1.（5分）（2017•吉林三模）设全集U=R，集合A={x|x＞1}，集合B={x|x＞p}，若（∁UA）∩B=∅，则p应该满足的条件是（ ）
正确答案
解析
解：全集U=R，集合A={x|x＞1}，集合B={x|x＞p}，
∴∁UA={x|x≤1}，
又（∁UA）∩B=∅，
∴p≥1．
故选：B．
考查方向
解题思路
先求出∁UA，再由（∁UA）∩B=∅可得答案.
易错点
由（∁UA）∩B=∅得出p的取值范围.
3．（5分）（2017•吉林三模）已知向量
正确答案
解析
解：根据题意，向量
若
即
故选：D．
考查方向
解题思路
先由复数平行的充要条件得出x的值，再由数量积的坐标表示得出答案.
易错点
向量平行的充要条件和向量垂直的充要条件弄混.
4．（5分）（2017•吉林三模）已知点F（2，0）是双曲线3x2﹣my2=3m（m＞0）的一个焦点，则此双曲线的离心率为（ ）
A
B
C2
D4
正确答案
解析
解：双曲线3x2﹣my2=3m（m＞0）
即为
可得a=
c=
解得m=1，
则e=
故选C
考查方向
解题思路
先将双曲线化为标准方程，再由焦点求出m的值，最后得出离心率.
易错点
将双曲线a,b,c的关系与椭圆中的a,b,c的关系弄混.
5．（5分）（2017•吉林三模）
正确答案
解析
解：令x=1，则A=4n，
又2n=B，
故选：A．
考查方向
解题思路
找出各项系数之和及二项式系数之和，结合条件可得答案.
易错点
将各项系数之和及二项式系数之和弄混.
7．（5分）（2017•吉林三模）若直角坐标平面内的两点P，Q满足条件：①P，Q都在函数y=f（x）的图象上；②P，Q关于原点对称，则称点对（P，Q）是函数y=f（x）的一对“友好点对”（点对（P，Q）与（Q，P）看作同一对“友好点对”）．已知函数f（x）=
正确答案
解析
解：根据题意：“友好点对”，可知，
只须作出函数y=（
看它与函数y=x+1（x≤0）交点个数即可．
如图，观察图象可得：它们的交点个数是：1．
即函数f（x）=
故选：C．
考查方向
解题思路
根据友好点对的定义，只须作出函数y=（
易错点
不能理解新定义的含义而致错.
8．（5分）（2017•吉林三模）2002年在北京召开的国际数学家大会，会标是以我国古代数学家赵爽的弦图为基础设计的．弦图是由四个全等直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形（如图）．如果小正方形的面积为1，大正方形的面积为25，直角三角形中较小的锐角为θ，那么sin2θ的值为（ ）
A
B
C
D
正确答案
解析
解：设直角三角形的边长为a，a+1，
则a2+（a+1）2=25，a＞0．
解得a=3．
∴sinθ=
∴sin2θ=
故选：D．
考查方向
解题思路
先求出a的值，再求出角的正弦，余弦，可得答案.
易错点
本题的关键是求出直角三角形的边长.
9．（5分）（2011•天津）阅读程序框图，运行相应的程序，则输出i的值为（ ）
正确答案
解析
解：该程序框图是循环结构
经第一次循环得到i=1，a=2；
经第二次循环得到i=2，a=5；
经第三次循环得到i=3，a=16；
经第四次循环得到i=4，a=65满足判断框的条件，执行是，输出4
故选B
考查方向
解题思路
找出每次循环的结果，可得答案.
易错点
不能找出规律而致错.
10．（5分）（2017•吉林三模）中国有个名句“运筹帷幄之中，决胜千里之外．”其中的“筹”原意是指《孙子算经》中记载的算筹，古代是用算筹来进行计算，算筹是将几寸长的小竹棍摆在平面上进行运算，算筹的摆放形式有纵横两种形式（如下图所示），表示一个多位数时，像阿拉伯计数一样，把各个数位的数码从左到右排列，但各位数码的筹式需要纵横相间，个位，百位，万位数用纵式表示，十位，千位，十万位用横式表示，以此类推．例如6613用算筹表示就是
A
B
C
D
正确答案
解析
解：由题意各位数码的筹式需要纵横相间，
个位，百位，万位数用纵式表示，十位，千位，十万位用横式表示，
则9117 用算筹可表示为
故选：C
考查方向
解题思路
由题意各位数码的筹式需要纵横相间，从而可得答案.
