1.已知集合,则( )
正确答案
解析
集合,,所以.故选项A为正确答案。
考查方向
解题思路
分别求出集合A的解集与集合B解集,从而判断。
易错点
不能正确解出集合A的解集。
3.已知某几何体的正(主)视图与侧(左)视图都是直角边长为1的等腰直角三角形,且体积为,则该几何体的俯视图可以是( )
正确答案
解析
对于A和C:正视图与侧视图都是直角边长为1的等腰直角三角形,俯视图是直角三角形,其体积为,故A,C不对;对于B:正视图与侧视图都是直角边长为1的等腰直角三角形,俯视图是正方形,其体积为,故B正确;对于D:正视图与侧视图都是直角边长为1的等腰直角三角形,俯视图是四分之一的圆,其体积为,故D不对.
考查方向
解题思路
由题意,正(主)视图与侧(左)视图都是直角边长为1的等腰直角三角形,根据三视图的“长对正,高平齐,宽相等”原则.高已知,只需判断几何体的形状,依次对照计算下列各选项的视图的底面积,满足体积为即为答案.
易错点
不能正确解读“正视图与侧视图都是直角边长为1的等腰直角三角形”,因此无法求出高。
5.设实数,则“”是“”的( )
正确答案
解析
由≤1,得,
即≤1,∴,得;
反之,若,取a=1,b=0,此时=2>1.
∴“”是“”的充分不必要条件,故选项A为正确答案。
考查方向
解题思路
由已知结合绝对值不等式的性质可得,举例说明由不一定有,则答案可求。
易错点
本题易错点在于未举出反例说明由不一定有。
6.回文数是指从左到右读与从右到左读都一样的正整数,如2,11,242,6776,83238等,设位回文数个数为(为正整数),如11是2位回文数,则下列说法正确的是( )
正确答案
解析
由题意,1位回文数有9个,2位回文数有9个,
3位回文数有101,111,121,…,181,191,202,…,999,共9×10=90个,
4位回文数有1001,1111,1221,…,1991,2002,…,9999,共9×10=90个,
故归纳猜想2n+2位回文数与2n+1位回文数个数相等,均为9×10n个,
即a2n+2=a2n+1=9×10n个,所以a2n=9×10n﹣1个,所以a2n+1=10a2n(n∈N+),所以a2n=a2n﹣1(n∈N+),
故选项B为正确答案。
考查方向
解题思路
由回文数的特点,故归纳猜想2n+2位回文数与2n+1位回文数个数相等,均为9×10n个,逐一判断即可。
易错点
不能正确分析出2n+2位回文数与2n+1位回文数个数相等。
7.如图,已知直线与曲线相切于两点,则有( )
正确答案
解析
∵直线y=kx+m与曲线y=f(x)相切于两点,
∴kx+m=f(x)有两个根,且f(x)≥kx+m,
由图象知m>0,则f(x)>kx,即F(x)=f(x)﹣kx>0,则函数F(x)=f(x)﹣kx,没有零点,
则F′(x)=f′(x)﹣k,
结合图象,函数F(x)=f(x)﹣kx有1个极大值点,
函数F(x)=f(x)﹣kx有2个极小值点,
故选项A为正确答案。
考查方向
解题思路
对函数F(x)=f(x)﹣kx,求导数,根据条件判断f′(x)与k的关系进行判断即可.
易错点
本题的易错点在于容易将f′(x)与k的大小关系弄反。
8.已知为平面上三个不共线的定点,平面上点满足(是实数),且是单位向量,则这样的点有( )
正确答案
解析
以A1为原点建立坐标系,设A2(a,b),A3(m,n),则+=(a+m,b+n),
∴M(λ(a+m),λ(b+n)),
∴=(﹣λ(a+m),﹣λ(b+n)),=(a﹣λ(a+m),b﹣λ(b+n)),=(m﹣λ(a+m),n﹣λ(b+n)),
∴++=((1﹣3λ)(a+m),(1﹣3λ)(b+n)),
∵++是单位向量,
∴(1﹣3λ)2[(a+m)2+(b+n)2]=1,
∵A1,A2,A3为平面上三个不共线的三点,∴(a+m)2+(b+n)2>0.
显然λ有两解,故满足条件的M有两个.故选项A为正确答案。
考查方向
解题思路
设A1,A2,A3的坐标,表示出M的坐标,令|++|=1得出关于λ的方程,判断方程的解的个数即可得出M的位置的个数.
