数学南通市2017年高三第二次模拟考试

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填空题
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试卷目录

1、填空题

2、简答题

真题试卷
模拟试卷

填空题本大题共14小题，每小题5分，共70分。把答案填写在题中横线上。

题型：填空题

分值: 5分

3. 命题“，”的否定是．

正确答案

解析

根据命题的否定定义知：

考查方向

本题主要考查一个命题的否定的定义，由命题的定义解决。

解题思路

由命题的否定的定义，要否定命题的结论，同时改变量词知：

易错点

熟练掌握命题及其相关关系。

题型：填空题

分值: 5分

4. 设幂函数的图象经过点，则= ．

正确答案

解析

根据题意，函数是幂函数，所以，又函数的图像过点，所以，故=．

考查方向

本题主要考查幂函数的定义及其性质.

解题思路

由幂函数的定义的，然后将点带入函数解析式得，，再求.

易错点

熟练掌握幂函数的定义.

题型：填空题

分值: 5分

5. 计算．

正确答案

－20

解析

解：原式=

考查方向

本题主要考查对数的运算法则，属基础题。

解题思路

利用对数的运算性质和分数指数幂的运算法则，计算得出答案。

易错点

无

题型：填空题

分值: 5分

7. 已知定义在R上的奇函数满足，且时，则的值为．

正确答案

解析

由题意知：，又，所以

考查方向

本题主要考查函数的周期以及函数的奇偶性，属中档题。

解题思路

通过函数满足可得函数的周期为T=4，由周期的性质知，，再由函数的奇偶性可得，，最后结合解析式求解。

易错点

熟练掌握函数的基本性质。

题型：填空题

分值: 5分

8. 已知为定义在上的偶函数，当时，，则不等式的解集是．

正确答案

解析

解：设则，所以，故, 设，则，即当得，故；当

得，故；综上

考查方向

本题主要利用函数的性质解决不等式，属中档题。

解题思路

根据题意可得函数在上的解析式，然后利用换元法可得的取值范围，又，故可得不等式的解集。

易错点

对于不等式的解集，可以运用换元的方法解决。

题型：填空题

分值: 5分

1. 已知集合，，则A∪B＝．

正确答案

[－1，3]；

解析

根据题意，作出数轴可得A∪B＝

考查方向

本题主要考查并集的求法，注意结合数轴进行分析求解，属基础题.

解题思路

在数轴上先将集合A和集合B表示出来，然后并集的概念得出答案.

易错点

注意端点的取舍，本题极易得出错误答案

题型：填空题

分值: 5分

2. 函数的定义域是．

正确答案

解析

根据题意，要使函数由意义，则，即函数定义域为

考查方向

本题主要考查函数的定义域，简单不等式组得解法，属基础题。

解题思路

根据函数成立的条件，列出满足题意得不等式，即可得出结论。

易错点

确定函数定义域，往往要考虑分母不为0，偶次被开方数非负，对数的真数大于0等情况.

题型：填空题

分值: 5分

6. 函数在点处切线的斜率为．

正确答案

解析

解：.当时，，故在点处的切线的斜率为

考查方向

本题主要考查利用导数研究曲线上某点的切线斜率。

解题思路

先求出导函数，再求在的导数值，根据导数的几何意义，可求切线的斜率。

易错点

熟练掌握导数的几何意义。

题型：填空题

分值: 5分

9. 对于函数,“的图象关于y轴对称”是“”

的条件．（填“充分不必要”， “必要不充分”，“充要”，“既不充分也不必要”）

正确答案

必要不充分

解析

由于的图象关于y轴对称，是偶函数也满足条件，故充分性不成；如果奇函数，其图像关于原点对称，故的图象关于y轴对称，必要性成立。

考查方向

本题主要考查奇函数和偶函数的图象以及充分必要条件。

解题思路

根据函数的奇偶性的图像特点以及充分条件和必要条件的定义即可得出答案。

易错点

无

题型：填空题

分值: 5分

14.已知函数.表示中的最小值，若函数

恰有三个零点，则实数的取值范围是．

正确答案

解析

解：因为，所以，若，则恒成立，函数至多有一个零点，此时不可能有3个零点，故.令，则.因为，所以有3个零点，则，解得.

考查方向

本题主要考查函数单调性、函数零点的应用，考查运算求解能力、化归与转化思想．属于中档题．

解题思路

由已知可得，进而可得有3个零点，则，解得.

易错点

函数的零点、函数的单调性

题型：填空题

分值: 5分

11. 已知函数在处取得极小值10，则的值为．

正确答案

解析

解：因为函数，所以，又函数在处取得极小值10，所以可得，解得或.

