1.函数y=在区间 [2,5]上的值域是__________
正确答案
[, 3]
解析
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知识点
2.等比数列{an}的首项为a1=a,公比q≠1,则=____
正确答案
解析
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3.如果奇函数y=f(x) (x0),当x(0,+)时,f(x)=x-1,则使f(x-1)<0的x的取值范围是____________
正确答案
( - ∞,0)∪(1,2)
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知识点
5.=___________
正确答案
1330
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4.抛物线y=x2+2x的准线方程为__________________
正确答案
y= - 5
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6.现有甲乙两船,其中甲船在某岛B的正南方A处,A与B相距7公里,甲船自A处以4公里/小时的速度向北方向航行,同时乙船以6公里/小时的速度自B岛出发,向北60o西方向航行,问_____分钟后两船相距最近?
正确答案
30
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7.有六根细木棒,其中较长的两条木棒长分别为a、a,其余四根木棒长均为a,请你用它们搭成一个三棱锥,其中较长的两条棱所在直线所成角的余弦值为_________
正确答案
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8.若首项为a1,公比为q(q≠1)的等比数列{an}满足(-qn)=,则a1的取值范围是__________.
正确答案
(0, )∪(,3)
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9.某甲A篮球队的12名队员(含2名外援)中有5名主力队员(含一名外援),主教练要从12名队员中选5人首发上场,则主力队员不少于4人,且有一名外援上场的概率是___________.
正确答案
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10.设复数z=x+yi(x,yR)且|z-4i|=|z+2|,则2x+4y的最小值为___________
正确答案
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12.集合S={1,2,3,4,5,6},A是S的一个子集,当xA时,若x-1A,x+1A,则称x为A的一个“孤立元素”,那么S中无“孤立元素”的4元子集的个数是______________
正确答案
6
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11.下图是正方体的展开图,其中直线AB与CD在原正方体中所成角的大小是___________
正确答案
60°
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14.设函数f(x)=Asin(ωx+)(A>0,ω>0,)的图象关于直线x=对称,它的周期是π,则以下命题错误的是-( )
正确答案
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16.已知函数,在同一坐标系中,y=f -1(x)与y=的图象可能是 ( )
正确答案
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13.已知向量={cosα,sinα},={cosβ,sinβ},那么( )
正确答案
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15.设x,yR+,且xy-(x+y)=1,则-( )
正确答案
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19.双曲线3x2-y2=1与直线ax-y+1=0相交于A、B两点.
(1)求a的取值范围;
(2)a为何值时,∠AOB>900 (其中O为原点);
正确答案
(1)把直线方程y=ax+1代入双曲线方程得
(3-a2)x2-2ax-2=0
∆=24-4a2>0
∴ a∈(
(2)因为∠AOB>900,所以原点在以AB为直径的圆外,AB中点(
圆方程为
∴ (1+a2)
即 4(a2+9)>(24-4a2)(1+a2)
得 1<a2<3
所以
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20.设M(k)是满足不等式的正整数x的个数,记S=M(1)+M(2)+…+M(n) n.
(1)求S;
(2)设t=5n2+5n+2+n2 (n),试比较S与t的大小.
正确答案
(1) 化简得x2-26•25k-1x+252k-1≤0
∴25k-1≤x≤25k
∴M(k)=25k-25k-1+1
S=(251-250+1)+(252-251+1)+ …+(25n-25n-1+1)=25n+n-1
(2)要S-t= (52n-
只要5n>25或5n<
即n>2或n<-2
∴ 当n>2 时s>t ; 当n=2时s=t; 当n=1时s<t
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17.在△ABC中,角A、B、C的对应边分别为a、b、c,若lga-lgb=lgcosB-lgcosA
(1)判断△ABC的形状;
(2)若a、b满足:函数y=ax+3的图象与函数y=x-b的图象关于直线y=x对称,求边长c.
正确答案
(1) 由lg 得 ,
于是 sin2A=sin2B
所以三角形ABC为等腰三角形或直角三角形。
(2) 因为y=ax+3的反函数 与函数 重合,
所以a=3, b=1
从而
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18.已知正三棱柱ABC—A1B1C1,底面边长AB=2,AB1⊥BC1,点O、O1分别是边AC,A1C1的中点,建立如图所示的空间直角坐标系
(1)求正三棱柱的侧棱长;
(2)若M为BC1的中点,试用基向量、、表示向量;
(3)求异面直线AM与BC所成角。
正确答案
(1)设侧棱长为b,则A(0,-1,0), B1( ,0,b), B(,0,0), C1(0,1,b)
={,1,b}, ={-,1,b}
∵ AB1 ⊥AB1 ∴ -3+1+b2=0, b=
(2)
(3) 设异面直线AM与BC所成角为α,
,
,
∴ α=90°
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22.如果实系数a1、b1、c1和a2、b2、c2都是非零常数.
(1)设不等式a1x2+b1x+c1>0和a2x2+b2x+c2>0的解集分别是A、B,试问是A=B的什么条件?并说明理由。
(2)在实数集中,方程a1x2+b1x+c1=0和a2x2+b2x+c2=0的解集分别为A和B,试问 是A=B的什么条件?并说明理由。
(3)在复数集中,方程a1x2+b1x+c1=0和a2x2+b2x+c2=0的解集分别为A和B,证明:是A=B的充要条件;
正确答案
(1) 是A=B的既不充分也不必要条件。
若 a=b=c=1, a1=b1=c1= -1,则A≠B
若 A=B=Φ,则两个不等式的系数之间没有关系。
(2)是A=B的充分也不必要条件
若 A=B=Φ,则两个方程的系数之间没有关系。
由于两个方程的系数对应成比例,所以两个方程式同解方程。
(3)是A=B的充要条件
由于两个方程的系数对应成比例,所以两个方程是同解方程。充分性得证。
由韦达定理可以证明必要性。
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21.程先生买了一套总价为80万元住房,首付30万元,其余50万元向银行申请贷款,贷款月利率0.5%,从贷款后的第一个月后开始还款,每月还款数额相等,30年还清。问程先生每月应还款多少元(精确到0.01元)
(注:如果上个月欠银行贷款a元,则一个月后,程先生应还给银行固定数额x元,此时贷款余额为a(1+0.5%)-x元)
正确答案
设程先生在第n 个月时还欠银行贷款an万元,每月固定还款x万元,则
an=an-1(1+0.5%)-x,a0=50
an+k=1.005(an-1+k)
an=1.005an-1+0.005k
所以 k=-200x, { an-200x }是公比为1.005的等比数列
即 an-200x=(a0-200x)•1.005n.
由a360=0得 0-200x=(50-200x) •1.005360.
利用计算器可以求得 x=0.299775万元,即每月还款2997.75元
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