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数学 金华市2017年高三第三次月考
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试卷目录
1、单选题
1
2
3
4
5
6
7
8
2、填空题
9
10
11
12
13
14
15
3、简答题
16
17
18
19
20
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单选题 本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的4个选项中，有且只有一项是符合题目要求。
1
题型： 单选题
|
分值: 5分

1.已知集合，则（    ）

A

B

C

D

正确答案

A

解析

集合，，所以.故选项A为正确答案。

考查方向

本题主要考查集合的相关考点，在近几年考试中频繁出现。

解题思路

分别求出集合A的解集与集合B解集，从而判断。

易错点

不能正确解出集合A的解集。

2
题型： 单选题
|
分值: 5分

3.已知某几何体的正（主）视图与侧（左）视图都是直角边长为1的等腰直角三角形，且体积为，则该几何体的俯视图可以是（    ）

A

B

C

D

正确答案

B

解析

对于A和C：正视图与侧视图都是直角边长为1的等腰直角三角形，俯视图是直角三角形，其体积为，故A，C不对；对于B：正视图与侧视图都是直角边长为1的等腰直角三角形，俯视图是正方形，其体积为，故B正确；对于D：正视图与侧视图都是直角边长为1的等腰直角三角形，俯视图是四分之一的圆，其体积为，故D不对．

考查方向

本题主要考查体积的计算以及三视图所对应的空间图形。

解题思路

由题意，正（主）视图与侧（左）视图都是直角边长为1的等腰直角三角形，根据三视图的“长对正，高平齐，宽相等”原则．高已知，只需判断几何体的形状，依次对照计算下列各选项的视图的底面积，满足体积为即为答案．

易错点

不能正确解读“正视图与侧视图都是直角边长为1的等腰直角三角形”，因此无法求出高。

3
题型： 单选题
|
分值: 5分

5.设实数，则“”是“”的（    ）

A充分不必要条件

B必要不充分条件

C充要条件

D既不充分也不必要条件

正确答案

A

解析

由≤1，得，

即≤1，∴，得；

反之，若，取a=1，b=0，此时=2＞1．

∴“”是“”的充分不必要条件，故选项A为正确答案。

考查方向

本题主要考查必要条件、充分条件与充要条件的判断。

解题思路

由已知结合绝对值不等式的性质可得，举例说明由不一定有，则答案可求。

易错点

本题易错点在于未举出反例说明由不一定有。

4
题型： 单选题
|
分值: 5分

6.回文数是指从左到右读与从右到左读都一样的正整数，如2，11，242，6776，83238等，设位回文数个数为（为正整数），如11是2位回文数，则下列说法正确的是（    ）

