1.由…若a>b>0,m>0,则
与
之间大小关系为( )
正确答案
解析
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知识点
2.在实数的原有运算法则中,我们补充定义新运算“⊙”如下:
当 时,
⊙
=
;
当 时,
⊙
=
,
则函数 =
1⊙
2⊙
),
的最大值等于( )
正确答案
解析
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3.用反证法证明:“方程且
都是奇数,则方程没有整数根” 正确的假设是方程存在实数根
为( )
正确答案
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4.有一段演绎推理是这样的:“直线平行于平面,则平行于平面内所有直线;已知直线平面
,直线
平面
,直线
∥平面
,则直线
∥直线
”的结论显然是错误的,这是因为( )
正确答案
解析
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5.反证法证明命题:“三角形的内角中至少有一个不大于60度”时,反设正确的是( )
正确答案
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6.用反证法证明“如果,那么
”时,反证假设的内容应是( )
正确答案
解析
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8.正方形的边长为
,点
在边
上,点
在边
上,
。动点
从
出发沿直线向
运动,每当碰到正方形的边时反弹,反弹时反射角等于入射角,当点
第一次碰到
时,
与正方形的边碰撞的次数为( )
正确答案
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10.下面使用类比推理正确的是( )
正确答案
解析
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7.观察(x2)′=2x,(x4)′=4x3,(cosx)′=-sinx,由归纳推理可得:若定义在R上的函数f(x)满足f(-x)=f(x),记g(x)为f(x)的导函数,则g(-x)=( )
正确答案
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9.用反证法证明命题: “设大于0,则
、
、
中至少有一个不小于2.”时,假设的内容是( )
正确答案
解析
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11.设△ABC的三边长分别为a、b、c,△ABC的面积为S,内切圆半径为r,则;类比这个结论可知:四面体S-ABC的四个面的面积分别为S1、S2、S3、S4,内切球的半径为R,四面体P-ABC的体积为V,则R=( )
正确答案
解析
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12.由
①正方形的对角线相等;
②平行四边形的对角线相等;
③正方形是平行四边形,
根据“三段论”推理出一个结论,则这个结论是( )
正确答案
解析
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13.已知是定义在
上的不恒为零的函数,且对任意
满足下列关系式:
,
,
,
考察下列结论:
①;
②为偶函数;
③数列为等比数列;
④数列为等差数列,其中正确的结论是:____________。
正确答案
①③④
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14.已知经过计算和验证有下列正确的不等式:,
,
,
,
,根据以上不等式的规律,写出一个一般性的不等式__________.
正确答案
解析
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15.设等差数列{an}的前n项和为Sn,则S4,S8,S4,S12,S8,S16,S12成等差数列.类比以上结论有:设等比数列{bn}的前n项积为Tn,则T4,_____________,____________,成等比数列.
正确答案
,
.
解析
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16.平面几何中,△ABC的内角平分线CE分AB所成线段的比,把这个结论类比到空间:在三棱锥A-BCD中(如图所示),平面DEC平分二面角A-CD-B且与AB相交于E,则得到的类比的结论是____________.
正确答案
解析
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17.如图(1),在三角形中,
,若
,则
;若类比该命题,如图(2),三棱锥
中,
面
,若
点在三角形
所在平面内的射影为
,则有什么结论?命题是否是真命题.
正确答案
命题是:三棱锥中,
面
若点在三角形
所在平面内的射影为
有是一个真命题
证明如下:
在图(2)中,连结,并延长交
于
连结,则有
因为面
,,所以
又,所以
于是
解析
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18.已知△ABC的三边长为a、b、c,若成等差数列.求证:B不可能是钝角.
正确答案
(用反证法证明1)
∵,
,
成等差数列,
∴,
∴b2≤ac 即ac-b2≥0.
假设B是钝角,则cosB<0,
由余弦定理可得,
.
这与cosB<0矛盾,故假设不成立.
∴B不可能是钝角.
(用反证法证明2)
∵,
,
成等差数列,
∴,
假设B是钝角,则,
则B是△ABC的最大内角,所以b>a,b>c,
(在三角形中,大角对大边),
从而,这与
矛盾,
故假设不成立,因此B不可能是钝角.
(用综合法证明)
∵,
,
成等差数列,
∴,
证明:∵,
,
成等差数列,
∴,即2ac=b(a+c),
由余弦定理和基本不等式可得,
,
∵a,b,c为△ABC三边,∴a+c>b,
∴,
∴cosB>0,
∴∠B<900,因此B不可能是钝角.
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19.祖暅原理也就是“等积原理”,它是由我国南北朝杰出的数学家、祖冲之的儿子祖暅首先提出来的. 祖暅原理的内容是:夹在两个平行平面间的两个几何体,被平行于这两个平行平面的平面所截,如果截得两个截面的面积总相等,那么这两个几何体的体积相等. 可以用诗句“两个胖子一般高,平行地面刀刀切,刀刀切出等面积,两人必然同样胖”形象表示其内涵. 利用祖暅原理可以推导几何体的体积公式,关键是要构造一个参照体.
试用祖暅原理推导球的体积公式.
正确答案
我们先推导半球的体积. 为了计算半径为R的半球的体积,我们先观察、
、
这三个量(等底等高)之间的不等关系,
可以发现<
<
,即
,根据这一不等关系,我们可以猜测
,并且由猜测可发现
.
下面进一步验证了猜想的可靠性. 关键是要构造一个参照体,这样的参照体我们可以用圆柱内挖去一个圆锥构造出,如右图所示. 下面利用祖暅原理证明猜想.
证明:用平行于平面α的任意一个平面去截这两个几何体,
截面分别为圆面和圆环面.
如果截平面与平面α的距离为,
那么圆面半径,
圆环面的大圆半径为R,小圆半径为r.
因此,
,
∴ .
根据祖暅原理,这两个几何体的体积相等,
即,
所以.
解析
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20.已知是整数,
是偶数,求证:
也是偶数.
正确答案
(反证法)假设不是偶数,即
是奇数.
设,则
.
是偶数,
是奇数,这与已知
是偶数矛盾.
由上述矛盾可知,一定是偶数.
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21.已知,且
,求证:
.
正确答案
因为,且
,
所以,
,
要证明原不等式成立,只需证明r,
即证,从而只需证明
,
即,
因为,
,
所以成立,
故原不等式成立.
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22.求证:.
正确答案
同时
于是得
即
解析
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