1. 已知集合,
,则
▲ .
正确答案
解析
∵集合,
,∴
,故答案为:
.
考查方向
解题思路
利用集合的交集运算即可.
易错点
本题的关键是利用交集的定义进行求解,解题时要细心计算.
3. 根据如图所示的伪代码,可知输出的结果是 ▲ .
正确答案
17
解析
第一次循环,,
;第二次循环,
,
;第三次循环,
,
,退出循环,输出S=17,故答案为:17.
考查方向
解题思路
第一次循环,,
;第二次循环,
,
;第三次循环,
,
,退出循环,故可得答案.
易错点
熟练理解代码内容及循环程序,根据程序解题时本题的关键.
8. 函数的定义域是 ▲ .
正确答案
解析
对于有
解得:
,故答案为:
.
考查方向
解题思路
对于函数,由根式有意义可得
及对数定义域可得
,即可求得x的范围,即函数的定义域.
易错点
熟练掌握根式有意义,对数定义域求法是本题的关键,解题时注意细心计算.
10.在平面直角坐标系中,已知圆
:
,圆
:
.若圆心在
轴上的圆
同时平分圆
和圆
的圆周,则圆
的方程是 ▲ .
正确答案
解析
由题意,圆C与圆C1和圆C2的公共弦分别为圆C1和圆C2的直径,设,则
,解得:
,∴圆的方程是:
,故答案为:
.
考查方向
解题思路
由题意,圆C与圆C1和圆C2的公共弦分别为圆C1和圆C2的直径,求出圆心坐标即可.
易错点
熟练掌握圆与圆的位置关系,圆的标准方程是解答本题的关键.
2. 已知复数,其中
为虚数单位,则复数
的模是 ▲ .
正确答案
解析
∵,∴
,故答案为:
.
考查方向
解题思路
利用复数代数形式的乘除运算化简,再由复数模的公式求解即可.
易错点
熟练掌握复数代数式的乘除运算,模的求解方法是本题的关键.
4. 现有1 000根某品种的棉花纤维,从中随机抽取50根,纤维长度(单位:mm)的数据分组及各组的频数见右上表,据此估计这1 000根中纤维长度不小于37.5 mm的根数是 ▲ .
正确答案
180
解析
由频率分布表知:纤维长度不小于37.5mm的频率为:,∴估计这1000根中纤维长度不小于37.5mm的根数是
,故答案为:180.
考查方向
解题思路
由频率分布表先求出纤维长度不小于37.5mm的频率,由此能估计这1000根中纤维长度不小于37.5mm的根数.
易错点
本题的关键是根据频率分布表及公式:进行求解.
5. 100张卡片上分别写有1,2,3,…,100.从中任取1张,则这张卡片上的数是6的倍数的概率是 ▲ .
正确答案
(或0.16)
解析
100张卡片上分别写有1,2,3,…,100.从中任取1张共有100种取法,其中所得卡片上的数字为6的倍数有6,12,18,24,30,36,42,48,54,60,66,72,78,84,90,96,共16个,故概率为:.
考查方向
解题思路
100张卡片上分别写有1,2,3,…,100.从中任取1张共有100种取法,其中所得卡片上的数字为6的倍数共有16个,再利用古典概型的概率计算公式即可求得答案.
易错点
本题的关键是通过列举,找出事件的基本数再利用古典概型概率公式进行求解.
6. 在平面直角坐标系中,已知抛物线
上一点
到焦点的距离为3,则点
的横坐标是 ▲ .
正确答案
2
解析
∵抛物线,∴
,由抛物线的定义可知,抛物线上任一点到焦点的距离与到准线的距离是相等的,∴
,∴x=2,故答案为2.
考查方向
解题思路
由抛物线定义可知,抛物线上任一点到焦点的距离与到准线的距离是相等的,已知,则P到准线的距离也是3,即
,将p的值代入,进而求出x的值.
易错点
熟练掌握抛物线的定义并应用解题是本题的关键.
