三点（异于椭圆顶点）．若存在锐角，使，则直线、的斜率乘积为______．

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单选题本大题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的4个选项中，有且只有一项是符合题目要求。

15．下列命题中错误的是（）

A正棱锥的所有侧棱长相等

B圆柱的母线垂直于底面

C直棱柱的侧面都是全等的矩形

D用经过旋转轴的平面截圆锥，所得的截面一定是全等的等腰三角形

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16．已知是定义在上的偶函数，且在上单调递增，则满足的实数的取值范围是（）

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17．曲线与直线在y轴右侧的交点按横坐标从小到大依次记为、、、…，则等于（）

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18．若当为圆上任意一点时，不等式恒成立，则的取值范围是（）

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简答题（综合题）本大题共74分。简答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

19．已知一个圆柱和一个圆锥等底等高,如图,点O为底面的圆心，点P为圆锥的顶点。若圆柱的高等于它的底面直径。

（1）求证:圆柱的任意一条母线和圆锥的任意一条母线所成的角都相等；

（2）求圆柱的全面积和圆锥的全面积的比值

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20．已知函数，

（1）求的最小正周期及判断函数的奇偶性；

（2）在中，，。若对任意实数恒有,求面积的最大值

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21．已知展开式的各项依次记为。设

（1）若的系数依次成等差数列，求的值；

（2）求证：对任意，恒有

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22．抛物线的方程为，过抛物线上一点（）作斜率为、的两条直线分别交抛物线于、两点（、、三点互不相同），且满足。

（1）求抛物线的焦点坐标和准线方程；

（2）当时，若点的坐标为，求为钝角时点的纵坐标的取值范围；

（3）设直线上一点，满足，证明线段的中点在轴上。

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23．已知是由非负整数组成的数列，且是存在的, 满足，，n=3，4，5，……

（1）求；

（2）证明：（n=3,4,5，…）;

（3）求的通项公式及前n项和

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