2.设,
(
为虚数单位),则
的值为 ▲ .
正确答案
1
解析
由于 ,有
,得
.
考查方向
解题思路
由复数直接代数运算得出结果
易错点
复数的乘除运算
3.在平面直角坐标系中,双曲线
的离心率是 .
正确答案
解析
考查方向
解题思路
由题中直接求出,代入公式
易错点
双曲线的关系
4.现有三张识字卡片,分别写有“中”、“国”、“梦”这三个字.将这三张卡片随机排序,则能组成“中国梦”的概率是 .
正确答案
解析
把这三张卡片排序有“中”“国”“梦”,“中”“梦”“国”,“国”“中”“梦”;“国”“梦”“中”“梦”“中”“国”;“梦”“国”“中”;共计6种,能组成“中国梦” 的只有1种,概率为.
考查方向
解题思路
把所有情况按顺序一、一列举出来,写出基本事件总数,再找出符合要求的基本事件数,再利用概率公式 ,求出概率值
易错点
古典概型概率的计算
5.如图是一个算法的流程图,则输出的的值为 .
正确答案
6
解析
k=1,则k=2,22-14+10=0>0,不满足判断框的条件,则k=3,32-21+10=-2>0,不满足判断框的条件,则k=4,42-28+10=-2>0,不满足判断框的条件,则k=5,52-35+10=0>0,不满足判断框的条件,
则k=6,62-42+10=4>0,成立,所以结束循环,
输出k=6.
考查方向
解题思路
根据所给数值判定是否满足判断框中的条件,然后执行循环语句,一旦满足条件就退出循环,输出结果.
易错点
循环结构的控制条件
6.已知一组数据,
,
,
,
,则该组数据的方差是 .
正确答案
(或
)
解析
考查方向
解题思路
先求出再代入公式求
易错点
样子的方差
9.在公比为且各项均为正数的等比数列
中,
为
的前
项和.若
,且
,则
的值为 .
正确答案
解析
,
,
,
,又
.
考查方向
解题思路
由,
直接代入公式,关于
的方程,再由
得出结果
易错点
等比数列的前n项和
1.已知集合,
,则集合
中元素的个数为 .
正确答案
解析
由于,所以集合
中元素的个数为5.
考查方向
解题思路
根据集合的交、并、补定义:,
,
,求出
,可得集合
中元素的个数.
易错点
注意区间端点的取舍
7.已知实数,
满足
则
的取值范围是 .
正确答案
(或
)
解析
画出一元二次不等式组所表示的可行域,目标函数为斜率型目标函数,表示可行域内任一点
与坐标原点
连线的斜率,得出最优解为
,则
的取值范围是
考查方向
解题思路
画出一元二次不等式组所表示的可行域,表示可行域内任一点
与坐标原点
连线的斜率,得出最优解
10.如图,在正三棱柱中,已知
,点
在棱
上,则三棱锥
的体积为 .
正确答案
解析
由已知 ,
, 由于
平面
,所以
考查方向
解题思路
由 平面
,
,直接代入公式求出
的体积即可。
易错点
求三棱锥的体积要注意利用等体积转化
11.如图,已知正方形的边长为
,
平行于
轴,顶点
,
和
分别在函数
,
和
(
)的图象上,则实数
的值为 .
正确答案
解析
由于顶点,
和
分别在函数
,
和
(
)的图象上,设
,由于
平行于
轴,则
,有
,解得
,又
,则
.
考查方向
解题思路
由于正方形三个顶点在对数函数图象上,且平行于
轴,则
轴,因此可以巧设出
三点的坐标,利用
两点纵坐标相等,横坐标之差的绝对值为边长2,以及
两点横坐标相等,纵坐标之差的绝对值为边长2,解出.
易错点
数形结合
13.在平面直角坐标系中,圆
.若圆
存在以
为中点的弦
,且
,则实数
的取值范围是 .
正确答案
(或
)
解析
由于圆存在以
为中点的弦
,且
,所以
,如图,过点
作圆
的两条切线,切点分别为
,圆上要存在满足题意的点
,只需
,即
,连接
,
,由于
,
,
,解得
.
