数学 热门试卷

15．（本小题满分14分）

如图，在三棱锥A-BCD中，AB⊥AD，BC⊥BD，平面ABD⊥平面BCD，点E，F(E与A，D不重合)分别在棱AD，BD上，且EF⊥AD．

求证：（1）EF∥平面ABC；

（2）AD⊥AC．

16．（本小题满分14分）

已知向量

（1）若a∥b，求x的值；

（2）记，求的最大值和最小值以及对应的的值．

17．（本小题满分14分）

如图，在平面直角坐标系中，椭圆的左、右焦点分别为，，离心率为，两准线之间的距离为8．点在椭圆上，且位于第一象限，过点作直线的垂线，过点作直线的垂线．

（1）求椭圆的标准方程；

（2）若直线，的交点在椭圆上，求点的坐标．

18．（本小题满分16分）

如图，水平放置的正四棱柱形玻璃容器Ⅰ和正四棱台形玻璃容器Ⅱ的高均为32cm，容器Ⅰ的底面对角线AC的长为10cm，容器Ⅱ的两底面对角线，的长分别为14cm和62cm．分别在容器Ⅰ和容器Ⅱ中注入水，水深均为12cm．现有一根玻璃棒l，其长度为40cm．（容器厚度、玻璃棒粗细均忽略不计）

（1）将放在容器Ⅰ中，的一端置于点A处，另一端置于侧棱上，求没入水中部分的长度；

（2）将放在容器Ⅱ中，的一端置于点E处，另一端置于侧棱上，求没入水中部分的长度．

20．（本小题满分16分）

已知函数有极值，且导函数的极值点是的零点．（极值点是指函数取极值时对应的自变量的值）

（1）求关于的函数关系式，并写出定义域；

（2）证明：；

（3）若，这两个函数的所有极值之和不小于，求的取值范围．

19．（本小题满分16分）

对于给定的正整数，若数列满足：对任意正整数总成立，则称数列是“数列”．

（1）证明：等差数列是“数列”；

（2）若数列既是“数列”，又是“数列”，证明：是等差数列．

21.附加题【选做题】本题包括、、、四小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内作答，若多做，则按作答的前两小题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

B．[选修4-2：矩阵与变换](本小题满分10分)

已知矩阵

（1）求；

（2）若曲线在矩阵对应的变换作用下得到另一曲线，求的方程．

21. 附加题【选做题】本题包括、、、四小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内作答，若多做，则按作答的前两小题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

D．［选修4-5：不等式选讲］（本小题满分10分）

已知为实数，且证明：

23. 【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．（本小题满分10分）

已知一个口袋中有个白球，个黑球()，这些球除颜色外全部相同．现将口袋中的球随机地逐个取出，并放入如图所示的编号为的抽屉内，其中第次取出的球放入编号为的抽屉．

（1）试求编号为2的抽屉内放的是黑球的概率；

（2）随机变量表示最后一个取出的黑球所在抽屉编号的倒数，是的数学期望，证明：．

21．附加题【选做题】本题包括、、、四小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内作答，若多做，则按作答的前两小题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．A．[选修4-1：几何证明选讲](本小题满分10分)

如图，AB为半圆O的直径，直线PC切半圆O于点C，AP⊥PC，P为垂足．

求证：（1）；

（2）．

21. 附加题【选做题】本题包括、、、四小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内作答，若多做，则按作答的前两小题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．C．[选修4-4：坐标系与参数方程]（本小题满分10分）

在平面直角坐标系中，已知直线的参考方程为(为参数)，曲线的参数方程为

(为参数)．设为曲线上的动点，求点到直线的距离的最小值．