易错点
不能理解题意而致错.
2.（5分）（2017•吉林三模）已知复数z=
A
B
C
D2
正确答案
解析
解：z=
则|z|=
故选：B．
考查方向
解题思路
先求出复数z的代数形式，再求其模.
易错点
求复数的代数形式时出错.
6．（5分）（2017•吉林三模）给出下列几个命题：
①命题p：任意x∈R，都有cosx≤1，则￢p：存在x0∈R，使得cosx0≤1
②命题“若a＞2且b＞2，则a+b＞4且ab＞4”的逆命题为假命题
③空间任意一点O和三点A，B，C，则
④线性回归方程y=bx+a对应的直线一定经过其样本数据点（x1，y1），（x2，y2），…，（xn，yn）中的一个
其中不正确的个数为（ ）
正确答案
解析
解：对于①，命题p：任意x∈R，都有cosx≤1，则￢p：存在x0∈R，使得cosx0＞1，故错；
对于②，原命题的逆命题：“若a+b＞4且ab＞4“则“a＞2且b＞2”，比如a=1，b=5结论不成立，为假命题，正确；
对于③，空间任意一点O和三点A，B，C，若
对于④，线性回归方程y=bx+a对应的直线不一定经过其样本数据点（x1，y1），（x2，y2），…，（xn，yn）中的一个，故错．
故选：B
考查方向
解题思路
分别判断命题的正误.
易错点
④容易判错.
11．（5分）（2017•吉林三模）已知数列{an}的各项均为正整数，其前n项和为Sn，an+1=
正确答案
解析
解：（ⅰ）当a1为奇数时，a2=
∴S3=10=a1+
（ⅱ）当a1为奇数时，a2=
∴S3=10=a1+
（ⅲ）当a1为偶数时，a2=3a1﹣1，此时a2为奇数，则a3=
解得a1=2，此时的数列{an}为2，5，3，2，5，3，…．
上述三种情况数列{an}均为3周期数列，又60×3=180，∴S180=60×（5+3+2）=600．
故选：D．
考查方向
解题思路
根据a1 ，a2 的奇偶性分情况得出该数列，从而得出答案.
易错点
不会求数列而无从下手.
12．（5分）（2017•吉林三模）定义在区间D上的函数f（x）和g（x），如果对任意x∈D，都有|f（x）﹣g（x）|≤1成立，则称f（x）在区间D上可被g（x）替代，D称为“替代区间”．给出以下问题：
①f（x）=x2+1在区间（﹣∞，+∞）上可被g（x）=x2+
②如果f（x）=lnx在区间[1，e]可被g（x）=x﹣b替代，则﹣2≤b≤2；
③设f（x）=lg（ax2+x）（x∈D1），g（x）=sinx（x∈D1），则存在实数a（a≠0）及区间D1，D2，使得f（x）在区间D1∩D2上被g（x）替代．
其中真命题是（ ）
正确答案
解析
解：在①中，∵f（x）=x2+1，g（x）=x2+
∴对任意x∈（﹣∞，+∞），都有|f（x）﹣g（x）|=|1﹣
∴f（x）=x2+1在区间（﹣∞，+∞）上可被g（x）=x2+
在②中，由题意知：|f（x）﹣g（x）|=|lnx﹣x+b|≤1在x∈[1，e]上恒成立；设h（x）=lnx﹣x+b，则h′（x）=
∵x∈[1，e]，∴h′（x）≤0，∴h（x）在[1，e]上单调递减，
h（1）=b﹣1，h（e）=1﹣e+b，
1﹣e+b≤h（x）≤b﹣1，又﹣1≤h（x）≤1，
∴
在③中，若a＞0，解ax2+x＞0，得x＜﹣
可取D1=（0，+∞），D2=R，∴D1∩D2=（0，+∞），
可取x=π，则|f（x）﹣g（x）|=aπ2+π，
∴不存在实数a（a＞0），使得f（x）在区间D1∩D2 上被g（x）替代；
若a＜0，解ax2+x＞0得，x＜0，或x＞﹣
∴可取D1=（﹣∞，0），D2=R，∴D1∩D2=（﹣∞，0），
取x=﹣π，则|f（﹣π）﹣g（﹣π）|=|aπ2﹣π|＞1，
∴不存在实数a（a＜0），使得f（x）在区间D1∩D2 上被g（x）替代．
综上得，不存在实数a（a≠0），使得f（x）在区间D1∩D2 上被g（x）替代，故③错误．
故选：C．
考查方向
解题思路
结合定义分别探讨①②③.
