数学 2017年高三第一次模拟考试

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试卷目录

1、单选题

2、填空题

3、简答题

真题试卷
模拟试卷

单选题本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的4个选项中，有且只有一项是符合题目要求。

题型：单选题

分值: 5分

1.设是虚数单位，复数的虚部是（）

A-2

正确答案

解析

复数的虚部－2

考查方向

复数的概念与定义

解题思路

根据复数虚部的定义即可得出

易错点

复数的实部，虚部的定义

题型：单选题

分值: 5分

2.函数（是自然对数的底数）在点处的切线方程是（）

正确答案

解析

∵，∴
∴，所以切线为：，即

故选 B。

考查方向

利用导数研究曲线上某点切线方程．

解题思路

由函数求导，导函数代入点的横坐标为斜率，再利用点斜式求直线方程

易错点

利用导数求曲线上某点切线方程的求法

题型：单选题

分值: 5分

3.已知，，则（）

正确答案

解析

∵即，又，∴，

∴，故选C

考查方向

诱导公式，同角三函数的关系式求三角函数值

解题思路

，由诱导公式得，又，得出，再利用

易错点

诱导公式，求三角函数值

题型：单选题

分值: 5分

5.函数，的值域是（）

正确答案

解析

函数

，所以，故选B

考查方向

降幂公式，辅助角公式的灵活应用

解题思路

由函数出发展开，利用降幂公式，辅助角公式变形得很容易选出答案

易错点

降幂公式，辅助角公式

题型：单选题

分值: 5分

6.已知是等比数列，则“”是“是单调递增数列”的（）

A充分不必要条件

B必要不充分条件

C充分必要条件

D既不充分也不必要条件

正确答案

解析

是等比数列，公比可为负数，是可能是单调递增数列，故充分性不成立，若是单调递增数列，则一定有“”，故必要性成立。综上，“”是“是单调递增数列”的必要不充分条件，故选B。

考查方向

等比数列的性质，充要条件的判断方法

解题思路

利用是等比数列，结合充要条件的判断方法即可得出结论

易错点

充要条件的判断

题型：单选题

分值: 5分

8.在的展开式中，含的项的系数是（）

A121

B-74

C74

D-121

正确答案

解析

，中的系数为，中的系数为，，故选：D

考查方向

二项式定理

解题思路

为等比数列的和为，故含的项的系数为－中的系数和

易错点

多个求和转化为等比数列求和

题型：单选题

分值: 5分

9.已知实数满足，则的最大值是（）

正确答案

解析

实数满足，∴，

令，，

则， ∴其最大值是，故选：A。

考查方向

不等式，三角函数的最值

解题思路

由题求的最值，又由，令，，，则，得出

易错点

正弦型三角函数

题型：单选题

分值: 5分

10.已知是上的奇函数，当时，，则函数的所有零点之和是（）

正确答案

解析

当时，则，解得，或，当时，则，解得， ∵为奇函数， ∴当时，，则，解得（舍去），当时，，则，解得或，故所有的零点之和为，故选：B

考查方向

奇函数，分段函数的零点

解题思路

分段讨论在不同的区间的不同的零点，最后所有的零点之和就很容易求出

易错点

分段讨论函数的零点

题型：单选题

分值: 5分

4.已知是两条不同的直线，是两个不同的平面（）

A若，，则

B若，，则

C若，，则

D若，，则

正确答案

解析

由是两条不同的直线，是两个不同的平面，若，，平行或相交，故A错，若，，则垂直，故B错，若，，则垂直，故C错，故选D。

考查方向

空间线面平行，垂直关系的判定

解题思路

根据空间线面关系的判定方法和几何特征依次分析结论的真假，可得答案

易错点

空间线面平行，垂直关系的判定

题型：单选题

分值: 5分

7.已知双曲线与抛物线有公共焦点且交于两点，若直线过焦点，则该双曲线的离心率是（）

正确答案

解析

∵抛物线和双曲线有共同的焦点， ∴ ， ∵直线 AB 过两曲线的公共焦点 F， ∴，即为双曲线上的一个点， ∴,

∴， ∴， ∴，

∵， ∴，故选：B

考查方向

圆锥曲线的共同特征。

解题思路

由题，，又两曲线交于A，B两点，即为双曲线上点，代入转化成齐次式，再由，求出离心率

易错点

齐次式求离心率

填空题本大题共7小题，每小题5分，共35分。把答案填写在题中横线上。

题型：填空题

分值: 5分

11.已知全集，集合，，则______，________.

