6.身高从矮到高的甲、乙、丙、丁、戊5人排成高矮相间的一个队形,则甲丁不相邻的不同的排法共有( )
正确答案
解析
从矮到高的甲、乙、丙、丁、戊5人的身高分别用1,2,3,4,5来表示,并且1和4不相邻.高矮相间就是排列成形如字母M或者W的波浪队形。
当波浪队形是M型时,波峰上的两个数只能是3,5或者4,5.
若先排波峰的两个数是4和5时,则1只有1种排法,2和3排在剩余的2个位上这样的数有种。
若先排波峰的两个数是3和5时,则4只有1种排法,2和1排在剩余的2个位上这样的数有种。
当波浪队形是W型时,波谷的两个数只能是1,2或者1,3.
若先排波谷的两个数是1和2时,则4只有1种排法,3和排在剩余的2个位上这样的数有种。
若先排波谷的两个数是1和3时,这样的数只有2个,分别为21534,43512.
综上,甲丁不相邻的不同的排法共有4+4+4+2=14 种
考查方向
解题思路
先按照队形进行分类(M、W两类),在每一类中在进行讨论。
易错点
分类分步要求不重不漏。
7.数列满足
,
,则
的整数部分是( )
正确答案
解析
因此m的整数部分是2,选B.
考查方向
解题思路
整理递推公式,利用裂项相消法求出m,再判断范围。
易错点
递推公式的变形和构造。
8.在△ABC中,已知,P为线段AB上的点,且
的最大值为( )
正确答案
解析
考查方向
解题思路
解三角形得到三边长度,把化简后求出x,y的关系式,再用均值不等式求最值。
易错点
共线向量的性质和应用。
1.若“”是“
”的充分不必要条件,则实数a的取值范围是( )
正确答案
解析
由得
.
因为“”是“
”的充分不必要条件,所以
,
所以,解得
。故选C.
考查方向
解题思路
解二次不等式得到解集,根据充分不必要条件对应的包含关系解出取值范围。
易错点
充分条件中条件集是结论集的子集,必要条件中结论集是条件集的子集,二者易混淆。
2.若整数x,y满足不等式组 则2x+y的最大值是( )
正确答案
解析
画出可行域,如图中阴影部分中的整点(注意x,y为整数)。
设2x+y=z,即y=-2x+z,
z的几何意义是直线y=-2x+z在y轴上的截距。显然,在
点M处z取得最大值。将点M坐标(8,7)代入得z=23
考查方向
解题思路
画出可行域,判断目标函数的几何意义,结合图形求出最值。
易错点
此题最优解必须为整数解,忽略就会出错;其次要注意可行域边界线的虚实和目标函数的几何意义。
3.下列命题中错误的是( )
正确答案
解析
对于答案A,如图(1),设,在平面
内任取一点P,作
则
所以
,故A正确。
对于答案B,如图(2),设在
内作
,则
,故B正确。
对于答案C,可以反证,假如平面内一定存在直线垂直于平面
,根据面面垂直的判定定理,平面
必垂直于平面
,这与条件相矛盾,故平面
内一定不存在直线垂直于平面
,答案C正确。
对于答案D,如图(3)当此点在两平面交线上时,所做的垂线可以不在平面内,么此垂线就不一定必垂直于平面
,故答案D错误。
考查方向
解题思路
画出直观图,利用判定定理和性质定理进行证明判断。
易错点
在运用定理时条件必须充分。
4.已知函数的图象与
轴
的两个相邻交点的距离等于
,若将函数
的图象向左平移
个单位得到函数
的图象,则
是减函数的区间为( )
正确答案
解析
因为
图像与
轴的两个相邻交点的距离等于
,所以
的周期
,所以
,
令所以减区间为
,当
时,得到减区间
,答案A是其子集.选A.
考查方向
解题思路
化简为
利用周期求出
利用平移变换求出
进而求出其减区间。也可以将答案中的范围代入
解析式进行判断。
易错点
图像的平移(左加右减,注意系数)、求单调区间(整体代换,本质为复合函数)
5.在平面斜坐标系中
,点
的斜坐标定义为:“若
(其中
分别为与斜坐标系的
轴,
轴同方向的单位向量),则点
的坐标为
”.若
且动点
满足
,则点
在斜坐标系中的轨迹方程为( )
正确答案
解析
,同理
将代入上式化简得
选:D.