7. 现有一个底面半径为3 cm,母线长为5 cm的圆锥状实心铁器,将其高温融化后铸成一个实心铁球(不计损耗),则该铁球的半径是 ▲ cm.
正确答案
解析
设该铁球的半径为r,∵底面半径为3cm,母线长为5cm的圆锥实心铁器,∴椎体的母线、半径、高构成直角三角形,∴,椎体体积
,圆球体积=椎体体积,即
,解得
,故答案为:
.
考查方向
解题思路
该铁球的半径为r,先求出椎体体积,再由圆球体积=椎体体积,由此能求出答案.
易错点
本题的关键是利用等体积法和椎体与圆球的体积公式进行求解.
9. 已知是公差不为0的等差数列,
是其前n项和.若
,
,则
的值是 ▲ .
正确答案
解析
设等差数列的公差为d(d≠0),∵
,
,
∴,解得:
,故答案为:
.
考查方向
解题思路
设等差数列的公差为d(d≠0),由等差数列的通项公式、前n项和公式列出方程,求出a1即可.
易错点
本题的关键是利用等差数列的通项公式,前n项和公式及方程思想进行求解.
11.如图,在平面四边形中,
为
的中点,且
,
.若·
7,则·的值是 ▲ .
正确答案
9
解析
在平行四边形ABCD中,O为BD的中点,且OA=3,OC=5,∴;若
,
则
,∴
,∴
,
∴
考查方向
解题思路
根据平面向量的线性表示与数量积运算,利用求出
,再利用
即可求得运算结果.
易错点
本题的关键是利用平面向量线性表示方法结合数量积进行求解.
12.在△中,已知
,
,则
的最大值是 ▲ .
正确答案
解析
∵,
,∴由余弦定理可得:
,∴
,∴
,由于△≥0,可得
,∵
,故C为锐角,又tanC在
上单调递增,∴当
时,tanC取得最大值,∴
,故答案为:
.
考查方向
解题思路
由已知及余弦定理可得,由于△≥0,可得
,由于C为锐角,根据正切函数的单调性可求当
时,tanC取得最大值,利用同角三角函数基本关系式可求得tanC的最大值.
易错点
本题的关键是利用余弦定理,正切函数的单调性及同角三角函数的关系进行求解.
14.已知对任意的,
恒成立,则当
取得最小值时,
的值是 .
正确答案
解析
∵对任意的,
恒成立,
即,设
则
令,则
或
,设
当时,
,
,∴
,
故①
当时,
,故
,
即,
当时,须有
即
,
即,
即,∴
,故
此时,满足条件.
当时,与①联立可得:
,t取值不是最小,不符题意,舍去
故当时,
取值最小为-2.
考查方向
解题思路
利用三角函数辅助角公式将转化为:
,再令
,利用导数求解函数的单调性及最值,分类讨论进行求解即可,注意取值范围的合理应用.
易错点
正确应用三角函数辅助角公式,导数求解函数单调性及最值,分类讨论思想对本题进行求解是关键.
13.已知函数其中
.若函数
有3个不同的零点,则m的取值范围是 ▲ .
正确答案
解析
由题意,当,则
,
当;
当
∵函数有3个不同的零点,∴
,∴
,又
,∴
.
考查方向
解题思路
分类讨论x的不同取值,从而得出的解析式,得出m-1<0即可求得m的范围.
易错点
本题的关键求出函数的解析式,再利用数形结合的思想进行求解.
(本小题满分14分) 已知,
.
15.的值;
16.的值.
正确答案
解析
由得,
,即
.①
又.②,由①②解得
或
,因为
,所以
.
考查方向
解题思路
由利用正弦函数两角和公式展开可得
再结合
进行求解即可.
易错点
本题的关键是利用三角函数两角和公式及同角三角函数的基本关系,解题时注意α的范围.
正确答案
解析
因为,
,所以
.
所以,
.
所以.