易错点
由于(a+m)2+(b+n)2≥0,没有用到A1,A2,A3是平面上三个不共线的三点,从而无法排除(a+m)2+(b+n)2≠0。
2. 展开式中含项的系数为( )
正确答案
解析
根据通项公式,可知k=6, 因此,可以看出系数为112。
考查方向
解题思路
根据二项式的通项公式求出对应的通项公式,对比看出系数即可。
易错点
注意二项式展开式通项公式的应用。
4.过点的直线交抛物线于两点,且,则(为坐标原点)的面积为( )
正确答案
解析
由题意设直线方程为y=kx-2,令y=0,求得直线在x轴的截。
联立直线方程与抛物线方程,可得,所以,
所以,由题意,可知
所以,故选项D为正确答案。
考查方向
解题思路
由于,只要分别求出d和的值即可。
易错点
本题易错点在于容易把三角形面积写成。
11.若实数满足,则的取值范围是___________.
正确答案
[,]
解析
作出不等式组对应的平面区域如图,
的几何意义是区域内的点到点D(﹣1,﹣1)的斜率,
由图象知BD的斜率最大,AD的斜率最小,
由,得B(4,3);
由,得A(3,0);
由,得C(6,3);
则BD的斜率k=,AD的斜率k=,则≤≤,
即的范围是[,],故答案为:[,]
考查方向
解题思路
作出不等式组对应的平面区域,利用斜率的几何意义进行求解即可。
易错点
本题易错点在于求直线交点时出错。
12.若函数的最小正周期为1,则___________,函数在区间上的值域为____________.
正确答案
,
解析
由。
所以;当时,,所以值域为
考查方向
解题思路
利用三角合成变换和降次公式化简函数解析式,结合余弦型函数的图象和性质,可得答案。
易错点
不能正确进行三角函数的合成变换。
10.设,若复数(为虚数单位)的实部和虚部相等,则_________,_________.
正确答案
0,
解析
根据,所以,因此a=0,z=,。
考查方向
解题思路
根据复数的运算法则化简z,,再根据实部和虚部相等,即,求出a的值。最后求出其模即可。
易错点
.
13.甲、乙两人进行5局乒乓球挑战赛,甲在每局中获胜的概率为,且各局胜负相互独立.设甲赢的局数为,则__________,_________,_________.
正确答案
,,
解析
∵甲、乙两人进行5局乒乓球挑战赛,甲在每局中获胜的概率为,且各局胜负相互独立.设甲赢的局数为ξ,
∴ξ~B(5,),
∴P(ξ=2)=,
E(ξ)=5×=,
D(ξ)=5××=.
考查方向
解题思路
由题意ξ~B(5,),由此能求出P(ξ=2),E(ξ),D(ξ).
易错点
在计算P(ξ=2)忘记乘。
15.设,若定义域为的函数满足,则的最大值为__________.
正确答案
解析
设,
所以。
显然当m取到最大值时,x>0.
所以(当且仅当时,即时,等号成立)
考查方向
解题思路
从已知入手,如何能运用。
易错点
一是在使用不等式时,一定要搞清它们成立的前提条件,不可强化或弱化成立的条件,如“同向不等式”才可相加、“同向且两边同正的不等式”才可相乘。
9.在数列中,,则_________,__________.
正确答案
9,121
解析
∵在数列{an}中,a1=1,an+1=3an(n∈N*),
∴数列{an}是首项为1,公比为3的等比数列,,。
考查方向
解题思路
由已知得数列{an}是首项为1,公比为3的等比数列,由此能求出结果。
易错点
本题最大的易错点就是计算。
14.如图,已知矩形为边上的点,现将沿翻折至,使得点在平面上的投影在上,且直线与平面所成角为30°,则线段的长为_________.
正确答案
解析
过A′作A′F⊥平面ABCD,垂足为F,连结EF.则F在CD上,且∠A′DF=30°,
∵AD=A′D=2,∴DF=,A′F=1,
过F作FM⊥AB,垂足为M,则AM=DF=,
设AE=x,则ME=x﹣,A′E=x,
∵EF2=MF2+ME2=A′E2﹣A′F2,
∴4+(x﹣)2=x2﹣1,解得x=。
考查方向
解题思路
过A′作A′F⊥平面ABCD,垂足为F,连结EF,过F作FM⊥AB,垂足为M,设AE=A′E=x,分别在△MEF和△A′EF中用勾股定理表示出EF,列方程解出x。
易错点
不能正确应用“直线与平面所成角为30°”。
在中,内角所对的边分别为,.
16.证明:;
17.若,求的面积.
正确答案
解析
∵b(1﹣2cosA)=2acosB,
∴由正弦定理得sinB(1﹣2cosA)=2sinAcosB,∴sinB=2sinBcosA+2sinAcosB=2sin(A+B)=2sinC,∴b=2c.
考查方向
解题思路
利用正弦定理、和差公式即可得出。
易错点
在三角形ABC中,sin(A+B)=sinC.
正确答案
解析
∵tanA==,∴sinA=cosA,∴sin2A+cos2A=+cos2A=1,
A为锐角,解得,∴ .
由余弦定理有,即,解得,
∴。
考查方向
解题思路
利用同角三角函数基本关系式可得cosA,sinA.再利用余弦定理可得c,利用三角形面积计算公式即可得出。
易错点
.
