• 数学 长宁区2017年高三第二次模拟考试
填空题 本大题共12小题,每小题4分,共48分。把答案填写在题中横线上。
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1. 设集合,集合,则 ______

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2. 函数)的最小正周期是,则________

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6. 甲、乙两人从5门不同的选修课中各选修2门,则甲、乙所选的课程中恰有1门相同的

选法有        种;

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5.已知展开式中,各项系数的和与各项二项式系数的和之比为64,则 ______

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4. 若函数的反函数的图像经过点,则实数 _____

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3. 设为虚数单位,在复平面上,复数对应的点到原点的距离为_______

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7. 若圆锥的侧面展开图是半径为2,圆心角为270°的扇形,则这个圆锥的体积为

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8. 若数列的所有项都是正数,且),则

  ______

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9. 如图,在中,边上的一点,

,则的长为_______

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10. 有以下命题:

① 若函数既是奇函数又是偶函数,则的值域为

② 若函数是偶函数,则

③ 若函数在其定义域内不是单调函数,则不存在反函数;

④ 若函数存在反函数,且不完全相同,则

像的公共点必在直线上;

其中真命题的序号是        (写出所有真命题的序号)

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12. 如图,已知正三棱柱的底面边长为2,高为5,一质点自点出发,沿着三棱柱的侧面绕行两周到达点的最短路线的长为       

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11. 设向量,其中为坐标原点,

三点共线,则的最小值为 ______.

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单选题 本大题共4小题,每小题5分,共20分。在每小题给出的4个选项中,有且只有一项是符合题目要求。
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13. “”是“”的(    )

A充分非必要条件

B必要非充分条件

C充要条件

D既非充分也非必要条件

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14. 若无穷等差数列的首项,公差的前项和为,则以下结论

中一定正确的是(    )

A单调递增

B单调递减

C有最小值

D有最大值

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15. 给出下列命题:① 存在实数使;② 直线是函数

图像的一条对称轴;③ )的值域是;④ 若都是第

一象限角,且,则;其中正确命题的题号为(    )

A①②

B②③

C③④

D①④

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16. 如果对一切正实数,不等式恒成立,则实数的取值范围是(    )

A

B

C

D

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简答题(综合题) 本大题共76分。简答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
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中,分别是角的对边,且

19.求角的大小;

20.若,求的值;

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如图,已知平面与平面所成的角为30°,且

17.求三棱锥的体积;

18.设的中点,求异面直线所成角的大小(结果用反三角函数值表示);

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某地要建造一个边长为2(单位:)的正方形市民休闲公园,将其中的区域开挖成一个池塘,如图建立平面直角坐标系后,点的坐标为,曲线是函数图像的一部分,过边上一点在区域内作一次函数)的图像,与线段交于点(点不与点重合),且线段与曲线有且只有一个公共点,四边形为绿化风景区;

21.求证:

22.设点的横坐标为,① 用表示两点坐标;② 将四边形的面积表示成关于的函数,并求的最大值;

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已知函数

23.若,求的值域;

24.当时,求的最小值

25.是否存在实数,同时满足下列条件:①;②当的定义域为

时,其值域为,若存在,求出的值,若不存在,请说明理由;

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已知无穷数列的各项都是正数,其前项和为,且满足:

,其中,常数

26.求证:是一个定值;

27.若数列是一个周期数列(存在正整数,使得对任意,都有成立,则称为周期数列,为它的一个周期),求该数列的最小周期;

28.若数列是各项均为有理数的等差数列,),问:数列中的所有项是否都是数列中的项?若是,请说明理由,若不是,请举出反例;

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