考查方向
解题思路
由(1)可得,进而求得
,再利用二倍角公式及正弦函数两角差公式进行求解即可.
易错点
本题的解题关键是利用二倍角公式及正弦函数两角差公式进行求解,解题时注意细心计算.
)如图,在直三棱柱中,
,A1B与AB1交于点D,A1C与AC1交于点E.
17.求证DE∥平面B1BCC1;
18.求证平面平面
.
正确答案
详见解析
解析
在直三棱柱中,四边形A1ACC1为平行四边形,又E为A1C与AC1的交点,所以E为A1C的中点,同理,D为A1B的中点,所以DE∥BC.
又平面B1BCC1,
平面B1BCC1,所以DE∥平面B1BCC1.
考查方向
解题思路
利用三角形中位线性质证明DE∥BC,即可证明DE∥平面B1BCC1.
易错点
本题的关键是构造出三角形中位线再利用线面平行的判定定理进行证明.
正确答案
详见解析
解析
在直三棱柱中,
平面ABC,又
平面ABC,所以
.
又,
,
平面
,所以
平面
.
因为平面
所以平面
平面
.
考查方向
解题思路
证明BC⊥平面A1ACC1,即可证明平面A1BC⊥平面A1ACC1.
易错点
本题的关键是利用线面垂直的性质及线面垂直的判定定理进行证明.
如图,在平面直角坐标系中,已知椭圆
的离心率为
,C为椭圆上位于第一象限内的一点.
19.若点的坐标为
,求a,b的值;
20.设A为椭圆的左顶点,B为椭圆上一点,且,求直线AB的斜率.
正确答案
解析
因为椭圆的离心率为,所以
,即
.①
又因为点在椭圆上,所以
.②
由①②解得,因为
,所以
.
考查方向
解题思路
利用椭圆的离心率求得,再将
代入椭圆方程,即可求得a和b的值.
易错点
正确利用离心率公式及椭圆的简单性质是解答本题的关键.
正确答案
解析
由(1)可知,椭圆方程为,则
,设
,
.
由,得
,所以
,
.
因为点B,点C都在椭圆上,所以
解得,
,所以直线AB的斜率
.
考查方向
解题思路
由,得
,将B和C代入椭圆方程,即可求得点C的坐标,利用直线斜率公式即可求得直线AB的斜率.
易错点
熟练掌握直线斜率公式,向量共线定理,利用方程思想进行求解是本题的关键.
一缉私艇巡航至距领海边界线l(一条南北方向的直线)3.8海里的A处,发现在其北偏东30°方向相距4海里的B处有一走私船正欲逃跑,缉私艇立即追击.已知缉私艇的最大航速是走私船最大航速的3倍.假设缉私艇和走私船均按直线方向以最大航速航行.
21.若走私船沿正东方向逃离,试确定缉私艇的追击方向,使得用最短时间在领海内拦截成功;(参考数据:°
,
)
22.问:无论走私船沿何方向逃跑,缉私艇是否总能在领海内成功拦截?并说明理由.
正确答案
详见解析
解析
设缉私艇在处与走私船相遇(如图甲),依题意,
.
在△中,由正弦定理得,
.
因为°
,所以
°.从而缉私艇应向北偏东
方向追击.
在△中,由余弦定理得,
,解得
.
又B到边界线l的距离为.
因为,所以能在领海上成功拦截走私船.
考查方向
解题思路
设缉私艇在C处与走私船相遇,则AC=3BC,在△ABC中,利用余弦定理和正弦定理进行求解即可.
易错点
本题的关键是通过分析相遇时AC=3BC再利用正弦定理与余弦定理进行求解.
正确答案
详见解析
解析
如图乙,以为原点,正北方向所在的直线为
轴建立平面直角坐标系
.
则,设缉私艇在
处(缉私艇恰好截住走私船的位置)与走私船相遇,则
,即
,整理得,
,所以点
的轨迹是以点
为圆心,
为半径的圆.
