数学徐汇区2015年高三试卷

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试卷目录

1、填空题

2、单选题

3、简答题

真题试卷
模拟试卷

填空题本大题共14小题，每小题4分，共56分。把答案填写在题中横线上。

题型：填空题

分值: 4分

1．不等式的解集是________

正确答案

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知识点

一元二次不等式的解法

题型：填空题

分值: 4分

4．若纯虚数满足（其中是虚数单位，），则____

正确答案

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知识点

指数函数单调性的应用

题型：填空题

分值: 4分

6．某产品经过4次革新后，成本由原来的105元下降到60元．如果这种产品每次革新后成本下降的百分率相同，那么每次革新后成本下降的百分率是______（精确到）

正确答案

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知识点

直线与平面平行的判定与性质

题型：填空题

分值: 4分

7．双曲线的渐近线与圆相切，则r=____

正确答案

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知识点

双曲线的定义及标准方程

题型：填空题

分值: 4分

8．已知复数（其中是虚数单位），若在复平面上对应的点位于第三象限，则实数的取值范围是_______．

正确答案

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知识点

函数的最值及其几何意义

题型：填空题

分值: 4分

9．已知，则的值为_______

正确答案

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知识点

指数函数的单调性与特殊点

题型：填空题

分值: 4分

2．设集合,则=_______

正确答案

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知识点

对数函数的定义

题型：填空题

分值: 4分

3．三角形的三边之比为,则此三角形的最大内角是____

正确答案

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知识点

指数函数的单调性与特殊点

题型：填空题

分值: 4分

5．已知双曲线的两个焦点分别是、，点在双曲线上，且垂直于轴，，则此双曲线的渐近线方程是_______

正确答案

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知识点

对数函数的值域与最值

题型：填空题

分值: 4分

10．已知是虚数单位，集合，，（可以等于），从集合中任取一元素，则该元素为实数的概率为________

正确答案

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知识点

二次函数的应用

题型：填空题

分值: 4分

11．如图1所示的正方体的棱长为1,沿对角面（图中阴影部分）将其分割成两块,重新拼接成如图2所示的斜四棱柱,则所得的斜四棱柱的表面积是_______

正确答案

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知识点

指数函数的单调性与特殊点

题型：填空题

分值: 4分

14．以正方形的四个顶点分别作为椭圆的两个焦点和短轴的两个端点，是该椭圆上的任意三点（异于椭圆顶点）．若存在锐角，使，则直线、的斜率乘积为______．

正确答案

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知识点

幂函数的概念、解析式、定义域、值域

题型：填空题

分值: 4分

12．在极坐标系中，已知点，点是曲线上任意一点，设点到直线的距离为，则的最小值为______

正确答案

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知识点

导数的乘法与除法法则

题型：填空题

分值: 4分

13．有一堆形状、大小相同的珠子，其中只有一粒重量比其它的轻，某同学经过思考，他说根据科学的算法，利用天平，四次肯定能找到这粒最轻的珠子，则这堆珠子最多有_____粒．

