数学 热门试卷

（1）设f（x）=ax2+bx+c，

由f（0）=1得c=1，故f（x）=ax2+bx+1．

∵ f（x+1）-f（x）=2x，

∴ a（x+1）2+b（x+1）+1-（ax2+bx+1）=2x．

即2ax+a+b=2x，

所以，

∴ f（x）=x2-x+1．

（2）由题意得x2-x+1>2x+m在[-1，1]上恒成立．

即x2-3x+1-m>0在[-1，1]上恒成立．

设g（x）= x2-3x+1-m，

其图象的对称轴为直线x=，

所以g（x） 在[-1，1]上递减．

故只需g（1）>0，

即12-3×1+1-m>0，

解得m<-1．

由二次函数的图象与性质得f（x）的图象对称轴是x=m/2且开口向上；

所以f（x）在区间（－∞，m/2]上单调递减，

在区间[m/2，  +∞）上单调递增；

（1）当时，，

[f（x）] min=f（m/2）=2－2m=5

解得，不满足，舍去

（2）当时，

在上单调递减，

所以，

解之得：，不合题意，舍去，

所以，；

（3）当时，在上单调递增，

所以，

解之得：（舍去）或－1

综上，当或－1时，

在上的最小值是5

（1） 由  得 －1<x<1

∴ f （x）的定义域为（－1，1）

（2） ∵  f （x）的定义域为（－1，1）关于原点对称；

且 f （－x）＝＝－f （x），

∴ 函数y＝f （x）是奇函数；

（3） 由f （x）＝ >0

若a>1，  则>1

即>0等价于2x（1-x）>0

∴ 0<x<1；

若0<a<1，  则  0<<1

∴－1<x<0

（1）由函数的图像经过点（0，2）可知，

∴ f（x）=x3+bx2+cx+2

∴ f ′（x）=3x2+2bx+c

∵ 在点M（－1，f（－1））处的切线方程为．

∴ ，

故所求的解析式是

（2）由（1）∴ f′（x）=3x2- 6x -3

令3x2- 6x -3=0 ，即 x2-2x -1=0

解得  x1= ， x2=

当x<  或x>时 f ′（x）>0

当<x<时 f ′（x）<0

故函数的单调递增区间是

（－∞，）和（，+∞）

单调递减区间是（，）

设容器的高为xcm，容器的体积为V（x）cm3，

则V（x）=（90－2x）（48－2x）x，

V（x）=4x3－276x2+4320x     （0<V<24）

∵ V′（x） =12 x2－552x+4320=12（x－10）（x－36）

由V′（x）=0得x1=10，x2=36  （舍去）

∵ 当0<x<10 时，V′（x）>0，那么V（x）为增函数

当10<x<24时，V′（x）<0， 那么V（x）为减函数

所以，当x=10， V（x）有极大值V（10）=10（90－20）（48－20）=1960

又V（0）=0，V（24）=0，

所以当x=10， V（x）有最大值V（10）=1960

∴ 容器的高为10cm时，容器的容积最大，最大容积是1960cm3