1.设复数且
则实数
等于( )
正确答案
解析
解析已在路上飞奔,马上就到!
知识点
2. 已知分别是两条不重合的直线,
分别垂直于两不重合平面
,有以下四个命题:
①若,且
,则
;
②若,且
,则
;
③若且
,则
;
④若且
,则
。
其中真命题的序号是( )
正确答案
解析
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知识点
3. 为得到函数的图象,只需将函数
的图象( )
正确答案
解析
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知识点
7. 已知函数,如果
,则实数
的取值范围是( )
正确答案
解析
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知识点
9.已知满足
,若
的最大值为
,最小值为
,则a的范围为( )
正确答案
解析
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知识点
10.一辆汽车在高速公路上行驶,由于遇到紧急情况而刹车,以速度(
的单位:
,
的单位:
)行驶至停止. 在此期间汽车继续行驶的距离(单位;
)是( )
正确答案
解析
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知识点
4.在中,M是BC的中点,AM=1,点P在AM上且满足
,则
等于( )
正确答案
解析
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知识点
5.在△ABC中,tanA是第3项为-4,第7项为4的等差数列的公差,tanB是第3项为,第6项为9的等比数列的公比,则△ABC是( )
正确答案
解析
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知识点
6. 一个几何体的正视图、侧视图、俯视图如图所示,则该几何体的表面积和体积分别为( )
正确答案
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知识点
8.已知与函数图像关于
对称的函数的图象恒过定点
,且点
在直线
上,若
则
的最小值为( )
正确答案
解析
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知识点
11. 三棱锥的四个顶点都在体积为
的球的表面上,底面ABC所在的小圆的面积为
,则该三棱锥的高的最大值为( )
正确答案
解析
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知识点
12. 函数和函数
,若存在
使得
成立,则实数
的取值范围是( )
正确答案
解析
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知识点
14.已知A(-2, 3), B(3, 2),过点P(0, -2)的直线l与线段AB没有公共点,则直线l的斜率的取值范围是____________.
正确答案
解析
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知识点
16.在中,
,
是
内切圆圆心,设
是⊙
外的三角形
区域内的动点,若
,则点
所在区域的面积为________.
正确答案
解析
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知识点
13. 如图,A1B1C1﹣ABC是直三棱柱,∠BCA=90°,点D1、F1分别是A1B1、A1C1的中点,若BC=CA=CC1,则BD1与AF1所成角的余弦值是____________.
正确答案
解析
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知识点
15. 在三棱锥P-ABC中,给出下列四个命题:
① 如果PA⊥BC,PB⊥AC,那么点P在平面ABC内的射影是△ABC的垂心;
② 如果点P到ABC的三个顶点的距离都相等,那么点P在平面ABC内的射影是△ABC的内心;
③ 如果棱PA和BC所成的角为60o,PA=BC=2,E、F分别是棱PB、AC的中点,那么EF=1;
④ 如果三棱锥P-ABC的各棱长均为1,则该三棱锥在任意一个平面内的正投影(投影线垂直投影面)的面积都不大于;
其中正确命题的序号是____________.
正确答案
①③④
解析
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知识点
20.在中,角
所对的边分别为
,已知
,
,
.
(Ⅰ)求的值及
的面积
;
(Ⅱ)求的值。
正确答案
(Ⅰ),
,
,
由余弦定理可得:.
.
.
或
(舍).
.
.
(Ⅱ)在中,
,B=60o
.
.
,
为锐角.
.
解析
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知识点
19. 某商场销售某种商品的经验表明,该商品每日的销售量 (单位:千克)与销售价格
(单位:元/千克)满足关系式
,其中
,
为常数. 已知销售价格为5元/千克时,每日可售出该商品11千克.
(Ⅰ) 求的值;
(Ⅱ) 若该商品的成品为3元/千克, 试确定销售价格的值,使商场每日销售该商品所获得的利润最大。
正确答案
(Ⅰ)因为时
,所以
;
(Ⅱ)由(Ⅰ)知该商品每日的销售量,
所以商场每日销售该商品所获得的利润:
,
,
令得
,或
(舍去),函数
在
上递增,在
上递减,
所以当时,函数
取得最大值
答:当销售价格时,商场每日销售该商品所获得的利润最大,最大值为42.
解析
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知识点
18.已知函数
的最小正周期是
.
(1)求函数的单调递增区间和对称中心;
(2)若为锐角
的内角,求
的取值范围。
正确答案
(1),
,
,
,
,
函数的单调增区间为
,
(2)所以
的取值范围为
解析
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知识点
17.已知等差数列,
为其前
项的和,
,
,
。
(1)求数列的通项公式;
(2)若,求数列
的前
项的和。
正确答案
(1)依题意
解得
(2)由(1)可知 ,
,
所以数列是首项为
,公比为9的等比数列,
数列的前
项的和
解析
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知识点
22.已知函数.
(I)求函数的单调区间;
(Ⅱ)函数在区间[1,2]上是否有零点,若有,求出零点,若没有,请说明理由;
(Ⅲ)若任意的∈(1,2)且
≠
,证明:
(注:
。
正确答案
.
(Ⅰ) .
,
,
在区间和
上,
;在区间
上
,
故的单调递增区间是
和
,
单调递减区间是.
(Ⅱ)先求在
的最大值. 由(Ⅰ)可知,
当时,
在
上单调递增,在
上单调递减,
故
由可知
,
,
,
所以,,
, 故不存在符合条件的
,使得
.
(Ⅲ)当时,
在
上单调递增,在
上单调递减,
只需证明,
都成立,
也可得证命题成立.
设,
,
在
上是减函数,
设,
在
上是增函数,
综上述命题成立.
另解:当时,
,
在
上单调递减,在
上单调递增,
,
,
,
,
.
由导数的几何意义有对任意,
.
解析
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知识点
21.如图,在三棱锥中,
(1)求证:平面⊥平面
;
(2)求直线与平面
所成角的正弦值;
(3)若动点在底面三角形
上,二面角
的大小为
,求
的最小值。
正确答案
(1)取AC中点O,因为AP=BP,
所以OP⊥OC
由已知易得三角形ABC为直角三角形,
∴OA=OB=OC,⊿POA≌⊿POB≌⊿POC,
∴OP⊥OB,∴OP⊥平面ABC,
∵OP在平面PAC中,
∴平面⊥平面
.
(2)以O为坐标原点,OB、OC、OP分别为x、y、z轴建立如图所示空间直角坐标系.
由已知得O(0,0,0),B(2,0,0),A(0,-2,0),C(0,2,0),P(0,0, ),
∴
设平面PBC的法向量,由
得方程组:
,取
∴ .
∴直线PA与平面PBC所成角的正弦值为.
(3)由题意平面PAC的法向量,
设平面PAM的法向量为
∵
又因为.
∴ 取
.
,
,此时
解析
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