数学杨浦区2014年高三试卷

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单选题
填空题
简答题

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试卷目录

1、单选题

2、填空题

3、简答题

真题试卷
模拟试卷

单选题本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的4个选项中，有且只有一项是符合题目要求。

题型：单选题

分值: 5分

1．由…若a>b>0，m>0，则与之间大小关系为（）

A相等

B前者大

C后者大

D不确定

正确答案

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知识点

函数的概念及其构成要素

题型：单选题

分值: 5分

2．在实数的原有运算法则中，我们补充定义新运算“⊙”如下：

当时， ⊙ = ；

当时， ⊙ = ，

则函数 = 1⊙ 2⊙），的最大值等于（）

A- 1

D12

正确答案

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知识点

函数的概念及其构成要素

题型：单选题

分值: 5分

3．用反证法证明：“方程且都是奇数，则方程没有整数根” 正确的假设是方程存在实数根为（）

A整数

B奇数或偶数

C自然数或负整数

D正整数或负整数

正确答案

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知识点

函数的概念及其构成要素

题型：单选题

分值: 5分

4．有一段演绎推理是这样的：“直线平行于平面，则平行于平面内所有直线；已知直线平面，直线平面，直线∥平面，则直线∥直线”的结论显然是错误的，这是因为（）

A大前提错误

B小前提错误

C推理形式错误

D非以上错误

正确答案

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知识点

函数的概念及其构成要素

题型：单选题

分值: 5分

5．反证法证明命题：“三角形的内角中至少有一个不大于60度”时，反设正确的是（）

A假设三内角都不大于60度

B假设三内角都大于60度

C假设三内角至多有一个大于60度

D假设三内角至多有两个大于60度

正确答案

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知识点

四种命题及真假判断

题型：单选题

分值: 5分

6．用反证法证明“如果，那么”时，反证假设的内容应是（）

C或

D且

正确答案

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知识点

四种命题及真假判断

题型：单选题

分值: 5分

8．正方形的边长为，点在边上，点在边上，。动点从出发沿直线向运动，每当碰到正方形的边时反弹，反弹时反射角等于入射角，当点第一次碰到时，与正方形的边碰撞的次数为（）

正确答案

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知识点

四种命题及真假判断

题型：单选题

分值: 5分

10．下面使用类比推理正确的是（）

A“若，则”类推出“若，则”

B“若”类推出“”

C“若” 类推出“ （c≠0）”

D“” 类推出“”

正确答案

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知识点

任意角的概念

题型：单选题

分值: 5分

7．观察（x2）′＝2x，（x4）′＝4x3，（cosx）′＝－sinx，由归纳推理可得：若定义在R上的函数f（x）满足f（－x）＝f（x），记g（x）为f（x）的导函数，则g（－x）＝（）

Af（x）

B－f（x）

Cg（x）

D－g（x）

正确答案

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知识点

函数的概念及其构成要素

题型：单选题

分值: 5分

9．用反证法证明命题： “设大于0，则、、中至少有一个不小于2．”时，假设的内容是（）

A都不小于2

B至少有一个不大于2

C都小于2

D至少有一个小于2

正确答案

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知识点

四种命题及真假判断

题型：单选题

分值: 5分

11．设△ABC的三边长分别为a、b、c，△ABC的面积为S，内切圆半径为r，则；类比这个结论可知：四面体S－ABC的四个面的面积分别为S1、S2、S3、S4，内切球的半径为R，四面体P－ABC的体积为V，则R＝（）

正确答案

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知识点

任意角的概念

题型：单选题

分值: 5分

12．由

①正方形的对角线相等；

②平行四边形的对角线相等；

③正方形是平行四边形，

根据“三段论”推理出一个结论，则这个结论是（）

A正方形的对角线相等

B平行四边形的对角线相等

C正方形是平行四边形

D其它

正确答案

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知识点

进行简单的演绎推理

填空题本大题共4小题，每小题5分，共20分。把答案填写在题中横线上。

题型：填空题

分值: 5分

13．已知是定义在上的不恒为零的函数，且对任意满足下列关系式：

，，，

考察下列结论：

①；

②为偶函数；

③数列为等比数列；

④数列为等差数列，其中正确的结论是：____________。

正确答案

①③④

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知识点

由数列的前几项求通项

题型：填空题

分值: 5分

14．已知经过计算和验证有下列正确的不等式：，，，

，，根据以上不等式的规律，写出一个一般性的不等式__________．

正确答案

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知识点

不等式的性质

题型：填空题

分值: 5分

15．设等差数列{an}的前n项和为Sn，则S4，S8，S4，S12，S8，S16，S12成等差数列．类比以上结论有：设等比数列{bn}的前n项积为Tn，则T4，_____________，____________，成等比数列．