易错点
不能理解题意而无从下手.
14．（5分）（2017•吉林三模）已知等差数列{an}中，a5+a7=
正确答案
3
解析
解：∵a5+a7=
解得a6=1．
则a4+a6+a8=3a6=3．
故答案为：3．
考查方向
解题思路
先由定积分求出a5+a7，由等差数列的性质可得答案.
易错点
不能求出定积分而致错.
13．（5分）（2017•吉林三模）设x，y满足不等式组
正确答案
-6
解析
解：不等式组对应的平面区域如图：
由z=﹣2x+y得y=2x+z，
平移直线y=2x+z，则由图象可知当直线y=2x+z经过点A时，直线y=2x+z的截距最小，
此时z最小，由
此时z=﹣2×4+2=﹣6，
故答案为：﹣6．
考查方向
解题思路
做出可行域，再确定最优解，可得答案.
易错点
不能找出最优解.
15．（5分）（2017•吉林三模）某几何体的三视图如图所示，且该几何体的体积为2，则正视图的面积= ．
正确答案
2
解析
解：由三视图可知：该几何体为四棱锥P﹣ABCD，
其中底面BACD为直角梯形，AD∥BC，AB⊥AD，AB=2，BC=1，AD=2，PA⊥底面ABCD．
∴
∴正视图的面积S=
故答案为：2．
考查方向
解题思路
先由三视图得出直观图，再由体积公式得出x值，再得出答案.
易错点
不能确定几何体而无从下手.
16．（5分）（2017•吉林三模）已知A，B是椭圆
正确答案
﹣
解析
解：设A（﹣a，0），B（a，0）．设P（x1，y1），M（x2，y2），
∵
∴（x1+a，y1）+（x1﹣a，y1）=λ[（x2+a，y2）+（x2﹣a，y2）]，化为x1y2=x2y1．
∵P、M都异于A、B，∴y1≠0，y2≠0．∴
由k1+k2=
∵
由①②得
k3+k4=
∴k3+k4=﹣
故答案为：﹣
考查方向
解题思路
由
易错点
得出
（2017•吉林三模）已知函数f（x）=cos2x+2sin2x+2sinx．
17．将函数f（2x）的图象向右平移
18.已知a，b，c分别为△ABC中角A，B，C的对边，且满足f（A）=
正确答案
[0，3]
解析
解：（Ⅰ）因为
f（x）=cos2x+2sin2x+2sinx=cosx2﹣sinx2+2sin2x+2sinx=cosx2+sinx2+2sinx=1+2sinx，
即f（2x）=1+2sin2x，
∵函数f（2x）的图象向右平移
∴
所以函数g（x）的值域为[0，3]．
考查方向
解题思路
先化简f(x)，再求出f(2x)，再求出g(x)，得出值域
易错点
不能由三角函数性质求其值域.
正确答案
解析
解：∵
又
所以，△ABC面积
考查方向
解题思路
求出sinA及c的值，再套面积公式.
易错点
余弦定理.