当时，.故当时，，当时，，所以在处取得极小值，符合题意；

当时，.故当时，，当时，，所以在处取得极大值，不符合题意；综上可得，所以

考查方向

本题主要考察导数与极值问题，属中档题.

解题思路

因为，根据题意可知，解出的值，经检验符合题意，故可得.

易错点

考生容易对是否满足题意忘记检验.

题型：填空题

分值: 5分

12.定义在上的可导函数，已知的图象如图所示，则的增区间是．

正确答案

解析

解：根据题意如图的区间是,故函数的增区间,

考查方向

本题主要考查函数的性质，尤其是指数型的函数性质，属难题.

解题思路

根据题意知,欲求函数的增区间,由图象确定出函数导数为非负的区间就可以了,因为是一个指数型的函数,当指数大于0时函数值大于1,故由图象找出函数图象在直线上面的那一部分的自变量的集合即为所求.

易错点

对所给图像能够正确提炼出相关性质.

题型：填空题

分值: 5分

10. 已知，若，，则= ．

正确答案

解析

解：令，则.所以，得或。又因为，所以，故，即，又，可解得，

考查方向

本题主要考查对数的运算.

解题思路

利用换底公式，由方程求出的值，然后依据可解得，，故.

易错点

对于方程得的两个值，要根据的条件来确定取舍.

题型：填空题

分值: 5分

13.若实数满足，则的最小值为．

正确答案

解析

解：因为实数满足，所以，设实数则有；由，设实数，则有所以就是曲线与直线之间的最小距离的平方值。对曲线求导：，与直线平行的切线斜率，得（舍），或。当时，，即切点坐标为.切点到直线的距离即

考查方向

本题主要考查了函数的导数以及运用点到直线的距离公式，属难题。

解题思路

由题设条件：，设实数则有；由，设实数，则有，所以就是曲线与直线之间的最小距离的平方值,由此可以求最小值。

易错点

如何将实数满足的条件，转化为曲线与直线之间的最小距离的平方值.

简答题（综合题）本大题共90分。简答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

题型：简答题

分值: 14分

设集合，.

15.若，求;

16.若，求实数m的取值范围．

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

解析

解：集合A=，因为，所以

当时，，所以

考查方向

本题主要考查了解指数不等式、一元二次不等式及集合的运算，属基础题。

解题思路

先根据指数不等式和二次不等式的求解方法，求出集合A、B的范围，再利用集合间的交集运算求得答案。

易错点

指数不等式和一元二次不等式的求解

第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

解析

(2) ，,要使[.]

只要，所以

综上，知m的取值范围是：

考查方向

本题主要考查了子集的概念，属基础题.

解题思路

先根据，求出集合B，然后由，列出不等式可求得答案.

易错点

对于的范围容易丢掉

题型：简答题

分值: 16分

在互联网时代，网校培训已经成为青年学习的一种趋势，假设某网校的套题每日的销售量（单位：千套）与销售价格（单位：元/套）满足的关系式（，为常数），其中与成反比，与的平方成正比，已知销售价格为5元/套时，每日可售出套题21千套，销售价格为3.5元/套时，每日可售出套题69千套.

21.求的表达式；

22.假设网校的员工工资，办公等所有开销折合为每套题3元（只考虑销售出的套数），试确定销售价格的值，使网校每日销售套题所获得的利润最大．（保留1位小数）

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

解析

(1) 因为与成反比，与的平方成正比，

所以可设：，，

则

因为销售价格为5元/套时，每日可售出套题21千套，销售价格为2.5元/套时，每日可售出套题69千套

所以，，即，解得：， 6分

所以，

考查方向

本题主要考查了函数的解析式求解.

解题思路

求的表达式，实质确定正反比例的系数，利用对应关系列式:，,则求出.

易错点

待定系数法

第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

解析

由（1）可知，套题每日的销售量，

设每日销售套题所获得的利润为

则

从而

时，，所以函数在上单调递增

时，，所以函数在上单调递减

所以时，函数取得最大值

考查方向

本题主要考查了利用导数求函数的最值，属中档题.

解题思路

根据利润与销售额、成本的关系可列出函数关系式，是一个三次函数.利用导数求出函数的最值：先求导数，再确定导函数在定义域上的零点，分析函数的单调性变化规律，可得函数的最值.

易错点

利用导数求解函数的最值.

题型：简答题

分值: 16分

给出定义在上的两个函数,.

26.若在处取最值．求的值；

27.若函数在区间上单调递减，求实数的取值范围；

28.试确定函数的零点个数，并说明理由．

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

解析

解：(1) 由已知，即: ,

解得：经检验满足题意，所以

考查方向

本题主要考查函数的极值与最值.

