数学 2014年高三试卷

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单选题
简答题
填空题

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试卷目录

1、单选题

2、简答题

3、填空题

真题试卷
模拟试卷

单选题本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的4个选项中，有且只有一项是符合题目要求。

题型：单选题

分值: 5分

5．如果若干个函数的图象经过平移后能够重合，则称这些函数为“同簇函数”．给出下列函数：

①；

②；

③ ；

④ ．

其中“同簇函数”的是（）

A①②

B①④

C②③

D③④

正确答案

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知识点

幂函数的图像

题型：单选题

分值: 5分

7．如图，矩形OABC内的阴影部分是由曲线 ,及直线,与x轴围成，向矩形内随机投掷一点，若落在阴影部分的概率为，则的值是（）

正确答案

解析

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知识点

幂函数的概念、解析式、定义域、值域

题型：单选题

分值: 5分

1．已知集合，则集合等于（）

正确答案

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知识点

一元二次不等式的解法

题型：单选题

分值: 5分

2．已知i是虚数单位，则复数的虚部等于（）

正确答案

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知识点

幂函数的概念、解析式、定义域、值域

题型：单选题

分值: 5分

3．若点为圆的弦的中点，则弦所在直线方程为（）

正确答案

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知识点

指数函数的图像变换

题型：单选题

分值: 5分

4．在等差数列中，，那么该数列的前14项和为（）

A20

B21

C42

D84

正确答案

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知识点

幂函数的概念、解析式、定义域、值域

题型：单选题

分值: 5分

6．某几何体的三视图如图所示，图中的四边形都是边长为的正方形，两条虚线互相垂直，则该几何体的体积是（）

正确答案

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知识点

幂函数的概念、解析式、定义域、值域

题型：单选题

分值: 5分

8．如图,,点在线段的延长线上,分别为的边上的点．若与共线,与共线,则的值为（）

正确答案

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知识点

幂函数的概念、解析式、定义域、值域

题型：单选题

分值: 5分

9．在等腰梯形中，，，为的中点，将与分布沿、向上折起，使重合于点，则三棱锥的外接球的体积为（）

正确答案

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知识点

简单复合函数的导数

题型：单选题

分值: 5分

10．已知，、满足，且的最大值是最小值的倍，则的值是（）

正确答案

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知识点

幂函数的概念、解析式、定义域、值域

题型：单选题

分值: 5分

11．已知双曲线是双曲线上关于原点对称的两点，是双曲线上的动点，且直线的斜率分别为，若的最小值为1，则双曲线的离心率为（）

正确答案

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知识点

指数函数单调性的应用

题型：单选题

分值: 5分

12．可导函数的导函数为，且满足：①；②，记，，则的大小顺序为（）

正确答案

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知识点

幂函数的图像

简答题（综合题）本大题共70分。简答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

题型：简答题

分值: 10分

17．在等差数列中，，其前项和为，等比数列的各项均为正数，，公比为，且，．

（1）求与；

（2）设数列满足，求的前项和．

正确答案

（1）设的公差为.

因为所以

解得或（舍），

故，

（2）由（1）可知，，

所以.

故

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知识点

指数函数的单调性与特殊点

题型：简答题

分值: 12分

20．时下，网校教学越来越受到广大学生的喜爱，它已经成为学生们课外学习的一种趋势，假设某网校的套题每日的销售量（单位：千套）与销售价格（单位：元/套）满足的关系式，其中，为常数．已知销售价格为4元/套时，每日可售出套题21千套．

（1）求的值；

（2）假设网校的员工工资、办公等所有开销折合为每套题2元（只考虑销售出的套数），试确定销售价格的值，使网校每日销售套题所获得的利润最大．（保留1位小数）

正确答案

（1）因为时，，

代入关系式，得，

解得.

（2）由（1）可知，套题每日的销售量，

所以每日销售套题所获得的利润

，从而.

令，得,且在上,，函数单调递增；在上，，函数单调递减，

所以是函数在内的极大值点，也是最大值点，

所以当时，函数取得最大值.

故当销售价格为3.3元/套时，网校每日销售套题所获得的利润最大.

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知识点

导数的乘法与除法法则

题型：简答题

分值: 12分

19．在三棱柱中，，侧棱面，分别是棱的中点，点在棱上，且．

（1）求证：平面；

（2）求二面角的余弦值。

正确答案

（1）证明：取的中点，，

为的中点，又为的中点，，

在三棱柱中，分别是的中点，

，且，

则四边形为平行四边形，,

,又面，面,

则面

（2）空间直角坐标系，则，，，，

∴，，．

设面BC1D的一个法向量为，面BC1E的一个法向量为，

则由得取，

又由得取，

则，

故二面角E－BC1－D的余弦值为

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知识点

直线与平面平行的判定与性质

题型：简答题

分值: 12分

18．已知函数，．

(1)若，求函数的最大值和最小值，并写出相应的的值；

(2)设的内角、、的对边分别为、、，满足，且，求、的值．

正确答案

（1）

令

。

当即时，

当即时，；

（2），则，

,,所以，

所以，

因为，所以由正弦定理得

由余弦定理得，即

解得：.

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导数的加法与减法法则

题型：简答题

分值: 12分

21．已知椭圆的离心率为,短轴一个端点到右焦点的距离为．

（Ⅰ）求椭圆的方程；

（Ⅱ）设直线与椭圆交于两点，坐标原点到直线的距离为，求面积的最大值．

正确答案

（Ⅰ）设椭圆的半焦距为，依题意

∴ ，∴ 所求椭圆方程为．

（Ⅱ）设，．

（1）当轴时，．

（2）当与轴不垂直时，设直线的方程为．

由已知，得．

把代入椭圆方程，整理得，

，．

．

当且仅当，即时等号成立．当时，，

综上所述．

所以，当最大时，面积取最大值．

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知识点

椭圆的定义及标准方程

题型：简答题

分值: 12分

22．已知函数（为常数，2．71828……是自然对数的底数），曲线在点处的切线与轴平行．

（1）求的值；

（2）求的单调区间；

（3）设，其中为的导函数，证明：对任意，。

正确答案

（1）由得

由于曲线在处的切线与x轴平行，

所以，因此

（2）由(1)得，

令当时，；

当时，又，所以时，；时，.

因此的单调递增区间为（0,1），单调递减区间为

（3）证明：因为，

所以

因此对任意等价于

由（2）知

所以

因此当时，单调递增；当时单调递增.

所以的最大值为故设

因为，所以时，单调递增，

故时，即所以

因此对任意

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幂函数的图像

填空题本大题共4小题，每小题5分，共20分。把答案填写在题中横线上。

题型：填空题

分值: 5分

13．对大于或等于2的正整数的幂运算有如下分解方式：

…

根据上述分解规律，若，的分解中最小的正整数是21，则________．

正确答案

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简单复合函数的导数

题型：填空题

分值: 5分

15．中,,是的中点,若,则________．

正确答案

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知识点

二次函数的应用

题型：填空题

分值: 5分

14．若函数在上的最大值为2，则实数的取值范围是______．

正确答案

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知识点

幂函数的图像

题型：填空题

分值: 5分

16．已知函数的定义域为,当时,,且对任意的实数,等式成立．若数列满足,,则的值为__________。

正确答案

4017

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简单复合函数的导数

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