（2017•吉林三模）据《中国新闻网》10月21日报道，全国很多省市将英语考试作为高考改革的重点，一时间“英语考试该如何改”引起广泛关注．为了解某地区学生和包括老师、家长在内的社会人士对高考英语改革的看法，某媒体在该地区选择了3600人调查，就是否“取消英语听力”的问题，调查统计的结果如下表：
已知在全体样本中随机抽取1人，抽到持“应该保留”态度的人的概率为0.05．
19.现用分层抽样的方法在所有参与调查的人中抽取360人进行问卷访谈，问应在持“无所谓”态度的人中抽取多少人？
20.在持“应该保留”态度的人中，用分层抽样的方法抽取6人平均分成两组进行深入交流，求第一组中在校学生人数ξ的分布列和数学期望．
正确答案
72人
解析
解：∵抽到持“应该保留”态度的人的概率为0.05，
∴
∴持“无所谓”态度的人数共有3600﹣2100﹣120﹣600﹣60=720． …（4分）
∴应在“无所谓”态度抽取720×
考查方向
解题思路
首先求出x，再得出答案
易错点
求出x的值
正确答案
ξ的分布列为：
Eξ=2.
解析
解：（Ⅱ）由（I）知持“应该保留”态度的一共有180人，
∴在所抽取的6人中，在校学生为
于是第一组在校学生人数ξ=1，2，3，
P（ξ=1）=
即ξ的分布列为：
∴Eξ=1×
考查方向
解题思路
求出ξ=1，2，3的概率，从而得出答案.
易错点
ξ=1，2，3的概率不能正确求出而致错.
（2017•吉林三模）已知O为坐标原点，抛物线C：y2=nx（n＞0）在第一象限内的点P（2，t）到焦点的距离为
24.求线段OQ的长；
25.设不经过点P和Q的动直线l2：x=my+b交曲线C于点A和B，交l1于点E，若直线PA，PE，PB的斜率依次成等差数列，试问：l2是否过定点？请说明理由．
正确答案
2
解析
解：由抛物线C：y2=nx（n＞0）在第一象限内的点P（2，t）到焦点的距离为
所以曲线C在第一象限的图象对应的函数解析式为
故曲线C在点P处的切线斜率
令y=0得x=﹣2，所以点Q（﹣2，0）…（5分）
故线段OQ=2…（6分）
考查方向
解题思路
先求出抛物线方程，再由导数求出切线方程，再求出切点，可得答案
易错点
求切线方程.
正确答案
l2恒过定点（2，0）
解析
解：（Ⅱ）由题意知l1：x=﹣2，因为l2与l1相交，所以m≠0
设l2：x=my+b，令x=﹣2，得
设A（x1，y1），B（x2，y2），
由
则y1+y2=2m，y1y2=﹣2b…..…（9分）
直线PA的斜率为
同理直线PB的斜率为
因为直线PA，PE，PB的斜率依次成等差数列
所以
即
因为l2不经过点Q，所以b≠﹣2
所以2m﹣b+2=2m，即b=2
故l2：x=my+2，即l2恒过定点（2，0）…（12分）
考查方向
解题思路
设l2：x=my+b，将直线方程和抛物线方程联立，可得答案.
易错点
化简，计算求出b的值.
（2017•吉林三模）已知四棱锥P﹣ABCD中，底面为矩形，PA⊥底面ABCD，PA=BC=1，AB=2，M为PC中点．
21.在图中作出平面ADM与PB的交点N，并指出点N所在位置（不要求给出理由）；
22.在线段CD上是否存在一点E，使得直线AE与平面ADM所成角的正弦值为
23.求二面角A﹣MD﹣C的余弦值．
正确答案
N为PB的中点
解析
解：过M作MN∥BC，交PB于点N，连接AN，如图，
则点N为平面ADM与PB的交点N（在图中画出）
由M为PC中点，得N为PB的中点．
考查方向
解题思路
过M作MN∥BC，交PB于点N，连接AN，得N为PB的中点
易错点
不能做出交点N
正确答案
线段CD上存在中点E，使得直线AE与平面AMD所成角的正弦值为
解析
解：因为四棱锥P﹣ABCD中，底面为矩形，PA⊥底面ABCD，
以A为坐标原点，以直线AB，AD，AP所在直线建立空间直角坐标系如图所示：
则A（0，0，0），P（0，0，1），D（0，1，0），C（2，1，0），M（1，
设在线段CD上存在一点E（x，1，0），则
设直线AE与平面AMD所成角为θ，平面AMD的法向量为
则
因为直线AE与平面ADM所成角的正弦值为
所以
所以在线段CD上存在中点E，
使得直线AE与平面AMD所成角的正弦值为
考查方向
解题思路
建立空间直角坐标系，设在线段CD上存在一点E（x，1，0），由直线AE与平面ADM所成角的正弦值为
易错点
求出sinθ的表达式.