A

B

C

D以上说法都不正确

正确答案

B

解析

由题意，1位回文数有9个，2位回文数有9个，

3位回文数有101，111，121，…，181，191，202，…，999，共9×10=90个，

4位回文数有1001，1111，1221，…，1991，2002，…，9999，共9×10=90个，

故归纳猜想2n+2位回文数与2n+1位回文数个数相等，均为9×10n个，

即a2n+2=a2n+1=9×10n个，所以a2n=9×10n﹣1个，所以a2n+1=10a2n（n∈N+），所以a2n=a2n﹣1（n∈N+），

故选项B为正确答案。

考查方向

本题主要考查简单的合情推理。

解题思路

由回文数的特点，故归纳猜想2n+2位回文数与2n+1位回文数个数相等，均为9×10n个，逐一判断即可。

易错点

不能正确分析出2n+2位回文数与2n+1位回文数个数相等。

5
题型： 单选题
|
分值: 5分

7.如图，已知直线与曲线相切于两点，则有（    ）

A1个极大值点，2个极小值点

B2个极大值点，1个极小值点

C3个极大值点，无极小值点

D3个极小值点，无极大值点

正确答案

A

解析

∵直线y=kx+m与曲线y=f（x）相切于两点，

∴kx+m=f（x）有两个根，且f（x）≥kx+m，

由图象知m＞0，则f（x）＞kx，即F（x）=f（x）﹣kx＞0，则函数F（x）=f（x）﹣kx，没有零点，

则F′（x）=f′（x）﹣k，

结合图象，函数F（x）=f（x）﹣kx有1个极大值点，

函数F（x）=f（x）﹣kx有2个极小值点，

故选项A为正确答案。

考查方向

本题主要考查利用导数研究函数的极值．

解题思路

对函数F（x）=f（x）﹣kx，求导数，根据条件判断f′（x）与k的关系进行判断即可．

易错点

本题的易错点在于容易将f′（x）与k的大小关系弄反。

6
题型： 单选题
|
分值: 5分

8.已知为平面上三个不共线的定点，平面上点满足（是实数），且是单位向量，则这样的点有（    ）

A0个

B1个

C2个

D无数个

正确答案

C

解析

以A1为原点建立坐标系，设A2（a，b），A3（m，n），则+=（a+m，b+n），

∴M（λ（a+m），λ（b+n）），

∴=（﹣λ（a+m），﹣λ（b+n）），=（a﹣λ（a+m），b﹣λ（b+n）），=（m﹣λ（a+m），n﹣λ（b+n）），

∴++=（（1﹣3λ）（a+m），（1﹣3λ）（b+n）），

∵++是单位向量，

∴(1﹣3λ)2[(a+m)2+(b+n)2]=1，

∵A1，A2，A3为平面上三个不共线的三点，∴(a+m)2+(b+n)2＞0．

显然λ有两解，故满足条件的M有两个．故选项A为正确答案。

考查方向

本题主要考查向量的线性运算性质及几何意义．

解题思路

设A1，A2，A3的坐标，表示出M的坐标，令|++|=1得出关于λ的方程，判断方程的解的个数即可得出M的位置的个数．

易错点

由于(a+m)2+(b+n)2≥0，没有用到A1，A2，A3是平面上三个不共线的三点，从而无法排除(a+m)2+(b+n)2≠0。

7
题型： 单选题
|
分值: 5分

2. 展开式中含项的系数为（    ）

A

B

C112

D1120

正确答案

C

解析

根据通项公式，可知k=6， 因此，可以看出系数为112。

考查方向

本题考查了二项式展开的通项公式

解题思路

根据二项式的通项公式求出对应的通项公式，对比看出系数即可。

易错点

注意二项式展开式通项公式的应用。

8
题型： 单选题
|
分值: 5分

4.过点的直线交抛物线于两点，且，则（为坐标原点）的面积为（    ）

A

B

C

D

正确答案

D

解析

由题意设直线方程为y=kx-2，令y=0，求得直线在x轴的截。

联立直线方程与抛物线方程，可得，所以，

所以，由题意，可知

所以，故选项D为正确答案。

考查方向

本题主要考查抛物线与直线相交，求两直线与原点所组成的三角形面积，在近几年的各省高考试题中出现的频率较高。

解题思路

由于，只要分别求出d和的值即可。

易错点

本题易错点在于容易把三角形面积写成。

填空题 本大题共7小题，每小题5分，共35分。把答案填写在题中横线上。
9
题型：填空题
|
分值: 5分

11.若实数满足，则的取值范围是___________．

正确答案

[，]

解析

作出不等式组对应的平面区域如图，

的几何意义是区域内的点到点D（﹣1，﹣1）的斜率，

由图象知BD的斜率最大，AD的斜率最小，

由，得B（4，3）;

由，得A（3，0）;

由，得C（6，3）;

则BD的斜率k=，AD的斜率k=，则≤≤，

即的范围是[，]，故答案为：[，]

考查方向

本题主要考查简单线性规划。

解题思路

作出不等式组对应的平面区域，利用斜率的几何意义进行求解即可。

易错点

本题易错点在于求直线交点时出错。

10
题型：填空题
|
分值: 5分

12.若函数的最小正周期为1，则___________，函数在区间上的值域为____________．

正确答案

，

解析

由。

所以；当时，，所以值域为

考查方向

本题主要考查三角函数中的恒等变换应用；正弦函数的图象。

解题思路

利用三角合成变换和降次公式化简函数解析式，结合余弦型函数的图象和性质，可得答案。

易错点

不能正确进行三角函数的合成变换。

11
题型：填空题
|
分值: 5分

10.设，若复数（为虚数单位）的实部和虚部相等，则_________，_________．

正确答案

0，

解析

根据，所以，因此a=0，z=，。

考查方向

本题主要考查复数代数形式的乘除运算。

解题思路

根据复数的运算法则化简z，，再根据实部和虚部相等，即，求出a的值。最后求出其模即可。

易错点

.

