数学 热门试卷

（1）∵ 依题意可知直线OA的斜率存在且不为0

∴ 设直线OA的方程为（）

∴ 联立方程  

解得   

以代上式中的，

解方程组

解得   

∴ A（，），B（，）。

（2）设AB中点M（x，y），

则由中点坐标公式，

得

消去参数k，

得  

即为M点轨迹的普通方程。

（1）依题意知，

动点到定点的距离等于到直线的距离，

曲线是以原点为顶点，为焦点的抛物线

∵       ∴ 

∴  曲线方程是

（2）设圆的圆心为，

∵ 圆过，

∴ 圆的方程为　

令得：

设圆与轴的两交点分别为，

方法1：不妨设，由求根公式得

，

∴

又∵点在抛物线上，∴，

∴ ，即＝4

∴当运动时，弦长为定值4

方法2：∵，

∴

又∵点在抛物线上，

∴ ， ∴   

∴当运动时，弦长为定值4

（1）圆与轴交点坐标为，，

故，所以，∴椭圆方程是：．

（2）设点P（x，y），因为（－，0），（，0），

设点P（x，y），则＝tanβ＝，＝tanα＝，

因为β－α＝，所以tan（β－α）＝－．

因为tan（β－α）＝，

所以．化简得x2＋y2－2y＝3．

所以点P在定圆x2＋y2-2y＝3上．

（1）设点A的坐标为（，y0），

则直线OA的方程为

 （y0≠0）   ①   

抛物线的准线方程是x＝－     ②

联立①②，

可得点D的纵坐标为y＝－ ③

因为点F的坐标是（，0），

所以直线AF的方程为

y＝（x－）    ④

其中y≠p2．

联立y2＝2px与④，

可得点B的纵坐标为

y＝－  ⑤

由③⑤可知，DB∥x轴．

当y＝p2时，结论显然成立．所以，直线DB平行于抛物线的对称轴．

（2）逆命题：如果DB与x轴平行，

则A、O、D三点共线它是真命题，证明如下

因为抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点为F（，0），

所以经过点F的直线AB的方程可设为x＝my＋．

代入抛物线方程，得y2－2pmy－p2＝0．

若记A（x1，y1），B（x2，y2），

则y1，y2是该方程的两个根，所以y1y2＝－p2．

因为DB∥x轴，且点D在准线x＝－上，

所以点D的坐标为（－，y2），

故直线DO的斜率为k＝，

即k也是直线OA的斜率，

所以直线AD经过原点O，

即A、O、D三点共线．

（1）因为边所在直线的方程为，且与垂直，

所以直线的斜率为．

又因为点在直线上，

所以边所在直线的方程为．即．

（2）由解得点的坐标为，

因为矩形两条对角线的交点为．

所以为矩形外接圆的圆心．

又．

从而矩形外接圆的方程为．

（3）因为动圆过点，所以是该圆的半径，又因为动圆与圆外切，

所以，

即．

故点的轨迹是以为焦点，实轴长为的双曲线的左支．

因为实半轴长，半焦距．所以虚半轴长．

从而动圆的圆心的轨迹方程为．