因为圆心到领海边界线
:
的距离为1.55,大于圆半径
,所以缉私艇能在领海内截住走私船.
考查方向
解题思路
建立直角坐标系,求出P的轨迹方程,即可进行解答.
易错点
本题的关键是通过建立直角坐标系,求出P的轨迹方程,进而利用点到直线距离公式进行求解.
已知函数,
,其中e为自然对数的底数.
23.求函数在x
1处的切线方程;
24.若对任意的,不等式
恒成立,求实数a的取值范围.
正确答案
详见解析
解析
因为,所以
,故
.
所以函数在x
1处的切线方程为
,即
.
由已知等式得
.
记,则
.
假设.
①若,则
,所以
在
上为单调增函数.
又,所以
,与
矛盾.
②若,记
,则
.
令,解得
,当
时,
,
在
上为单调增函数;
当时,
,
在
上为单调减函数.
所以,所以
,所以
在
上为单调增函数.
又,所以
,与
矛盾.
综合①②,假设不成立,所以.
考查方向
解题思路
求出函数的导数,计算x=1时y和的值,求出切线方程即可.
令,求出函数的导数,通过讨论
的范围,求出函数的单调区间,从而证明结论即可.
易错点
熟练掌握导数的几何意义及求曲线某点切线方程的步骤是解答本题的关键.
(1)若存在,使得
成立,其中
为常数,求证:
;
熟练掌握函数单调性,最值得求解方法,分类讨论思想的应用是本题的关键.
正确答案
解析
由得
.
记,
,则
.
①当时,因为
,
,所以
,
所以在
上为单调增函数,所以
,故原不等式恒成立.
②当时,由(2)知
,
,
当时,
,
为单调减函数,所以
,不合题意.
综上,.
考查方向
解题思路
将问题转化为在
上恒成立,令
,根据函数的单调性求出a的范围即可.
易错点
正确应用导数求解函数的单调性,应用转化思想将问题转化为恒成立问题是本题的关键.
[选修4-1:几何证明选讲](本小题满分10分)如图,已知△ABC内接于⊙O,连结AO并延长交⊙O于点D,.
28.求证:.
正确答案
详见解析
解析
连结OC,因为,
,所以
.
因为OCOD,所以
,所以
.
所以△∽△
,所以
,即
.
因为,所以
.
考查方向
解题思路
证明AD垂直平分BC,设垂足为E,证明△ACD∽△CED,即可证明结论.
易错点
熟练掌握圆的直径性质,三角形相似的判定及性质是解答本题的关键.
[选修4-4:坐标系与参数方程](本小题满分10分)
在平面直角坐标系中,已知直线
(l为参数)与曲线
(
为参数)
相交于A,B两点
30.求线段的长.
正确答案
解析
将曲线(
为参数)化为普通方程为
.
将直线(
为参数)代入
得,
,
解得,
,则
,所以线段
的长为
.
考查方向
解题思路
先把方程化为普通方程,再联立,利用弦长公式,即可求得线段AB的长.
易错点
本题的关键是利用参数方程与普通方程的互化,弦长公式进行求解.
[选修4-5:不等式选讲](本小题满分10分)设均为正实数,且
31.求证:.
正确答案
详见解析
解析
证明:因为均为正实数,且
,所以
,
,
,所以
.
考查方向
解题思路
均为正实数,且
,可得
,
,
,即可证明结论.
易错点
正确应用基本不等式,将不等式进行正确变形是关键.
设数列的前n项和为Sn
,且满足:
①;②
,其中
且
.
25.求p的值;
26.数列能否是等比数列?请说明理由;
27.求证:当r 2时,数列
是等差数列.
正确答案
1
解析
n1时,
,因为
,所以
, 又
,所以p
1.
考查方向
解题思路
n1时,
,由
,可得1-p=0,可得p=1.
易错点
本题的关键是利用数列的通项公式及前n项和性质进行求解.