考查方向
解题思路
已知圆的圆心在直线上,半径为
,若圆
存在以
为中点的弦
,且
,说明
,就是说圆上存在两点
,使得
.过点
作圆
的两条切线,切点分别为
,圆上要存在满足题意的点
,只需
,即
,则只需
,列出不等式解出
的范围.
14.已知三个内角
,
,
的对应边分别为
,
,
,且
,
.当
取得最大值时,
的值为 .
正确答案
解析
设的外接圆半径为
,则
.
,
,
.
,
,则当
,即:
时,
取得最大值为
,此时
中,
,
.
考查方向
解题思路
化为关于角的三角函数式,根据角
的范围研究三角函数的最值,从角的角度去求最值
易错点
正弦型函数的性质
8.若函数的图象过点
,则函数
在
上的单调减区间是 .
正确答案
(或
)
解析
函数的图象过点
,则
,
,
,
.
,
,
,有于
在
为减函数,所以
,解得
.
考查方向
解题思路
根据函数图象过已知点,求出 ,借助
的范围求出
的值.根据
的范围研究
的范围直接求三角函数的单调区间
易错点
范围优先原则
12.已知对于任意的,都有
,则实数
的取值范围是 .
正确答案
(或
)
解析
利用一元二次方程根的分布去解决,设 ,
当时,即
时,
对
恒成立;
当时,
,不合题意;
当时,
符合题意;
当 时,
,即
,即:
综上所述:实数的取值范围是
.
考查方向
解题思路
结合一元二次方程和二次函数的图象去作,要求函数值在某区间为正,需要分别对判别式大于零、等于零和小于零进行分类研究,列不等式组解题
易错点
判别式、对称轴及特殊点的函数值的大小
如图,在中,已知点
在边
上,
,
,
,
.
15.求的值;
16.求的长.
正确答案
解析
在中,
,
,
所以.
同理可得,.
所以
.
考查方向
解题思路
由,
及三角形角的范围,求出正弦,再利用诱导公式直接利用和角公式展开就可以求出。
易错点
三角形中的诱导公式
正确答案
解析
在中,由正弦定理得,
.
又,所以
.
在中,由余弦定理得,
.
考查方向
解题思路
由正弦定理,求出AB,BD,在中,由余弦定理求得
易错点
正弦,余弦定理的合理运用
如图,在四棱锥中,底面
是矩形,点
在棱
上(异于点
,
),平面
与棱
交于点
.
17.求证:;
18.若平面平面
,求证:
.
正确答案
见解析
解析
因为是矩形,所以
.
又因为平面
,
平面
,
所以平面
.
又因为平面
,平面
平面
,
所以.
考查方向
解题思路
由线线平行,推出线面平行,再推出线线平行,
易错点
线面平行的判定定理
正确答案
见解析
解析
因为是矩形,所以
.
又因为平面平面
,平面
平面
,
平面
,所以
平面
.
又平面
,所以
.
又由17知,所以
.
考查方向
解题思路
由面面垂直推出线面垂直,再推出线线垂直
易错点
面面垂直推出线面垂直
如图,在平面直角坐标系中,已知椭圆
的左、右顶点分别为
,
,过右焦点
的直线
与椭圆
交于
,
两点(点
在
轴上方).
19.若,求直线
的方程;
20.设直线,
的斜率分别为
,
.是否存在常数
,使得
?若存在,求出
的值;若不存在,请说明理由.
正确答案
解析
因为,
,所以
,所以
的坐标为
,
设,
,直线
的方程为
,
代入椭圆方程,得,
则,
.
若,则
,
解得,故直线
的方程为
.
考查方向
解题思路
设出方程,根据题目所提供的坐标关系,求出直线方程中的待定系数,得出直线方程
易错点
待定系数法求直线方程
正确答案
解析
由(1)知,,
,
所以,
所以
,
故存在常数,使得
考查方向
解题思路
首先假设存在,利用所求的
,
,结合已知条件
,得出坐标关系,再把
代入求出
符合题意,则
存在,否则不存在.
易错点
存在性问题
已知两个无穷数列和
的前
项和分别为
,
,
,
,对任意的
,都有
.
