2. 函数(
)的最小正周期是
,则
________
正确答案
2
解析
因为函数(
)的最小正周期是
,所以
,即
考查方向
解题思路
根据三角函数的周期公式求解
易错点
三角函数的周期公式
3. 设为虚数单位,在复平面上,复数
对应的点到原点的距离为_______
正确答案
解析
复数对应的点
到原点的距离=
考查方向
解题思路
先做复数的除法运算 再利用两点之间的距离公式即可得出答案
易错点
复数的除法运算、两点之间的距离公式
1. 设集合,集合
,则
______
正确答案
解析
,即
,解得
,即
。集合
,则
考查方向
解题思路
先解绝对值不等式,再利用交集定义求解
易错点
绝对值不等式解法
4. 若函数的反函数的图像经过点
,则实数
_____
正确答案
解析
函数的反函数的图像经过点
,
即函数的反函数的图像经过点
,
,
考查方向
解题思路
由题意可得函数f(x)过点(1,4),代入求得答案
易错点
互为反函数的两个函数之间的关系
5.已知展开式中,各项系数的和与各项二项式系数的和之比为64,则
______
正确答案
6
解析
令二项式中的得到展开式中的各项系数的和
,又各项二项式系数的和为
,据题意得
,解得
考查方向
解题思路
令二项式中的a=b=1得到展开式中的各项系数的和,根据二项式系数和公式得到各项二项式系数的和2n,据已知列出方程求出n的值
易错点
赋值求二项展开式的系数和,二项式系数和2n
6. 甲、乙两人从5门不同的选修课中各选修2门,则甲、乙所选的课程中恰有1门相同的
选法有 种;
正确答案
解析
采用间接法:所有两人各选修2门的种数,
两人所选两门都相同的为,都不同的种数为
,
所以只恰好有1门相同的选法有100-10-30=60种
考查方向
解题思路
采用间接法:所有两人各选修2门的种数减去两人所选两门都相同与都不同的种数,可得答案
易错点
间接法的运用
8. 若数列的所有项都是正数,且
(
),则
______
正确答案
2
解析
(
)①
(
)②
当时,①-②得:
,所以
,又
时也满足此式。所以
,所以
是首项为8,公差为4的等差数列,所以
2
考查方向
解题思路
先利用数列递推关系求得an,再利用等差数列的求和公式、极限的运算得出答案
易错点
数列递推关系、极限运算
9. 如图,在中,
,
是
边上的一点,
,
,
,则
的长为_______
正确答案
解析
考查方向
解题思路
先根据余弦定理求出∠ADC的值,从而得到∠ADB的值,再根据正弦定理得到答案
易错点
余弦定理和正弦定理
10. 有以下命题:
① 若函数既是奇函数又是偶函数,则
的值域为
;
② 若函数是偶函数,则
;
③ 若函数在其定义域内不是单调函数,则
不存在反函数;
④ 若函数存在反函数
,且
与
不完全相同,则
与
图
像的公共点必在直线上;
其中真命题的序号是 (写出所有真命题的序号)
正确答案
①②
解析
① 若函数既是奇函数又是偶函数,则
,所以
的值域为
;正确
②由偶函数得,所以
;正确
③ 举反例:函数在其定义域内不是单调函数,但
存在反函数;错误
④原函数图象与其反函数图象的交点关于直线对称,但不一定在直线
上。错误
考查方向
解题思路
利用函数的性质及举反例一一判断
易错点
函数的性质的判定和应用
7. 若圆锥的侧面展开图是半径为2,圆心角为270°的扇形,则这个圆锥的体积为
正确答案
解析
扇形的弧长即为圆锥底面圆的周长,设底面半径为,则
,
扇形的半径为圆锥的母线,则圆锥的高为
,故圆锥的体积为
考查方向
解题思路
由题意:扇形的弧长即为圆锥底面圆的周长,求出底面半径,从而求出圆锥的高,代入圆锥体积公式,得到答案
易错点
圆锥的侧面展开图得扇形的弧长等于圆锥底面的周长。
11. 设向量,
,
,其中
为坐标原点,
,
,
若、
、
三点共线,则
的最小值为 ______.
