• 2018年高考真题 数学 (江苏卷)
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填空题 本大题共14小题,每小题5分,共70分。把答案填写在题中横线上。
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1.已知集合,那么  ▲ 

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2.若复数满足,其中i是虚数单位,则的实部为  ▲ 

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3.已知5位裁判给某运动员打出的分数的茎叶图如图所示,那么这5位裁判打出的分数的平均数为  ▲ 

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4.一个算法的伪代码如图所示,执行此算法,最后输出的S的值为  ▲ 

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5.函数的定义域为  ▲ 

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6.某兴趣小组有2名男生和3名女生,现从中任选2名学生去参加活动,则恰好选中2名女生的概率为  ▲ 

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7.已知函数的图象关于直线对称,则的值是  ▲ 

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8.在平面直角坐标系中,若双曲线的右焦点到一条渐近线的距离为,则其离心率的值是  ▲ 

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9.函数满足,且在区间上, 则的值为  ▲ 

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10.如图所示,正方体的棱长为2,以其所有面的中心为顶点的多面体的体积为  ▲ 

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11.若函数内有且只有一个零点,则上的最大值与最小值的和为  ▲ 

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12.在平面直角坐标系中,A为直线上在第一象限内的点,,以AB为直径的圆C与直线l交于另一点D.若,则点A的横坐标为  ▲ 

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13.在中,角所对的边分别为的平分线交于点D,且,则的最小值为  ▲ 

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14.已知集合.将的所有元素从小到大依次排列构成一个数列.记为数列的前n项和,则使得成立的n的最小值为  ▲ 

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简答题(综合题) 本大题共130分。简答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
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15.(本小题满分14分)

在平行六面体中,

求证:(1)

(2)

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16.(本小题满分14分)

已知为锐角,

(1)求的值;

(2)求的值.

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17.(本小题满分14分)

某农场有一块农田,如图所示,它的边界由圆O的一段圆弧P为此圆弧的中点)和线段MN构成.已知圆O的半径为40米,点PMN的距离为50米.现规划在此农田上修建两个温室大棚,大棚Ⅰ内的地块形状为矩形ABCD,大棚Ⅱ内的地块形状为,要求均在线段上,均在圆弧上.设OCMN所成的角为

(1)用分别表示矩形的面积,并确定的取值范围;

(2)若大棚Ⅰ内种植甲种蔬菜,大棚Ⅱ内种植乙种蔬菜,且甲、乙两种蔬菜的单位面积年产值之比为.求当为何值时,能使甲、乙两种蔬菜的年总产值最大.

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18.(本小题满分16分)

如图,在平面直角坐标系中,椭圆C过点,焦点,圆O的直径为

(1)求椭圆C及圆O的方程;

(2)设直线l与圆O相切于第一象限内的点P

①若直线l与椭圆C有且只有一个公共点,求点P的坐标;

②直线l与椭圆C交于两点.若的面积为,求直线l的方程.

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19.(本小题满分16分)

分别为函数的导函数.若存在,满足,则称为函数的一个“S点”

(1)证明:函数不存在“S点”;

(2)若函数存在“S点”,求实数a的值;

(3)已知函数.对任意,判断是否存在,使函数在区间内存在“S点”,并说明理由.

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20.(本小题满分16分)

是首项为,公差为d的等差数列,是首项为,公比为q的等比数列.

(1)设,若均成立,求d的取值范围;

(2)若,证明:存在,使得均成立,并求的取值范围(用表示).

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21.【选做题】本题包括 A、B、C、D 四小题,请选定其中两小题,并在相应的答题区域内作答.若多做,则按作答的前两小题评分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

A.[选修4—1:几何证明选讲](本小题满分10分)

如图,圆O的半径为2,AB为圆O的直径,PAB延长线上一点,过P作圆O的切线,切点为C.若,求 BC 的长.

B.[选修4—2:矩阵与变换](本小题满分10分)

已知矩阵

(1)求的逆矩阵

(2)若点P在矩阵对应的变换作用下得到点,求点P的坐标.

C.[选修4—4:坐标系与参数方程](本小题满分10分)

在极坐标系中,直线l的方程为,曲线C的方程为,求直线l被曲线C截得的弦长.

D.[选修4—5:不等式选讲](本小题满分10分)

xyz为实数,且x+2y+2z=6,求的最小值.

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22.(本小题满分10分)

如图,在正三棱柱ABC-A1B1C1中,AB=AA1=2,点PQ分别为A1B1,BC的中点.

(1)求异面直线BPAC1所成角的余弦值;

(2)求直线CC1与平面AQC1所成角的正弦值.

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23.(本小题满分10分)

,对1,2,···,n的一个排列,如果当s<t时,有,则称是排列的一个逆序,排列的所有逆序的总个数称为其逆序数.例如:对1,2,3的一个排列231,只有两个逆序(2,1),(3,1),则排列231的逆序数为2.记为1,2,···,n的所有排列中逆序数为k的全部排列的个数.

(1)求的值;

(2)求的表达式(用n表示).

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