正确答案
解析
解：设平面CMD的法向量
则
所以
所以
由图形知二面角A﹣MD﹣C的平面角是钝角，
所以二面角A﹣MD﹣C的平面角的余弦值为
考查方向
解题思路
由向量夹角公式可得答案.
易错点
将二面角A﹣MD﹣C的平面角按锐角处理而致错.
（2017•吉林三模）已知函数f（x）=x2﹣（a+2）x+alnx，其中常数a＞0．
26.当a＞2时，求函数f（x）的单调递增区间
27.设定义在D上的函数y=h（x）在点P（x0，h（x0））处的切线方程为l：y=g（x），若
正确答案
（0，1），
解析
解：（Ⅰ）函数f（x）的定义域为（0，+∞），
∵
∴
∵a＞2，∴
令f′（x）＞0，即
∵x＞0，∴0＜x＜1或
所以函数f（x）的单调递增区间是（0，1），
考查方向
解题思路
由导数大于0，得出答案
易错点
由导数探讨函数的单调性
正确答案
解析
解：解法一：当a=4时，
所以在点P处的切线方程为
若函数
则等价于当0＜x＜x0时，f（x）＜g（x），
当x＞x0时，f（x）＞g（x）恒成立．…（5分）
①当0＜x＜x0时，f（x）＜g（x）恒成立，
等价于
即当0＜x＜x0时，
令
要使φ（x0）＜0在0＜x＜x0恒成立，只要φ（x）在（0，x0）单调递增即可．
又∵
∴
②当x＞x0时，f（x）＞g（x）恒成立时，
∴
所以y=f（x）存在“类对称点”，其中一个“类对称点”的横坐标为
（Ⅱ）解法二：
猜想y=f（x）存在“类对称点”，其中一个“类对称点”的横坐标为
当
①当
等价于
令
∵
从而当
即当
②同理当
综上知y=f（x）存在“类对称点”，其中一个“类对称点”的横坐标为
考查方向
解题思路
猜想y=f（x）存在“类对称点”，其中一个“类对称点”的横坐标为
易错点
分情况判断和证明其中一个“类对称点”的横坐标为
（2017•吉林三模）以直角坐标系xOy的原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，且两坐标系相同的长度单位．已知点N的极坐标为（
28．求曲线C2的直角坐标方程；
29.若过点P（2，0）的直线l的参数方程为
正确答案
（x﹣1）2+（y﹣1）2=1
解析
解：由ρ=1，得x2+y2=1，∴曲线C1的直角坐标方程为x2+y2=1，
∵点N的直角坐标为（1，1），设G（x，y），M（x0，y0），又
∴
∴曲线C2的直角坐标方程为（x﹣1）2+（y﹣1）2=1．
考查方向
解题思路
先得出C1的直角坐标方程，再由
易错点
未掌握极坐标方程转化为普通方程的方法
正确答案
解析
解：把直线l
得
设A、B两点对应的参数分别为t1、t2，则
∴
考查方向
解题思路
将直线的参数方程代入曲线C2的直角坐标方程，再由根与系数的关系，可得答案.
易错点
|PA|，|PB|与为t1、t2的关系.
（2017•吉林三模）已知定义在R上的函数f（x）=|x﹣m|+|x|，m∈N*，存在实数x使f（x）＜2成立．
30.求实数m的值；
31.若α，β＞1，f（α）+f（β）=2，求证：
正确答案
m=1
解析
解：∵|x﹣m|+|x|≥|x﹣m﹣x|=|m|，
∴要使|x﹣m|+|x|＜2有解，则|m|＜2，解得﹣2＜m＜2．
∵m∈N*，∴m=1．
考查方向
解题思路
由三角不等式可得答案
易错点
三角不等式的应用
正确答案
解析
证明：α，β＞0，f（α）+f（β）=2α﹣1+2β﹣1=2，
∴α+β=2．
∴
考查方向
解题思路
利用基本不等式可得结论.
易错点
构造基本不等式的条件.