正确答案

，．

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由数列的前几项求通项

题型：填空题

分值: 5分

16．平面几何中，△ABC的内角平分线CE分AB所成线段的比，把这个结论类比到空间：在三棱锥A－BCD中（如图所示），平面DEC平分二面角A－CD－B且与AB相交于E，则得到的类比的结论是____________．

正确答案

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知识点

计数原理的应用

简答题（综合题）本大题共70分。简答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

题型：简答题

分值: 10分

17．如图（1），在三角形中，，若，则；若类比该命题，如图（2），三棱锥中，面，若点在三角形所在平面内的射影为，则有什么结论？命题是否是真命题．

正确答案

命题是：三棱锥中，面

若点在三角形所在平面内的射影为

有是一个真命题

证明如下：

在图（2）中，连结，并延长交于

连结，则有

因为面，，所以

又，所以

于是

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类比推理

题型：简答题

分值: 12分

18．已知△ABC的三边长为a、b、c，若成等差数列．求证：B不可能是钝角．

正确答案

（用反证法证明1）

∵，，成等差数列，

∴，

∴b2≤ac 即ac－b2≥0．

假设B是钝角，则cosB<0，

由余弦定理可得，

．

这与cosB<0矛盾，故假设不成立．

∴B不可能是钝角．

（用反证法证明2）

∵，，成等差数列，

∴，

假设B是钝角，则，

则B是△ABC的最大内角，所以b>a，b>c，

（在三角形中，大角对大边），

从而，这与矛盾，

故假设不成立，因此B不可能是钝角．

（用综合法证明）

∵，，成等差数列，

∴，

证明：∵，，成等差数列，

∴，即2ac=b（a+c），

由余弦定理和基本不等式可得，

，

∵a，b，c为△ABC三边，∴a+c>b，

∴，

∴cosB>0，

∴∠B<900，因此B不可能是钝角．

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等差数列的性质及应用反证法的应用

题型：简答题

分值: 12分

19．祖暅原理也就是“等积原理”，它是由我国南北朝杰出的数学家、祖冲之的儿子祖暅首先提出来的．祖暅原理的内容是：夹在两个平行平面间的两个几何体，被平行于这两个平行平面的平面所截，如果截得两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等．可以用诗句“两个胖子一般高，平行地面刀刀切，刀刀切出等面积，两人必然同样胖”形象表示其内涵．利用祖暅原理可以推导几何体的体积公式，关键是要构造一个参照体．

试用祖暅原理推导球的体积公式．

正确答案

我们先推导半球的体积．为了计算半径为R的半球的体积，我们先观察、、这三个量（等底等高）之间的不等关系，

可以发现<<，即，根据这一不等关系，我们可以猜测，并且由猜测可发现．

下面进一步验证了猜想的可靠性．关键是要构造一个参照体，这样的参照体我们可以用圆柱内挖去一个圆锥构造出，如右图所示．下面利用祖暅原理证明猜想．

证明：用平行于平面α的任意一个平面去截这两个几何体，

截面分别为圆面和圆环面．

如果截平面与平面α的距离为，

那么圆面半径，

圆环面的大圆半径为R，小圆半径为r．

因此，

，

∴ ．

根据祖暅原理，这两个几何体的体积相等，

即，

所以．

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函数的概念及其构成要素

题型：简答题

分值: 12分

20．已知是整数，是偶数，求证：也是偶数．

正确答案

（反证法）假设不是偶数，即是奇数．

设，则．

是偶数，

是奇数，这与已知是偶数矛盾．

由上述矛盾可知，一定是偶数．

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反证法的应用

题型：简答题

分值: 12分

21．已知，且，求证：．

正确答案

因为，且，

所以，，

要证明原不等式成立，只需证明r，

即证，从而只需证明，

即，

因为，

，

所以成立，

故原不等式成立．

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不等式的性质

题型：简答题

分值: 12分

22．求证：．

正确答案

同时

于是得

即

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不等式的证明

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