数学泉州市2013年高三试卷

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单选题
填空题
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试卷目录

1、单选题

2、填空题

3、简答题

真题试卷
模拟试卷

单选题本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的4个选项中，有且只有一项是符合题目要求。

题型：单选题

分值: 5分

1．已知i为虚数单位，则复数在复平面内对应的点位于（）

A第一象限

B第二象限

C第三象限

D第四象限

正确答案

解析

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知识点

对数函数的定义

题型：单选题

分值: 5分

2．记等差数列的前n项和为，已知，则的值为（）

正确答案

解析

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知识点

导数的乘法与除法法则

题型：单选题

分值: 5分

4．设等差数列的前n项和为，若，则（　　）

A63

B45

C36

D27

正确答案

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知识点

指数函数的图像变换

题型：单选题

分值: 5分

6．已知和点满足，若存在实数m，使成立，则（）

正确答案

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知识点

指数函数单调性的应用

题型：单选题

分值: 5分

8．下列结论错误的是（　　）

A命题“若p，则q”与命题“若¬q，则¬p”互为逆否命题

B命题p：，命题q：，则p∨q为真

C若am2＜bm2，则a＜b”的逆命题为真命题

D若p∨q为假命题，则p.q均为假命题

正确答案

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知识点

简单复合函数的导数

题型：单选题

分值: 5分

9．已知双曲线的一个焦点与抛物线的焦点重合，且双曲线的实轴长是虚轴长的一半，则该双曲线的方程为（　　）

正确答案

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知识点

指数函数的单调性与特殊点

题型：单选题

分值: 5分

3．已知向量，，则向量的夹角为（　　）

正确答案

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知识点

函数的图象与图象变化

题型：单选题

分值: 5分

5．已知数列满足，，则的通项公式为（）

正确答案

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知识点

幂函数的概念、解析式、定义域、值域

题型：单选题

分值: 5分

7．在中，，D是AC的中点，若,则（）

正确答案

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知识点

指数函数的单调性与特殊点

题型：单选题

分值: 5分

10.设函数，则下列结论正确的是（　　）

Af（x）的图象关于直线对称

Bf（x）的图象关于点（，0）对称

C把f（x）的图象向左平移个单位，得到一个偶函数的图象

Df（x）的最小正周期为，且在[0，]上为增函数

正确答案

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知识点

指数函数的单调性与特殊点

题型：单选题

分值: 5分

11．某化工厂生产一种溶液，按市场要求，杂质含量不能超过0.1%，若最初生产出的溶液含杂质2%，需要进行过滤，且每过滤一次可使杂质含量减少，则要使产品达到市场要求至少应过滤（　　）