正确答案

解析

集合，，；又全集，

考查方向

交集，补集的定义及运算

解题思路

由题集合A，B，由交集，补集的定义可得

易错点

解题时要认真审题，注意交集，补集定义

题型：填空题

分值: 5分

13.若实数满足，则的最大值是________.

正确答案

解析

作出不等式组对应的平面区域如图：

由得，平移直线，由图象可知当直线经过点A时，直线的截距最大，此时 z 最大，由，解得A（4，6），此时．故答案为：14

考查方向

简单的线性规划

解题思路

作出不等式组对应的平面区域，由图可知经过点A时最大

易错点

目标函数的最值

题型：填空题

分值: 5分

14.某几何体的三视图如图所示（单位：），则该几何体的体积是________（单位：），表面积是_________（单位：）.

正确答案

解析

由已知中的三视图可得：该几何体是一个以俯视图为底面的四棱锥，其直观图如图所示：

底面 ABCD 的面积为：，高，故该几何体的体积，侧面 VAD 的面积为：， VA=VD=2cm，，VB=VC=2cm，侧面 VAB 和侧面 BCD 的面积为，侧面 VBC 底面上的高为cm，故侧面 VBC 的面积为，故几何体的表面积，故答案为：,

考查方向

简单几何体的三视图、表面积、体积的计算

解题思路

已知中的三视图还原几何体为以俯视图为底面的四棱——底面 ABCD 的面积为：，高，代入公式直接求体积，再求不同的面的面积

易错点

三视图还原几何体

题型：填空题

分值: 5分

15.等5名同学坐成一排照相，要求学生不能同时坐在两旁，也不能相邻而坐，则这5名同学坐成一排的不同坐法共有______种（用数字作答）

正确答案

解析

先排 C，D，E 学生，有种坐法， A，B 不能同时坐在两旁，也不能相邻而坐，有种坐法，则共有种坐法．故答案为 60

考查方向

乘法原理与排列

解题思路

先排 C，D，E 学生，再Ａ，Ｂ排，利用乘法原理得出

易错点

间接法

题型：填空题

分值: 5分

17.甲、乙两人被随机分配到三个不同的岗位（一个人只能去一个工作岗位），记分配到岗位的人数为随机变量，则随机变量的数学期望=_________，方差________.

正确答案

，

解析

甲，乙两人被随机分配到 A，B，C 三个不同的岗位（一个人只能去一个工作岗位），记分配到 A 岗位的人数为随机变量 X，则 X 的可能取值为 0，1，2，

，，，

∴X 的分布列为：

，

．故答案为：，．

考查方向

离散型随机变量的分布列，

解题思路

甲，乙两人被随机分配到 A，B，C 三个不同的岗位（一个人只能去一个工作岗位），记分配到 A 岗位的人数为随机变量 X，则 X 的可能取值为 0，1，2，列表求出不同值的概率，再代入公式求数学期望与方差

易错点

仔细审题分清X 不同取值及概率

题型：填空题

分值: 5分

12.设等差数列的公差是，前项和是，若，则公差_______，_______.

正确答案

解析

设等差数列的公差是，前项和是，， ∴解得公差∴，

故答案为：,

考查方向

等差数列的知三求二

解题思路

设等差数列的公差是，由，求出公差，再代入前项和是可得

易错点

等差数列的方程式

题型：填空题

分值: 5分

16.已知的面积是4，，点满足，过点作边所在直线的垂线，垂足分别是，则_______.

正确答案

解析

不妨令△ABC 为等腰三角形，∵∠BAC=120°， ∴∠B=∠C=30°， ∴b=c，

∴，∴，由余弦定理可得，∵，

∴ ∵过点 P 作边 AB，AC 所在直线的垂线，垂足分别是 M，N， ∴，，∵∠MPN=180－A=60°， ∴ ，故答案为：

考查方向

余弦定理，平面向量的数量积

解题思路

不妨令△ABC 为等腰三角形，由题面积得出，再由，得出进而得出，，代入求出

易错点

平面向量的数量积

简答题（综合题）本大题共74分。简答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

题型：简答题

分值: 14分

在锐角中，内角所对应的边分别是.已知，.

18.求角的值；

19.若，求的周长.

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

解析

)由得，，

已知，所以，

那么，，

三角形为锐角三角形，因此，.

