• 数学 徐汇区2015年高三试卷
填空题 本大题共14小题,每小题4分,共56分。把答案填写在题中横线上。
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1.不等式的解集是________

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2.设集合,=_______

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3.三角形的三边之比为,则此三角形的最大内角是____

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4.若纯虚数满足(其中是虚数单位,),则____

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5.已知双曲线的两个焦点分别是,点在双曲线上,且垂直于轴,,则此双曲线的渐近线方程是_______

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6.某产品经过4次革新后,成本由原来的105元下降到60元.如果这种产品每次革新后成本下降的百分率相同,那么每次革新后成本下降的百分率是______(精确到

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7.双曲线的渐近线与圆相切,则r=____

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8.已知复数(其中是虚数单位),若在复平面上对应的点位于第三象限,则实数的取值范围是_______.

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9.已知,则的值为_______

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10.已知是虚数单位,集合,(可以等于),从集合中任取一元素,则该元素为实数的概率为________

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11.如图1所示的正方体的棱长为1,沿对角面(图中阴影部分)将其分割成两块,重新拼接成如图2所示的斜四棱柱,则所得的斜四棱柱的表面积是_______

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12.在极坐标系中,已知点,点是曲线上任意一点,设点到直线的距离为,则的最小值为______

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13.有一堆形状、大小相同的珠子,其中只有一粒重量比其它的轻,某同学经过思考,他说根据科学的算法,利用天平,四次肯定能找到这粒最轻的珠子,则这堆珠子最多有_____粒.

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14.以正方形的四个顶点分别作为椭圆的两个焦点和短轴的两个端点,是该椭圆上的任意三点(异于椭圆顶点).若存在锐角,使,则直线的斜率乘积为______.

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单选题 本大题共4小题,每小题5分,共20分。在每小题给出的4个选项中,有且只有一项是符合题目要求。
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15.下列命题中错误的是(   )

A正棱锥的所有侧棱长相等

B圆柱的母线垂直于底面

C直棱柱的侧面都是全等的矩形

D用经过旋转轴的平面截圆锥,所得的截面一定是全等的等腰三角形

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16.已知是定义在上的偶函数,且在上单调递增,则满足的实数的取值范围是(   )

A

B

C

D

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17.曲线与直线在y轴右侧的交点按横坐标从小到大依次记为 、…,则等于 (    )

A

B

C

D

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1

18.若当为圆上任意一点时,不等式恒成立,则的取值范围是(    )

A

B

C

D

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简答题(综合题) 本大题共74分。简答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
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19.已知一个圆柱和一个圆锥等底等高,如图,点O为底面的圆心,点P为圆锥的顶点。若圆柱的高等于它的底面直径。

(1)求证:圆柱的任意一条母线和圆锥的任意一条母线所成的角都相等;

(2)求圆柱的全面积和圆锥的全面积的比值

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20.已知函数

(1)求的最小正周期及判断函数的奇偶性;

(2)在中,。若对任意实数恒有,求面积的最大值

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21.已知展开式的各项依次记为。设

(1)若的系数依次成等差数列,求的值;

(2)求证:对任意,恒有

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22.抛物线的方程为,过抛物线上一点)作斜率为的两条直线分别交抛物线两点(三点互不相同),且满足

(1) 求抛物线的焦点坐标和准线方程;

(2) 当时,若点的坐标为,求为钝角时点的纵坐标的取值范围;

(3) 设直线上一点,满足,证明线段的中点在轴上。

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23.已知是由非负整数组成的数列,且是存在的, 满足,n=3,4,5,…… 

(1)求

(2)证明:(n=3,4,5,…);

(3)求的通项公式及前n项和

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