解题思路

开区间的最值在极值点取得，因此在处取的极值，即，解得

易错点

无

第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

解析

解：(2)

要使得在区间上单调递减，

则，即在区间上恒成立

因为，所以设函数，则

因为，所以，所以所以，所以

考查方向

本题主要考查医用函数研究函数的单调性.

解题思路

函数在区间上单调递减，转化为在区间上恒成立，再利用变量分离转化为对应函数最值：的最大值，根据分式函数求最值得方法的最大值为2

易错点

无

第(3)小题正确答案及相关解析

正确答案

两个零点

解析

函数有两个零点．因为

所以

当时，，当时，

所以，

，

故由零点存在定理可知：

函数在存在一个零点，函数在存在一个零点，所以函数有两个零点．

考查方向

本题主要考查利用导数研究函数零点，属拔高题.

解题思路

先利用导数研究函数的单调性，当时，，当时，，再考虑区间端点函数值的符号，结合零点存在性定理可得零点个数.

易错点

对于函数零点的个数问题，可以利用函数的值域或最值，结合函数的单调性确定参数的范围.

题型：简答题

分值: 14分

已知函数

17.当时，试判断函数的奇偶性，并证明你的结论；

18.若不等式在上恒成立，求实数的取值范围．

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

偶函数

解析

函数为偶函数

证明：函数的定义域为, 时，，

所以函数为偶函数；

考查方向

本题主要考查函数的奇偶性，属基础题.

解题思路

根据函数奇偶性的定义，即可证明函数为偶函数

易错点

无

第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

解析

(2) 由于得，即，

令，

原不等式等价于在上恒成立，

亦即在上恒成立

令，

当时，，所以

考查方向

本题主要考查了函数恒成立问题.

解题思路

令，得到关于t的不等式，变形为二次函数在区间上恒成立问题。

易错点

二次函数在给定区间上恒成立

题型：简答题

分值: 14分

已知函数．

19.求函数的单调递减区间；

20.当时，的最小值是，求实数的值．

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

详见解析

解析

当时，在上恒成立，则的单调递减区间为，

当时，令得：，则的单调递减区间为．

考查方向

本题主要考查利用导数求解函数函数的单调区间.

解题思路

求出函数的导数，通过讨论的范围，求出函数的单调区间即可.

易错点

对参数的分类讨论.

第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

解析

①时，在上单调递减，，无解

②时，在上单调递增，，

解得：，适合题意；

③时，在上单调递减，上单调递增，，解得：，舍去；

综上：．

考查方向

本题主要考查了利用导数求函数的最值问题，属中档题.

解题思路

通过讨论的范围，求出函数的单调区间，从而求出函数的最小值即可

易错点

对参数的分类讨论.

题型：简答题

分值: 16分

已知函数．

23. 当时，求满足的的取值；

24.若函数是定义在R上的奇函数

①存在，不等式有解，求的取值范围；

25.若函数满足，若对任意,不等式

恒成立，求实数m的最大值.

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

解析

(1) 由题意，，化简得

解得，所以

考查方向

本题主要考查了指数方程得求解.

解题思路

根据题意知：，进而解方程可得.

易错点

对于要舍弃.

第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

解析

(2) 因为是奇函数，所以，所以

化简并变形得：

要使上式对任意的成立，则

解得：，因为的定义域是，所以舍去

所以，所以

①

对任意有：

因为，所以，所以，因此在R上递减．

因为，所以，即在时有解

所以，解得：，所以的取值范围为

考查方向

本题主要考查了函数的单调性证明，以及参数的取值范围.属中档题.

解题思路

根据题意，先证明函数在R上的单调性，然后依据单调性将“”脱掉，进而根据二次不等式在给定区间上由解，求得的取值范围为.

易错点

函数单调性证明.

第(3)小题正确答案及相关解析

正确答案

解析

②因为，所以

即,所以

不等式恒成立，即，

即：恒成立

令，则在时恒成立

令，，时，，所以在上单调递减

时，，所以在上单调递增

所以，所以所以，实数m的最大值为6

考查方向

本题主要考查了函数的单调性和恒成立问题，属难题.

解题思路

根据题意，先求出函数的表达式，然后采用分离参数法得，进而将问题转化为在时恒成立问题.

易错点

利用分离参数法、导数法求解.

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解析

考查方向

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易错点

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易错点

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易错点

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易错点

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考查方向

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易错点

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易错点

正确答案

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考查方向

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易错点

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考查方向

解题思路

易错点

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解析

考查方向

解题思路

易错点

正确答案

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考查方向

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易错点

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易错点

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易错点

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易错点

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