正确答案

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知识点

二次函数的应用

单选题本大题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的4个选项中，有且只有一项是符合题目要求。

题型：单选题

分值: 5分

15．下列命题中错误的是（）

A正棱锥的所有侧棱长相等

B圆柱的母线垂直于底面

C直棱柱的侧面都是全等的矩形

D用经过旋转轴的平面截圆锥，所得的截面一定是全等的等腰三角形

正确答案

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知识点

导数的加法与减法法则

题型：单选题

分值: 5分

16．已知是定义在上的偶函数，且在上单调递增，则满足的实数的取值范围是（）

正确答案

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知识点

导数的乘法与除法法则

题型：单选题

分值: 5分

18．若当为圆上任意一点时，不等式恒成立，则的取值范围是（）

正确答案

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知识点

幂函数的概念、解析式、定义域、值域

题型：单选题

分值: 5分

17．曲线与直线在y轴右侧的交点按横坐标从小到大依次记为、、、…，则等于（）

正确答案

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知识点

导数的乘法与除法法则

简答题（综合题）本大题共74分。简答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

题型：简答题

分值: 12分

19．已知一个圆柱和一个圆锥等底等高,如图,点O为底面的圆心，点P为圆锥的顶点。若圆柱的高等于它的底面直径。

（1）求证:圆柱的任意一条母线和圆锥的任意一条母线所成的角都相等；

（2）求圆柱的全面积和圆锥的全面积的比值

正确答案

设圆柱的高为h，底面半径为r，圆锥的母线长为，h=2r．

（1）因为圆柱的所有母线都平行于OP，圆锥的任意一条母线与轴OP组成全等的直角三角形，如图，为圆柱的母线和圆锥的母线所成的角。

在中，，则

所以，圆柱的任意一条母线和圆锥的任意一条母线所成的角都相等，为

（2），

故，。

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知识点

幂函数的概念、解析式、定义域、值域

题型：简答题

分值: 14分

20．已知函数，

（1）求的最小正周期及判断函数的奇偶性；

（2）在中，，。若对任意实数恒有,求面积的最大值

正确答案

所以，的最小正周期为

所以，函数是非奇非偶函数。

（2）由得

因为是的内角，所以，

由，得

两边平方，整理得，对任意实数恒成立

所以

得则有且

所以

（当且仅当等号成立）

所以，当时，面积的最大值为

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知识点

点与圆的位置关系

题型：简答题

分值: 14分

21．已知展开式的各项依次记为。设

（1）若的系数依次成等差数列，求的值；

（2）求证：对任意，恒有

正确答案

（1）依题意，，

的系数依次为，，，

所以，解得；

（2）

设，

则

考虑到，将以上两式相加得：

,所以

又当时，是上的单调递增函数，

所以对任意，

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直线与平面平行的判定与性质

题型：简答题

分值: 16分

22．抛物线的方程为，过抛物线上一点（）作斜率为、的两条直线分别交抛物线于、两点（、、三点互不相同），且满足。

（1）求抛物线的焦点坐标和准线方程；

（2）当时，若点的坐标为，求为钝角时点的纵坐标的取值范围；

（3）设直线上一点，满足，证明线段的中点在轴上。

正确答案

（1）由抛物线的方程（）得，焦点坐标为，

准线方程为．

（2）因为点在抛物线上，

所以，抛物线方程为．

由③式知，代入得．

将代入⑥式得，代入得．

因此，直线、分别与抛物线的交点、的坐标为

，．

于是，，

．

因为钝角且、、三点互不相同，故必有．

求得的取值范围是或．

又点的纵坐标满足，

故当时，；当时，．

即

（3）证明：设直线、的方程分别为、．

点和点的坐标是方程组的解．

将②式代入①式得，于是，

故　③

又点和点的坐标是方程组的解．

将⑤式代入④式得．

于是，故．

由已知得，，则．　　⑥

设点的坐标为，由，则．

将③式和⑥式代入上式得，即．

∴线段的中点在轴上

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导数的乘法与除法法则

题型：简答题

分值: 18分

23．已知是由非负整数组成的数列，且是存在的, 满足，，n=3，4，5，……

（1）求；

（2）证明：（n=3,4,5，…）;

（3）求的通项公式及前n项和

正确答案

（1）由题设得，、均为非负整数，则的可能的值为1,2,5,10．

若，则，，与题设矛盾，

若，则，，，与题设矛盾，

所以．

（2）用数学归纳法证明．

（i）当，，等式成立。

（ii）假设当（）时等式成立，即，

由题设，

∵，∴，

也就是说，当时，等式成立．

根据（i）和（ii），对于所有，有．

（3）由，及，，

得，，．

（注：n为奇数时，；n为偶数时，．则）

即，．

所以

即

（注：n为偶数时，

n为奇数时，．

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导数的乘法与除法法则

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