A3次

B4次

C5次

D6次

正确答案

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知识点

指数函数的单调性与特殊点

题型：单选题

分值: 5分

12．平面向量也叫二维向量，二维向量的坐标表示及其运算可以推广到n（n≥3）维向量，

n维向量可用（x1，x2，x3，x4，…，xn）表示．

设（a1，a2，a3，a4，…，an），（b1，b2，b3，b4，…，bn），

规定向量与夹角θ的余弦为cosθ=．

已知n维向量，，当（1，1，1，1，…，1），（﹣1，﹣1，1，1，1，…，1）时，cosθ等于（　　）

正确答案

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知识点

导数的乘法与除法法则

填空题本大题共4小题，每小题4分，共16分。把答案填写在题中横线上。

题型：填空题

分值: 4分

13．若角的终边经过点则的值为（）

正确答案

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知识点

指数函数的单调性与特殊点

题型：填空题

分值: 4分

15.已知函数是以1为周期的偶函数，且当x∈（0，1）时，f（x）=，则f（）的值为（）

正确答案

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知识点

导数的乘法与除法法则

题型：填空题

分值: 4分

16．在四边形ABCD中，==（3，4），，则四边形ABCD的面积是（）

正确答案

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知识点

指数函数的图像变换

题型：填空题

分值: 4分

14．已知函数（ω＞0）的部分图象如图所示，则函数的解析式为（）

正确答案

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知识点

指数函数单调性的应用

简答题（综合题）本大题共74分。简答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

题型：简答题

分值: 12分

17．已知函数

（Ⅰ）求的最小正周期；

（Ⅱ）若不等式在上恒成立，求实数的取值范围。

正确答案

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知识点

导数的加法与减法法则

题型：简答题

分值: 12分

18．已知△ABC的角A、B、C所对的边分别是a、b、c，

设向量．

（1）若，求证：△ABC为等腰三角形；

（2）若，=2，向量和的夹角为，求△ABC的面积。

正确答案

证明：（1）∵m∥n

∴asinA=bsinB

即a•=b•．其中R为△ABC外接圆半径．

∴a=b ∴△ABC为等腰三角形．

（2）由题意，m•p=0

∴a（b﹣2）+b（a﹣2）=0

∴a+b=ab

由余弦定理4=a2+b2﹣2ab•cos

∴4=a2+b2﹣ab=（a+b）2﹣3ab

∴ab2﹣3ab﹣4=0

∴ab=4或ab=﹣1（舍去）

∴S△ABC=absinC

=×4×sin=

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知识点

平行向量与共线向量

题型：简答题

分值: 12分

19．设数列的前n项和为，点均在函数的图象上。

（1）求数列的通项公式；

（2）若为正项等比数列，且，，求的通项公式和前n项和；

（3）求的前n项和。

正确答案

解：（1）依题意得，，

即．

当n≥2时，；

当n=1时，a1=S1=2

所以

（2）得到，又，，，

（3），记，（1），（2）

（1）—（2），得==，，=

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知识点

指数函数的单调性与特殊点

题型：简答题

分值: 12分

20．某书商为提高某套丛书的销量，准备举办一场展销会。据市场调查，当每套丛书售价定为x元时，销售量可达到万套。现出版社为配合该书商的活动，决定进行价格改革，将每套丛书的供货价格分成固定价格和浮动价格两部分，其中固定价格为30元，浮动价格（单位：元）与销售量（单位：万套）成反比，比例系数为l0．

假设不计其它成本，即销售每套丛书的利润=售价一供货价格。问：

（I）每套丛书定价为100元时，书商能获得的总利润是多少万元？

（Ⅱ）每套丛书定价为多少元时，单套丛书的利润最大？

正确答案

解：（Ⅰ）每套丛书定价为100元时，销售量为15﹣0.1×100=5万套，

此时每套供货价格为元，

∴书商所获得的总利润为5×（100﹣32）=340万元．

（Ⅱ）每套丛书售价定为x元时，由得，0＜x＜150，

依题意，单套丛书利润

∴，

∵0＜x＜150，∴150﹣x＞0，

由　，

当且仅当，即x=140时等号成立，此时Pmax=﹣20+120=100．

答：（Ⅰ）当每套丛书售价定为100元时，书商能获得总利润为340万元；（Ⅱ）每套丛书售价定为140元时，单套利润取得最大值100元。

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知识点

对数函数的定义

题型：简答题

分值: 14分

22．函数在点（1，f（1））的切线为方程为．

（1）求a，b的值；

（2）定义：对于连续函数和，函数在闭区间[a，b]上的最大值称为与在闭区间[a，b]上的“绝对差”，记为（，）．若，且（，），求的值。

正确答案

解：（1）求导函数f′（x）=3ax2+b，∵函数f（x）=ax3+bx在点（1，f（1））的切线为方程为3x﹣3y﹣2=0．

∴3a+b=1，a+b=

∴a=，b=0；

（2）令F（x）=f（x）﹣g（x）=x3﹣﹣2x+m

∴F'（x）=x2﹣x﹣2=（x+1）（x﹣2）

∴当，取到极大值，当，取到极小值，，，，，又，

∴当，取到最大值；，

∴当，取到最小值，由，由，

∵当，，，符合；

当，，，符合；

当，，，不合；

当，，，不合，综上，

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知识点

幂函数的图像

题型：简答题

分值: 12分

21.在平面直角坐标系xOy中，已知点A（一1，1），P是动点，且三角形POA的三边所在直线的斜率满足．

（I）求点P的轨迹C的方程；

（Ⅱ）若是轨迹C上异于点P的一个点，且，直线与交于点M，试探究：点M的横坐标是否为定值？并说明理由。

正确答案

解：（Ⅰ）设点P（x，y）为所求轨迹上的任意一点，

则由kOP+kOA=kPA，

得，

整理得轨迹C的方程为y=x2（x≠0且x≠﹣1），

（Ⅱ）（方法一）设，

由可知直线PQ∥OA，则kPQ=kOA，

故，即x2+x1=﹣1，

由O、M、P三点共线可知，与共线，

∴，

由（Ⅰ）知x1≠0，故y0=x0x1，

同理，由与共线，

∴，

即（x2+1）[（x0+1）（x2﹣1）﹣（y0﹣1）]=0，

由（Ⅰ）知x2≠﹣1，故（x0+1）（x2﹣1）﹣（y0﹣1）=0，

将y0=x0x1，x2=﹣1﹣x1代入上式得（x0+1）（﹣2﹣x1）﹣（x0x1﹣1）=0，

整理得﹣2x0（x1+1）=x1+1，

由x1≠﹣1得，即点M的横坐标为定值．

（方法二）

设，

由可知直线PQ∥OA，则kPQ=kOA，

故，即x2=﹣x1﹣1，

∴直线OP方程为：y=x1x①；

直线QA的斜率为：，

∴直线QA方程为：y﹣1=（﹣x1﹣2）（x+1），

即y=﹣（x1+2）x﹣x1﹣1②；

联立①②，得，

∴点M的横坐标为定值．

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知识点

函数的值域

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