数学长宁区2017年高三第二次模拟考试

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填空题本大题共12小题，每小题4分，共48分。把答案填写在题中横线上。

2. 函数（）的最小正周期是，则________

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3. 设为虚数单位，在复平面上，复数对应的点到原点的距离为_______

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1. 设集合，集合，则 ______

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4. 若函数的反函数的图像经过点，则实数 _____

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5.已知展开式中，各项系数的和与各项二项式系数的和之比为64，则 ______

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6. 甲、乙两人从5门不同的选修课中各选修2门，则甲、乙所选的课程中恰有1门相同的

选法有种；

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8. 若数列的所有项都是正数，且（），则

______

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9. 如图，在中，，是边上的一点，

，，，则的长为_______

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10. 有以下命题：

① 若函数既是奇函数又是偶函数，则的值域为；

② 若函数是偶函数，则；

③ 若函数在其定义域内不是单调函数，则不存在反函数；

④ 若函数存在反函数，且与不完全相同，则与图

像的公共点必在直线上；

其中真命题的序号是（写出所有真命题的序号）

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7. 若圆锥的侧面展开图是半径为2，圆心角为270°的扇形，则这个圆锥的体积为

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11. 设向量，，，其中为坐标原点，，，

若、、三点共线，则的最小值为 ______.

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12. 如图，已知正三棱柱的底面边长为2，高为5，一质点自点出发，沿着三棱柱的侧面绕行两周到达点的最短路线的长为

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单选题本大题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的4个选项中，有且只有一项是符合题目要求。

14. 若无穷等差数列的首项，公差，的前项和为，则以下结论

中一定正确的是（）

A单调递增

B单调递减

C有最小值

D有最大值

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15. 给出下列命题：① 存在实数使；② 直线是函数

图像的一条对称轴；③ （）的值域是；④ 若、都是第

一象限角，且，则；其中正确命题的题号为（）

A①②

B②③

C③④

D①④

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13. “”是“”的（）

A充分非必要条件

B必要非充分条件

C充要条件

D既非充分也非必要条件

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16. 如果对一切正实数、，不等式恒成立，则实数的取值范围是（）

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简答题（综合题）本大题共76分。简答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

某地要建造一个边长为2（单位：）的正方形市民休闲公园，将其中的区域开挖成一个池塘，如图建立平面直角坐标系后，点的坐标为，曲线是函数图像的一部分，过边上一点在区域内作一次函数（）的图像，与线段交于点（点不与点重合），且线段与曲线有且只有一个公共点，四边形为绿化风景区；

21.求证：；

22.设点的横坐标为，① 用表示、两点坐标；② 将四边形的面积表示成关于的函数，并求的最大值；

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在中，、、分别是角、、的对边，且；

19.求角的大小；

20.若，，求和的值；

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如图，已知平面，，与平面所成的角为30°，且；

17.求三棱锥的体积；

18.设为的中点，求异面直线与所成角的大小（结果用反三角函数值表示）；

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已知函数；

23.若，，求的值域；

24.当时，求的最小值；

25.是否存在实数、，同时满足下列条件：①；②当的定义域为

时，其值域为，若存在，求出、的值，若不存在，请说明理由；

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已知无穷数列的各项都是正数，其前项和为，且满足：，

，其中，常数；

26.求证：是一个定值；

27.若数列是一个周期数列（存在正整数，使得对任意，都有成立，则称为周期数列，为它的一个周期），求该数列的最小周期；

28.若数列是各项均为有理数的等差数列，（），问：数列中的所有项是否都是数列中的项？若是，请说明理由，若不是，请举出反例；

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