数学 热门试卷

15．（本小题满分14分）

在平行六面体中，．

求证：（1）；

（2）．

16．（本小题满分14分）

已知为锐角，，．

（1）求的值；

（2）求的值．

17．（本小题满分14分）

某农场有一块农田，如图所示，它的边界由圆O的一段圆弧（P为此圆弧的中点）和线段MN构成．已知圆O的半径为40米，点P到MN的距离为50米．现规划在此农田上修建两个温室大棚，大棚Ⅰ内的地块形状为矩形ABCD，大棚Ⅱ内的地块形状为，要求均在线段上，均在圆弧上．设OC与MN所成的角为．

（1）用分别表示矩形和的面积，并确定的取值范围；

（2）若大棚Ⅰ内种植甲种蔬菜，大棚Ⅱ内种植乙种蔬菜，且甲、乙两种蔬菜的单位面积年产值之比为．求当为何值时，能使甲、乙两种蔬菜的年总产值最大．

18．（本小题满分16分）

如图，在平面直角坐标系中，椭圆C过点，焦点，圆O的直径为．

（1）求椭圆C及圆O的方程；

（2）设直线l与圆O相切于第一象限内的点P．

①若直线l与椭圆C有且只有一个公共点，求点P的坐标；

②直线l与椭圆C交于两点．若的面积为，求直线l的方程．

19．（本小题满分16分）

记分别为函数的导函数．若存在，满足且，则称为函数与的一个“S点”

（1）证明：函数与不存在“S点”；

（2）若函数与存在“S点”，求实数a的值；

（3）已知函数，．对任意，判断是否存在，使函数与在区间内存在“S点”，并说明理由．

20．（本小题满分16分）

设是首项为，公差为d的等差数列，是首项为，公比为q的等比数列．

（1）设，若对均成立，求d的取值范围；

（2）若，证明：存在，使得对均成立，并求的取值范围（用表示）．

21．【选做题】本题包括 A、B、C、D 四小题，请选定其中两小题，并在相应的答题区域内作答．若多做，则按作答的前两小题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

A．[选修4—1：几何证明选讲](本小题满分10分)

如图，圆O的半径为2，AB为圆O的直径，P为AB延长线上一点，过P作圆O的切线，切点为C．若，求 BC 的长．

B．[选修4—2：矩阵与变换](本小题满分10分)

已知矩阵．

（1）求的逆矩阵；

（2）若点P在矩阵对应的变换作用下得到点，求点P的坐标．

C．[选修4—4：坐标系与参数方程](本小题满分10分)

在极坐标系中，直线l的方程为，曲线C的方程为，求直线l被曲线C截得的弦长．

D．[选修4—5：不等式选讲](本小题满分10分)

若x，y，z为实数，且x+2y+2z=6，求的最小值．

22．（本小题满分10分）

如图，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，AB=AA1=2，点P，Q分别为A1B1，BC的中点．

（1）求异面直线BP与AC1所成角的余弦值；

（2）求直线CC1与平面AQC1所成角的正弦值．