12
题型：填空题
|
分值: 5分

13.甲、乙两人进行5局乒乓球挑战赛，甲在每局中获胜的概率为，且各局胜负相互独立．设甲赢的局数为，则__________，_________，_________．

正确答案

，，

解析

∵甲、乙两人进行5局乒乓球挑战赛，甲在每局中获胜的概率为，且各局胜负相互独立．设甲赢的局数为ξ，

∴ξ～B（5，），

∴P（ξ=2）=，

E（ξ）=5×=，

D（ξ）=5××=．

考查方向

本题主要考查离散型随机变量的期望与方差。若ξ～B（n，p），E（ξ）=np，D（ξ）=npq。

解题思路

由题意ξ～B（5，），由此能求出P（ξ=2），E（ξ），D（ξ）．

易错点

在计算P（ξ=2）忘记乘。

13
题型：填空题
|
分值: 5分

15.设，若定义域为的函数满足，则的最大值为__________．

正确答案

解析

设，

所以。

显然当m取到最大值时，x>0.

所以（当且仅当时，即时，等号成立）

考查方向

本题主要考查函数最值的应用。

解题思路

从已知入手，如何能运用。

易错点

一是在使用不等式时，一定要搞清它们成立的前提条件，不可强化或弱化成立的条件，如“同向不等式”才可相加、“同向且两边同正的不等式”才可相乘。

14
题型：填空题
|
分值: 5分

9.在数列中，，则_________，__________．

正确答案

9，121

解析

∵在数列{an}中，a1=1，an+1=3an（n∈N*），

∴数列{an}是首项为1，公比为3的等比数列，，。

考查方向

本题主要考查等比数列的通项公式，前n项和。

解题思路

由已知得数列{an}是首项为1，公比为3的等比数列，由此能求出结果。

易错点

本题最大的易错点就是计算。

15
题型：填空题
|
分值: 5分

14.如图，已知矩形为边上的点，现将沿翻折至，使得点在平面上的投影在上，且直线与平面所成角为30°，则线段的长为_________．

正确答案

解析

过A′作A′F⊥平面ABCD，垂足为F，连结EF．则F在CD上，且∠A′DF=30°，

∵AD=A′D=2，∴DF=，A′F=1，

过F作FM⊥AB，垂足为M，则AM=DF=，

设AE=x，则ME=x﹣，A′E=x，

∵EF2=MF2+ME2=A′E2﹣A′F2，

∴4+（x﹣）2=x2﹣1，解得x=。

考查方向

本题主要考查本题主要考查直线与平面所成的角。

解题思路

过A′作A′F⊥平面ABCD，垂足为F，连结EF，过F作FM⊥AB，垂足为M，设AE=A′E=x，分别在△MEF和△A′EF中用勾股定理表示出EF，列方程解出x。

易错点

不能正确应用“直线与平面所成角为30°”。

简答题（综合题） 本大题共74分。简答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
16
题型：简答题
|
分值: 14分

在中，内角所对的边分别为，．

16.证明：；

17.若，求的面积．

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

解析

∵b（1﹣2cosA）=2acosB，

∴由正弦定理得sinB（1﹣2cosA）=2sinAcosB，∴sinB=2sinBcosA+2sinAcosB=2sin（A+B）=2sinC，∴b=2c．

考查方向

本题主要考查正弦定理。

解题思路

利用正弦定理、和差公式即可得出。

易错点

在三角形ABC中，sin（A+B）=sinC.

第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

解析

∵tanA==，∴sinA=cosA，∴sin2A+cos2A=+cos2A=1，

A为锐角，解得，∴    ．

由余弦定理有，即，解得，

∴。

考查方向

本题主要考查余弦定理。

解题思路

利用同角三角函数基本关系式可得cosA，sinA．再利用余弦定理可得c，利用三角形面积计算公式即可得出。

易错点

.