正确答案
8
解析
,
,
、
、
三点共线
,
,
考查方向
解题思路
由A、B、C三点共线,化简可得2a+b=1.再利用基本不等式求得它的最小值
易错点
向量共线的性质,基本不等式的应用
12. 如图,已知正三棱柱的底面边长为2,高为5
,一质点自
点出发,沿着三棱柱的侧面绕行两周到达
点的最短路线的长为
正确答案
13
解析
将正三棱柱展开成长为,宽为
的长方形,由于要走2周,故将两个长方形拼接为长12,宽为5的长方形,所以最短距离为长方形的对角线长为
考查方向
解题思路
将三棱柱展开成长方形,最短距离是六个矩形对角线的连线,正好相当于绕三棱柱转两次的最短路径
易错点
棱柱的展开图,空间想象能力
14. 若无穷等差数列的首项
,公差
,
的前
项和为
,则以下结论
中一定正确的是( )
正确答案
解析
无穷等差数列的首项
,公差
是递增数列,且先负值后正值
的前
项和为
先减小再增加,
有最小值
考查方向
解题思路
判断数列各项符号的规律,得到前
项和为
先减小再增加,得到答案
易错点
数列各项符号的规律
15. 给出下列命题:① 存在实数使
;② 直线
是函数
图像的一条对称轴;③ (
)的值域是
;④ 若
、
都是第
一象限角,且,则
;其中正确命题的题号为( )
正确答案
解析
① ,错误
②函数图像的对称轴方程为
,
,正确
③根据余弦函数的性质可得(
)的最大值为
,
,其值域是
,正确
④不妨设,
,满足
、
都是第一象限角,且
,但
,错误
考查方向
解题思路
利用三角函数的性质及举反例一一判断
易错点
三角函数性质的应用
13. “”是“
”的( )
正确答案
解析
由,解得
,故“
”是“
”的必要非充分条件
考查方向
解题思路
先求出x2<4的充要条件,再结合集合的包含关系判断
易错点
充分必要条件的判定
16. 如果对一切正实数、
,不等式
恒成立,则实数
的取值范围是( )
正确答案
解析
对于一切正实数
、
成立。故
成立,令
,则有
在
时恒成立。因为
时,
,
的对称轴为
,所以
在
上是单调的。则有
或
,
,解得实数
的取值范围
是
考查方向
解题思路
分离参数,先求y的最值,再求x的最值
易错点
参数的思想,基本不等式,三角函数的最值
某地要建造一个边长为2(单位:)的正方形市民休闲公园
,将其中的区域
开挖成一个池塘,如图建立平面直角坐标系后,点
的坐标为
,曲线
是函数
图像的一部分,过边
上一点
在区域
内作一次函数
(
)的图像,与线段
交于点
(点
不与点
重合),且线段
与曲线
有且只有一个公共点
,四边形
为绿化风景区;
21.求证:;
22.设点的横坐标为
,① 用
表示
、
两点坐标;② 将四边形
的面积
表示成关于
的函数
,并求
的最大值;
正确答案
详见解析
解析
(1)将
由由题意,
考查方向
解题思路
将点代入求出二次函数解析式,再利用一元二次方程只有一解证明
易错点
求二次函数解析式
正确答案
,
;
解析
①由(1),一次函数的解析式为
②
考查方向
解题思路
写出点P的坐标,代入①直线MN的方程,用t表示出直线方程为y=4tx﹣2t2,令y=0,求出M的坐标;令y=2求出N的坐标;
将四边形MABN的面积S表示成关于t的函数,利用基本不等式求出S的最大值。
易错点
直线的交点坐标;求函数解析式及基本不等式求最值
在中,
、
、
分别是角
、
、
的对边,且
;
19.求角的大小;
20.若,
,求
和
的值;
正确答案
解析
(1)在△ABC中,由条件可得
又∵计算得出
又
考查方向
解题思路
利用二倍角公式化简等式,在△ABC中,借助诱导公式解方程求得cosA 的值,即可得到A的值
易错点
二倍角公式
正确答案
,
;或
,
解析
代入得
由
考查方向
解题思路
利用余弦定理得方程求解
易错点
余弦定理
如图,已知平面
,
,
与平面
所成的角为30°,且
;
17.求三棱锥的体积;
18.设为
的中点,求异面直线
与
所成角的大小(结果用反三角函数值表示);
正确答案
解析
考查方向
解题思路
先确定线面角及三棱锥的高,再利用体积公式求解
易错点
直线和平面所成角的计算
正确答案
解析
考查方向
解题思路
先确定异面直线所成的角,再利用余弦定理求角
易错点
异面直线所成的角
已知函数;
23.若,
,求
的值域;
24.当时,求
的最小值
;
25.是否存在实数、
,同时满足下列条件:①
;②当
的定义域为
时,其值域为,若存在,求出
、
的值,若不存在,请说明理由;
正确答案
解析
若,
,则
令,得
考查方向
解题思路
利用换元法,求二次函数的的值域
易错点
指数函数及二次函数的值域
正确答案
当,
;当
,
;
当,
解析
函数
的对称轴为
当时,
当
当
考查方向
解题思路
由二次函数的对称轴为t=a,分类讨论求出最小值,则h(a)的表达式可求
易错点
分类讨论的思想
正确答案
不存在
解析
假设满足题意的存在,
,则
两式相减得
又满足题意的
、
不存在
考查方向
解题思路
假设满足题意的m,n存在,函数h(a)在(3,+∞)上是减函数,求出h(a)的定义域,值域,然后列出不等式组,求解与已知矛盾,即可得到结论
易错点
函数的单调性
已知无穷数列的各项都是正数,其前
项和为
,且满足:
,
,其中
,常数
;
26.求证:是一个定值;
27.若数列是一个周期数列(存在正整数
,使得对任意
,都有
成立,则称
为周期数列,
为它的一个周期),求该数列的最小周期;
28.若数列是各项均为有理数的等差数列,
(
),问:数列
中的所有项是否都是数列
中的项?若是,请说明理由,若不是,请举出反例;
正确答案
解析
考查方向
解题思路
由rSn=anan+1﹣1,利用an+1+=Sn+1-Sn的关系,迭代法得:ran+1=an+1(an+2﹣an),由此能够证明an+2﹣an为定值
易错点
迭代法,an+1+=Sn+1-Sn
正确答案
解析
考查方向
解题思路
当n=1时,ra=aa2﹣1,故a2=,根据数列是隔项成等差,写出数列的前几项,再由r>0和r=0两种情况进行讨论,能够求出该数列的周期
易错点
数列的周期性
正确答案
不是
解析
考查方向
本题考查了等差数列的通项公式、考查了推理能力与计算能力
解题思路
因为数列{an}是一个有理等差数列,所以a+a=r=2(r+),化简2a2﹣ar﹣2=0,解得a是有理数,由此入手进行整数解的验证,能够求出Sn
易错点
推理能力与计算能力