如图,已知四棱锥的底面为菱形,且是中点.
18.证明:平面;
19.若,求二面角的余弦值.
正确答案
平面
解析
(1)连结,连接,∵四棱锥的底面为菱形,∴为中点,又∵是中点,∴在中,是中位线,∴,又∵平面,而平面,
∴平面;
考查方向
解题思路
连结BD,BD∩AC=F,连接EF,推导出EF∥PB,由此能证明PB∥平面ACE。
易错点
本题的易错点在于能否找到平面ACE内的一条直线与PB平行。
正确答案
解析
取的中点,连结、,∵菱形,且,∴正,∴,
∵,,∴,且等腰直角,即.
∴平面,且,∴,∴.
如图,建立空间直角坐标系:以点为原点,所在的直线为轴,所在的直线为轴,所在的直线为轴,则...........9分
平面上,,;设平面的法向量为,则有
,即;..................11分
设平面的法向量为,因为,
则有可取......................13分
∴,∴ 二面角的余弦值为...........15分
考查方向
解题思路
取AB的中点Q,连结PQ、CQ,以Q点为原点,BA所在的直线为x轴,QC所在的直线为y轴,QP所在的直线为z轴,建立空间直角坐标系,利用向量法能求出二面角A﹣PC﹣D的余弦值。
易错点
本题的易错点在于正确求解平面的法向量。
已知椭圆的离心率为,为圆上任意一点,过作椭圆的切线,设切点分别为.
22.证明:切线的方程为;
23.设为坐标原点,求面积的最大值.
正确答案
切线的方程为
解析
(1)由题,,解得.................2分
①当时, ,直线,∴,代入椭圆方程得到,
∴切线的方程是.
②当时,联立,消,得到,
即,.........................5分
所以
∴切线的方程为........................8分
考查方向
解题思路
由椭圆的离心率,求得a,求得椭圆方程,当y1=0时,直线x1=±2,求得PA的方程是x=±2,当y1≠0时,求导,求得PA的切线斜率,根据直线的点斜式方程及x12+4y12=4,即可求得。
易错点
要考虑y1是否等于0.
正确答案
解析
根据(1)可得切线的方程为,切线 的方程为,
∴,所以直线方程为.....................9分
∴,消得到,
∴..................11分
又∵原点到直线的距离,
∴
...................................13分
又∵为圆上任意一点,∴.
∴,令,则在上单调递减,所以...................................15分
考查方向
解题思路
由(1)可知:切线PB 的方程为,代入求得直线AB方程,代入椭圆方程,求得弦长丨AB丨,根据点到直线的距离公式d,由S△OAB=•丨AB丨•d=,由均值不等式,即可求得△OAB面积的最大值。
易错点
S△OAB=•丨AB丨•d=.
已知函数.
24.若为正实数,求函数上的最大值和最小值;
25.若对任意的实数,都有,求实数的取值范围.
正确答案
,
解析
(1),
又,∴,∴在上递减,在上递增,
∴.................5分
令,
∴...........................8分
考查方向
解题思路
求出函数的导数,解关于导函数的不等式,求出函数的单调区间,从而求出函数的最值即可。
易错点
.本题的易错点在于不会判断的大小关系。
正确答案
解析
由题得:问题等价于当时,...........10分
令,则...............................11分
下面证明:当时,成立,
∵,故只需证,即,
令,则
又,所以在上递减,在上递增,
所以.
所以实数的取值范围为...........................15分
考查方向
解题思路
求出g(x)的最小值,问题转化为a≤x2lnx+x恒成立,x∈[,2],令h(x)=x2lnx+x,
x∈[,2],根据函数的单调性求出a的范围即可。
易错点
本题易错点是对已知条件”若对任意的实数,都有”无从下手。
已知数列的各项都不为零,其前项为,且满足:.
20.若,求数列的通项公式;
21.是否存在满足题意的无穷数列,使得?若存在,求出这样的无穷数列的一个通项公式;若不存在,请说明理由.
正确答案
an=n
解析
∵数列 的各项都不为零且满足...........①
∴,解得.......................2分
∴...........................②,
②-①得,
整理得到,∴..................5分
∴是以1为首项,以1为公差的等差数列,∴............7分
考查方向
解题思路
由2S1=2a1=a1(a1+1),解得a1=1,由2Sn+1=an+1(an+1+1),得出{an}是以1为首项,以1为公差的等差数列,由此能求出an.
易错点
根据,应该得出数列{an}是以1为首项,以1为公差的等差数列。
正确答案
解析
根据,可得或,.......11分
所以从第二项开始每一项都有两个分支,因此通项为
的数列满足题意,使得(其他符合的答案类似给分).15分
考查方向
解题思路
由a1=1,(an+1﹣an﹣1)(an+an+1)=0,得an+1=an+1或an+1=﹣an,由此能求出结果。
易错点
根据,可得或,所以从第二项开始每一项都有两个分支.