考查方向
解题思路
用,
表示
和
,将向量的模变为向量的平方,利用向量的数量积进行化简。
易错点
向量数量积的运算和化简。
9.某三棱锥的三视图如图所示,则该三棱锥体积是▲ ,四个面的面积中最大的是▲ .
正确答案
1,,
解析
画出三视图所对应的几何体的直观图,如图中三棱锥P-ABC,PB⊥平面ABC,BH是三角形ABC边AC上的高.
AC=3,BH=1,AH=1,CH=2,PB=2,
所以,
解题思路
1、由三视图正确还原几何体,画出直观图,可将几何体放到长方体中考虑;
10.已知实数满足
,则直线
恒过定点 ▲ ,该直线被圆
所截得弦长的取值范围为 ▲
正确答案
;
解析
即:
,显然过定点P
。▲
因为定点P在圆内,当直线经过圆心O时,弦长最大等于2r=6,当
与OP垂直时弦长最短,为
,所以弦长的取值范围为
。▲
考查方向
解题思路
表示经过
交点的直线,过圆内定点的最长弦为过此点的直径,最短的弦时与前述直径垂直。
易错点
直线系方程的整理,圆的几何性质。
11.已知向量,
= ▲ 、
= ▲ ,设函数
R),
取得最大值时
的x的值是 ▲ .
正确答案
Z.
解析
由
得
.
当
考查方向
解题思路
(1)由向量的数量积得到关于的方程,与
联立解出
。
(2)化简为
(
)的形式,
可解出
取最大值时的x值。
易错点
利用同角三角函数平方关系时要注意判断正负,三角恒等变换要准确,写最大值对应的x值时不能忘掉
。
13.将函数的图像绕原点顺时针方向旋转角
得到曲线
.若对于每一个旋转角
,曲线
都是一个函数的图像,则
的取值范围是▲ .
正确答案
[0,
解析
作出函数的图像,我们知道,在某个范围内,每给出一个x值,都有且只有一个y值与之对应,则y是x的函数。或者说作x轴的垂线,与图像最多只能有一个交点。如图一,当旋转角度小于
时,仍然为函数图像;当
=
时,如图二,图像中有一边与x轴垂直,不再是函数图像;当
大于
时,如图三,图像与x轴的垂线会有两个交点,也不是函数图像。所以,
图一 图二 图三
考查方向
解题思路
分类去掉绝对值,得到分段函数,画出函数图像,根据函数定义即可判断范围。
易错点
函数定义
15.三棱锥中,
两两垂直且相等,点
,
分别是
和
上的动点,且满足
,
,
则
和
所成角余弦值的取值范围是▲ .
正确答案
解析
如图,以O为原点,直线OA,OB,OC分别为x,y,z轴建立如图所示空间直角坐标系.设OA=OB=OC=3.
则,设P(0,y,3-y),Q(x,0,0)
设PQ与OB所成角为
。
考查方向
解题思路
建立坐标系,用向量求空间两直线的夹角。
易错点
,如果右边不带绝对值符号则可能错误。其次,在求最大最小值的时候必须认真分析函数式的单调性。
12.复数(
为虚数单位)为纯虚数,则复数
的模为▲ .已知
的展开式中没有常数项,且
,则
▲.
正确答案
; 5
解析
(1)
解得
(2)展开式的通项为
,若展开式不含常数项,则有
考查方向
解题思路
(1)求出所给复述的实部和虚部,根据纯虚数的定义求出a的值,再计算复数的模。
(2)先分析出的展开式中的常数项,
项,
项与
中的项相乘才会得到常数项,所以不含常数项也就是
的展开式中不含常数项、
项和
项,再用通项公式即可判断出n满足的条件。
易错点
(1)纯虚数的概念
(2)二项展开式的通项及化简。
14.已知数列满足:
,用[x]表示不超过x的最大整数,则
的值等于▲.