考查方向

正弦定理的边角互化

解题思路

得，，又，即，很容易得出角B

易错点

解三角形的边角互化

第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

解析

已知，则

所以，

所以三角形周长为.

考查方向

余弦定理的应用

解题思路

由（1）角B及b边，利用余弦定理得出，很容易就得出周长

易错点

余弦定理

题型：简答题

分值: 15分

在三棱柱中，是正三角形，且，顶点在底面上的射影是的中心.

20.求证：；

21.求直线与平面所成角的大小.

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

设为的中心，连接.

所以，

又，所以面，

因此，.

考查方向

线面垂直的判定定理与性质定理

解题思路

由为的中心，，又，推出面，进而得出结论

易错点

线面垂直

第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

解析

取，的中点，，连接，，.

由(Ⅰ)知面，从而面面，在面内作，垂直为，连接.则是直线与平面所成的角.

设，在平行四边形中，，，，

所以，.

因此，直线与平面所成的角为

考查方向

线面的夹角

解题思路

由(Ⅰ)知面，从而面面，在面内作，垂直为，连接.则是直线与平面所成的角.再利用边角关系求出的正弦值。

易错点

线面夹角的找寻

题型：简答题

分值: 15分

已知，函数，其中.

22.若，求的单调递减区间；

23.求函数在上的最大值.

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

若，，

，

当时，，，

由得，

，

另，时，单调递增，

所以，的单调递减区间是；

考查方向

分段函数的单调区间

解题思路

由，代入得出，在不同段内求导，求出不同段内的单调减区间

易错点

利用导函数求单调区间

第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

见解析

解析

当时，，

因为，故，

那么，，

即，

所以

考查方向

带有参数的最值问题

解题思路

根据a的范围，求出Ｆ（x）的最大值即可

易错点

注意审题，在区间的最值

题型：简答题

分值: 15分

已知椭圆和圆，过点作两条互相垂直的直线，与圆相切于点，与椭圆相交于不同的两点.

24。若，求直线的方程；

25.求的取值范围；

26.求面积的最大值.

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

设直线的方程是

若，直线的方程是

因为与圆相切，所以，解得，，

所以直线的方程是或．

考查方向

直线与圆相切

解题思路

若则直线的方程是，由直线与圆相切，求出

易错点

直线方程的设法

第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

解析

由已知，直线的方程是，

将代入化简得，

由=----①

又，得．------②

由①②解得，

所以（或）．

考查方向

直线与椭圆的位置关系

解题思路

直线方程与椭圆方程联立，消元化简得一元二次方程，由判别式及相切得到关系式，进而求出的范围

易错点

直线与椭圆的位置关系

第(3)小题正确答案及相关解析

正确答案

解析

设，

面积

令，则，

由及，得，

所以，当时，．

考查方向

最值问题

解题思路

根据韦达定理，得出面积的关系式，再根据范围求最值

易错点

韦达定理的应用

题型：简答题

分值: 15分

已知数列满足，，.

28.求；

29.求的通项公式；

30.设的前项的和为，求证：.

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

解析

由条件可知．

考查方向

递推公式

解题思路

直接代入递推公式

易错点

数列的下标

第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

解析

由得：，

即

所以是等比数列．

因此，．

考查方向

递推公式

解题思路

由递推公式，得，得出，以是等比数列，进而写出通项公式

易错点

递推公式的运用

第(3)小题正确答案及相关解析

正确答案

见解析

解析

由（２）可得

所以

因此，成立．

另一方面

，

，,

又，，因此，．

考查方向

放缩法证明不等式

解题思路

由，

另一方面，进而利用前n项和公式进行放缩

易错点

放缩法灵活运用

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正确答案

解析

考查方向

解题思路

易错点

正确答案

解析

考查方向

解题思路

易错点

正确答案

解析

考查方向

解题思路

易错点

正确答案

解析

考查方向

解题思路

易错点

正确答案

解析

考查方向

解题思路

易错点

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解析

考查方向

解题思路

易错点

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考查方向

解题思路

易错点

正确答案

解析

考查方向

解题思路

易错点

正确答案

解析

考查方向

解题思路

易错点

正确答案

解析

考查方向

解题思路

易错点

正确答案

解析

考查方向

解题思路

易错点

正确答案

解析

考查方向

解题思路

易错点

正确答案

解析

考查方向

解题思路

易错点

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考查方向

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易错点

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考查方向

解题思路

易错点

正确答案

解析

考查方向

解题思路

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