正确答案
详见解析
解析
不是等比数列.理由如下: 假设
是等比数列,公比为q,
当n2时,
,即
,所以
(i)
当n3时,
,即
,所以
,(ii)
由(i)(ii)得q1,与
矛盾,所以假设不成立,故
不是等比数列.
考查方向
解题思路
当n2时,
,可得
(i);当n
3时,
可得
,(ii),联立(i)(ii)q
1即可判断.
易错点
本题的关键是利用递推数列,等比数列的判定方法进行求解.
正确答案
详见解析
解析
当r 2时,易知
.
由,得:
时,
,①
,②
②①得,,
即,
∴,即
……
,
所以令
d,则
,所以
.
又时,也适合上式,所以
.
所以,所以当r
2时,数列
是等差数列.
考查方向
解题思路
当r 2时,
,
可得时,
,①
,②
②①得,,进行化简即可证明.
易错点
本题的关键是利用“”进行化简,再结合等差数列的判定方法进行证明.
[选修4-2:矩阵与变换](本小题满分10分)设矩阵满足:
29.求矩阵的逆矩阵
.
正确答案
详见解析
解析
,设B=
,则
,B*=
,
则,
,
,
,A*=
,
,∴矩阵A的逆矩阵
.
考查方向
解题思路
设B=,求得B*,则
,由矩阵的乘法,
,即可求得矩阵A,则
,即可求得A-1.
易错点
本题的关键是熟练掌握矩阵与逆矩阵的互化,矩阵乘法的计算,解题时要细心计算.
(本小题满分10分)某乐队参加一户外音乐节,准备从3首原创新曲和5首经典歌曲中随机选择4首进行演唱.
32.求该乐队至少演唱1首原创新曲的概率;
33.假定演唱一首原创新曲观众与乐队的互动指数为a(a为常数),演唱一首经典歌曲观众与乐队的互动指数为2a.求观众与乐队的互动指数之和的概率分布及数学期望.
正确答案
解析
设“至少演唱1首原创新曲”为事件,则事件
的对立事件
为:“没有1首原创新曲被演唱”.所以
.
答:该乐队至少演唱1首原创新曲的概率为.
考查方向
解题思路
设“该乐队至少演唱1首原创新曲”为事件,则
即可解得.
易错点
正确应用对立事件及“超几何分布”概率的求解是本题的关键.
正确答案
详见解析
解析
设随机变量表示被演唱的原创新曲的首数,则
的所有可能值为0,1,2,3.
依题意,,故
的所有可能值依次为8a,7a,6a,5a.
则,
,
,
.
从而的概率分布为:
8a
7a
6a
5a
所以的数学期望
.
考查方向
解题思路
由题意可知X的可能取值为:5a,6a,7a,8a,利用“超几何分布列”即可求得.
易错点
熟练掌握超几何分布概率的求解方法及数学期望求解方法是本题的关键.
设.有序数组
经m次变换后得到数组
,其中
,
(
1,2,
,n),
,
.
例如:有序数组经1次变换后得到数组
,即
;经第2次变换后得到数组
.
34.若,求
的值;
35.求证:,其中
1,2,
,n.(注:当
时,
,
1,2,
,n,则
.)
正确答案
解析
依题意,,经1次变换为:
;
经2次变换为:;经3次变换为:
,
所以.
考查方向
解题思路
根据条件给出的变换规律,可得经1次变换为:;
经2次变换为:;由此可解答.
易错点
本题的关键是对于变换规律的理解和掌握,解题时注意细心计算.
正确答案
详见解析
解析
下面用数学归纳法证明对,
,其中
.
(i)当时,
,其中
,结论成立;
(ii)假设时,
,其中
.
则时,
,
所以结论对时也成立.
由(i)(ii)知,,
,其中
.
考查方向
解题思路
利用变换规律和数学归纳法进行解答,注意认真审题,细心分析即可.
易错点
熟练掌握变换规律及数学归纳法进行解答是本题的关键,解题时需要细心计算.