23.求数列的通项公式;
24.若为等差数列,对任意的
,都有
.证明:
;
25.若为等比数列,
,
,求满足
的
值.
正确答案
解析
)由,得
,
即,所以
.
由,
,可知
.
所以数列是以
为首项,
为公差的等差数列.
故的通项公式为
.
考查方向
解题思路
由,得
,即
,所以
. 数列
是等差数列,由条件得出通项公式
易错点
之间的关系
正确答案
见解析
解析
(2)证法一:设数列的公差为
,则
,
由(1)知,.
因为,所以
,即
恒成立,
所以 即
又由,得
,
所以
.
所以,得证.
证法二:设的公差为
,假设存在自然数
,使得
,
则,即
,
因为,所以
.
所以,
因为,所以存在
,当
时,
恒成立.
这与“对任意的,都有
”矛盾!
所以,得证.
考查方向
解题思路
设数列则
,由(1)知,
.因为
,所以
,即
恒成立,
所以 再由
作差得出
易错点
作差法
正确答案
和
解析
由(1)知,.因为
为等比数列,且
,
,
所以是以
为首项,
为公比的等比数列.
所以,
.
则,
因为,所以
,所以
.
而,所以
,即
(*).
当,
时,(*)式成立;
当时,设
,
则,
所以.
故满足条件的的值为
和
.
考查方向
解题思路
求出,
,则
,分离常数,所以
,令
,作差得出
易错点
作差法
已知函数,
.
26.当时,求函数
的单调增区间;
27.设函数,
.若函数
的最小值是
,
求的值;
28.若函数,
的定义域都是
,对于函数
的图象上的任意一点
,在函数
的图象上都存在一点
,使得
,其中
是自然对数的底数,
为坐标原点.求
的取值范围.
正确答案
解析
当时,
,
.
因为在
上单调增,且
,
所以当时,
;当
时,
.
所以函数的单调增区间是
.
考查方向
解题思路
当时,
,
.
在
上单调增,且
,所以当
时,
,很容易求出单调增区间。
易错点
求导函数,
正确答案
1
解析
,则
,令
得
,
当时,
,函数
在
上单调减;
当时,
,函数
在
上单调增.
所以.
①当,即
时,
函数的最小值
,
即,解得
或
(舍),所以
;
②当,即
时,
函数的最小值
,解得
(舍).
综上所述,的值为
.
考查方向
解题思路
,则
,令
得
,当
时,
,函数
在
上单调减;当
时,
,函数
在
上单调增.
.再进行分类讨论得出
易错点
分类讨论
正确答案
解析
由题意知,,
.
考虑函数,因为
在
上恒成立,
所以函数在
上单调增,故
.
所以,即
在
上恒成立,
即在
上恒成立.
设,则
在
上恒成立,
所以在
上单调减,所以
.
设,
则在
上恒成立,
所以在
上单调增,所以
.
综上所述,的取值范围为
.
考查方向
解题思路
,
.
,因为
在
上恒成立,
.得
在
上恒成立.两边构造不同的函数,求出范围
易错点
分离参数
某景区修建一栋复古建筑,其窗户设计如图所示.圆的圆心与矩形
对角线的交点重合,且圆与矩形上下两边相切(
为上切点),与左右两边相交(
,
为其中两个交点),图中阴影部分为不透光区域,其余部分为透光区域.已知圆的半径为1m,且
.设
,透光区域的面积为
.
21.求关于
的函数关系式,并求出定义域;
22.根据设计要求,透光区域与矩形窗面的面积比值越大越好.当该比值最大时,求边的长度.
正确答案
解析
过点作
于点
,则
,
所以,
.
所以
,
因为,所以
,所以定义域为
.
考查方向
解题思路
过点作
于点
,则
,则
,
.
代入,再由
即
求出。
易错点
三角函数定义的运用
正确答案
1
解析
矩形窗面的面积为.
则透光区域与矩形窗面的面积比值为.
设,
.
则
,
因为,所以
,所以
,故
,
所以函数在
上单调减.
所以当时,
有最大值
,此时
(m).
考查方向
解题思路
由矩形的面积得出透光区域与矩形窗面的面积比值为,构造函数在限定的区域求最值
易错点
求导后注意范围