单选题
本大题共10小题,每小题4分,共40分。在每小题给出的4个选项中,有且只有一项是符合题目要求。
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8.已知四棱锥S−ABCD的底面是正方形,侧棱长均相等,E是线段AB上的点(不含端点),设SE与BC所成的角为θ1,SE与平面ABCD所成的角为θ2,二面角S−AB−C的平面角为θ
3,则
分值: 4分
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简答题(综合题)
本大题共74分。简答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
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18.(本题满分14分)已知角α的顶点与原点O重合,始边与x轴的非负半轴重合,它的终边过点P().
(Ⅰ)求sin(α+π)的值;
(Ⅱ)若角β满足sin(α+β)=,求cosβ的值.
分值: 14分
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19.(本题满分15分)如图,已知多面体ABCA1B1C1,A1A,B1B,C1C均垂直于平面ABC,∠ABC=120°,A1A=4,C1C=1,AB=BC=B1B=2.
(Ⅰ)证明:AB1⊥平面A1B1C1;
(Ⅱ)求直线AC1与平面ABB1所成的角的正弦值.
分值: 15分
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1
20.(本题满分15分)已知等比数列{an}的公比q>1,且a3+a4+a5=28,a4+2是a3,a5的等差中项.数列
{bn}满足b1=1,数列{(bn+1−bn)an}的前n项和为2n2+n.
(Ⅰ)求q的值;
(Ⅱ)求数列{bn}的通项公式.
分值: 15分
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1
21.(本题满分15分)如图,已知点P是y轴左侧(不含y轴)一点,抛物线C:y2=4x上存在不同的两点A,B满足PA,PB的中点均在C上.
(Ⅰ)设AB中点为M,证明:PM垂直于y轴;
(Ⅱ)若P是半椭圆x2+=1(x<0)上的动点,求△PAB面积的取值范围.
分值: 15分
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22.(本题满分15分)已知函数f(x)=−lnx.
(Ⅰ)若f(x)在x=x1,x2(x1≠x2)处导数相等,证明:f(x1)+f(x2)>8−8ln2;
(Ⅱ)若a≤3−4ln2,证明:对于任意k>0,直线y=kx+a与曲线y=f(x)有唯一公共点.
分值: 15分
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