数学 热门试卷

15．（本小题满分14分）

在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．

（1）若a=3c，b=，cosB=，求c的值；

（2）若，求的值．

17.如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆C:的焦点为F1（–1、0），

F2（1，0）．过F2作x轴的垂线l，在x轴的上方，l与圆F2:交于点A，与椭圆C交于点D.连结AF1并延长交圆F2于点B，连结BF2交椭圆C于点E，连结DF1．

已知DF1=

（1）求椭圆C的标准方程；

（2）求点E的坐标．

19．（本小题满分16分）

设函数、为f（x）的导函数．

（1）若a=b=c，f（4）=8，求a的值；

（2）若a≠b，b=c，且f（x）和的零点均在集合中，求f（x）的极小值；

（3）若，且f（x）的极大值为M，求证:M≤．

16．（本小题满分14分）

如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，D，E分别为BC，AC的中点，AB=BC．

求证：（1）A1B1∥平面DEC1；

（2）BE⊥C1E．

18．（本小题满分16分）

如图，一个湖的边界是圆心为O的圆，湖的一侧有一条直线型公路l，湖上有桥AB（AB是圆O的直径）．规划在公路l上选两个点P、Q，并修建两段直线型道路PB、QA．规划要求:线段PB、QA上的所有点到点O的距离均不小于圆O的半径．已知点A、B到直线l的距离分别为AC和BD（C、D为垂足），测得AB=10，AC=6，BD=12（单位:百米）．

（1）若道路PB与桥AB垂直，求道路PB的长；

（2）在规划要求下，P和Q中能否有一个点选在D处？并说明理由；

（3）对规划要求下，若道路PB和QA的长度均为d（单位：百米）.求当d最小时，P、Q两点间的距离．

20．（本小满分16分）

定义首项为1且公比为正数的等比数列为“M－数列”.

（1）已知等比数列{an}满足：，求证:数列{an}为“M－数列”；

（2）已知数列{bn}满足:，其中Sn为数列{bn}的前n项和．

①求数列{bn}的通项公式；

②设m为正整数，若存在“M－数列”{cn}，对任意正整数k，当k≤m时，都有成立，求m的最大值．

21．【选做题】本题包括A、B、C三小题，请选定其中两小题，并在相应的答题区域内作答．若多做，则按作答的前两小题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

`A.[选修4-2：矩阵与变换]（本小题满分10分）

已知矩阵

（1）求A2；

（2）求矩阵A的特征值.

`B.[选修4-4：坐标系与参数方程]（本小题满分10分）

在极坐标系中，已知两点，直线l的方程为.

（1）求A，B两点间的距离；（2）求点B到直线l的距离.

`C.[选修4-5：不等式选讲]（本小题满分10分）

设，解不等式.

22.（本小题满分10分）设.已知.

（1）求n的值；（2）设，其中，求的值.