正确答案
1
解析
考查方向
解题思路
把递推公式裂项,求和后求出的范围。
易错点
判断的正负。
(本题满分15分)如图,已知平面平面
,
与
分别是棱长为1与2的正三角形,
//
,四边形
为直角梯形,
//
,
,点
为
的重心,
为
中点,
,
18.当时,求证:
//平面
19.若直线与
所成角为
,试求二面角
的余弦值。
正确答案
见解析
解析
连延长交
于
,因为点
为
的重心,所以
又,所以
,所以
//
;
因为//
,
//
,所以平面
//平面
,
又与
分别是棱长为1与2的正三角形,
为
中点,
为
中点,
//
,又
//
,
所以//
,得
四点共面
//平面
考查方向
解题思路
结合和重心G,可取BC中点P,证明
//
,再证
四点共面。
易错点
证明四点共面
正确答案
解析
平面平面
,易得平面
平面
,
以为原点,
为x轴,
为y轴,
为z轴建立空间直角坐标系,
则,设
,
,
,
因为与
所成角为
,所以
,
得,
,
,
设平面的法向量
,则
,取
,
面的法向量
,所以二面角
的余弦值
。
考查方向
解题思路
建立坐标系,利用求
,再用法向量求二面角角
。
易错点
求二面角时,
求空间直线夹角时,
设直线与抛物线
交于
两点,与椭圆
交于
,
两点,直线
(
为坐标原点)的斜率分别为
,若
.
20.是否存在实数,满足
,并说明理由;
21.求面积的最大值.
正确答案
存在实数=
解析
设直线方程为
,
,
,
,
.[来源:学科网]
联立和
,得
,
则,
,
.
由,所以
,得
.
联立和
,得
,[来源:学*科*网]
所以,
.
由,得
.
因为,
所以
.
考查方向
解题思路
设直线方程为
,直线
分别与抛物线
、椭圆
联立,永根与系数关系表示
易错点
方程组的整理和化简。
正确答案
解析
由(1)根据弦长公式,
得:
根据点到直线
的距离公式,得
,
所以,
设,则
,
所以当,即
时,
有最大值
.
考查方向
解题思路
用弦长公式求,用点线距离公式求点
到直线
的距离
,从而表示
,用均值不等式求最值。
易错点
构造基本不等式。
(本题满分14分)已知函数
16.求函数图象对称中心的坐标;
17.如果的三边
满足
,且边
所对的角为
,求
的取值范围。
正确答案
解析
(Ⅰ)
由=0即
即对称中心为.
考查方向
解题思路
用和差角公式和倍角公式化简函数式为形式,并求其对称中心。
易错点
sinx的对称中心为(k,0)
正确答案
解析
由已知b2=ac,[来源:学|科|网]
即的范围是
。
考查方向
解题思路
用余弦定理和基本不等式求出cosB的范围,从而求出B的取值范围,代入f(x)解析式可以求出的取值范围。
易错点
sinx在不调性。
已知函数
22.若为
的极值点,求实数
的值;
23.若在
上为增函数,求实数
的取值范围;
24.当时,方程
有实根,求实数
的最大值.
正确答案
解析
(I)
因为为
的极值点,所以
,即
,解得
。……4分
考查方向
解题思路
为
的极值点,所以
易错点
导函数的化简。
正确答案
解析
因为函数在
上为增函数,所以
在
上恒成立。………6 分
①当时,
在
上恒成立,所以
在
上为增函数,故
符合题意。 … ……7分
②当时,由函数
的定义域可知,必须有
对
恒成立,故只能
,所以
在
上恒成立。
………8分
令函数,其对称轴为
,因为
,所以
,要使
在
上恒成立,只要
即可,即
,所以
。因为
,所以
。
综上所述,a的取值范围为。 ………10分
考查方向
解题思路
在
上为增函数,则
在
上恒成立。
易错点
应该带等号。
正确答案
0
解析
当时,方程
可化为
。
问题转化为在
上有解,即求函数
的值域。
因为函数,令函数
,………12分
则,
所以当时,
,从而函数
在
上为增函数,
当时,
,从而函数
在
上为减函数,
因此。
而,所以
,因此当
时,b取得最大值0. ………15分
考查方向
解题思路
问题转化为在
上有解,即求函数
的值域。
易错点
分离参数法和构造函数,将函数简化为函数
已知数列,
,
,
.记
.
求证:当时
25.;
26.;
27.
正确答案
详见解析
解析
因为
同号,即与
一致.
因为,且
,
即
根据①和②,可知对任何
都成立.
考查方向
解题思路
用,
推导
关系,从而递推到
用
证明
与1的大小关系。
易错点
的符号关系。
正确答案
详见解析
解析
证明:由,
(
),
得.
因为,所以
.
,所以
. …………10分
考查方向
解题思路
由得到
累加可得到
易错点
求出即可,不需要求出具体的
公式。
正确答案
祥见答案
解析
证明:由,得
所以,
于是,
故当时,
,
又因为,
所以. …………15分
考查方向
解题思路
由,得
,进而将
进行放缩再求和。
易错点
控制放缩的程度,从第三项开始放大,否则就会超出范围。