17
题型：简答题
|
分值: 15分

如图，已知四棱锥的底面为菱形，且是中点．

18.证明：平面；

19.若，求二面角的余弦值．

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

平面

解析

（1）连结，连接，∵四棱锥的底面为菱形，∴为中点，又∵是中点，∴在中，是中位线，∴，又∵平面，而平面，

∴平面；

考查方向

本题主要考查直线与平面平行的判定。

解题思路

连结BD，BD∩AC=F，连接EF，推导出EF∥PB，由此能证明PB∥平面ACE。

易错点

本题的易错点在于能否找到平面ACE内的一条直线与PB平行。

第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

解析

取的中点，连结、，∵菱形，且，∴正，∴，

∵，，∴，且等腰直角，即．

∴平面，且，∴，∴．

如图，建立空间直角坐标系：以点为原点，所在的直线为轴，所在的直线为轴，所在的直线为轴，则．．．．．．．．．．．9分

平面上，，；设平面的法向量为，则有

，即；．．．．．．．．．．．．．．．．．．11分

设平面的法向量为，因为，

则有可取．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．13分

∴，∴ 二面角的余弦值为．．．．．．．．．．．15分

考查方向

本题主要考查二面角的平面角及求法。

解题思路

取AB的中点Q，连结PQ、CQ，以Q点为原点，BA所在的直线为x轴，QC所在的直线为y轴，QP所在的直线为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角A﹣PC﹣D的余弦值。

易错点

本题的易错点在于正确求解平面的法向量。

18
题型：简答题
|
分值: 15分

已知椭圆的离心率为，为圆上任意一点，过作椭圆的切线，设切点分别为．

22.证明：切线的方程为；

23.设为坐标原点，求面积的最大值．

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

切线的方程为

解析

（1）由题，，解得．．．．．．．．．．．．．．．．．2分

①当时， ，直线，∴，代入椭圆方程得到，

∴切线的方程是．

②当时，联立，消，得到，

即，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．5分

所以

∴切线的方程为．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．8分

考查方向

本题主要考查椭圆的性质。

解题思路

由椭圆的离心率，求得a，求得椭圆方程，当y1=0时，直线x1=±2，求得PA的方程是x=±2，当y1≠0时，求导，求得PA的切线斜率，根据直线的点斜式方程及x12+4y12=4，即可求得。

易错点

要考虑y1是否等于0.

第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

解析

根据（1）可得切线的方程为，切线 的方程为，

∴，所以直线方程为．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．9分

∴，消得到，

∴．．．．．．．．．．．．．．．．．．11分

又∵原点到直线的距离，

∴

．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．13分

又∵为圆上任意一点，∴．

∴，令，则在上单调递减，所以．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．15分

考查方向

本题主要考查椭圆的性质及均值不等式的应用。

解题思路

由（1）可知：切线PB 的方程为，代入求得直线AB方程，代入椭圆方程，求得弦长丨AB丨，根据点到直线的距离公式d，由S△OAB=•丨AB丨•d=，由均值不等式，即可求得△OAB面积的最大值。

易错点

S△OAB=•丨AB丨•d=.

19
题型：简答题
|
分值: 15分

已知函数．

24.若为正实数，求函数上的最大值和最小值；

25.若对任意的实数，都有，求实数的取值范围．

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

，

解析

（1），

又，∴，∴在上递减，在上递增，

∴．．．．．．．．．．．．．．．．．5分

令，

∴．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．8分

考查方向

本题主要考查利用导数求闭区间上函数的最值。

解题思路

求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，从而求出函数的最值即可。

易错点

.本题的易错点在于不会判断的大小关系。

第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

解析

由题得：问题等价于当时，．．．．．．．．．．．10分

令，则．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．11分

下面证明：当时，成立，

∵，故只需证，即，

令，则

又，所以在上递减，在上递增，

所以．

所以实数的取值范围为．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．15分

考查方向

本题主要利用导数研究函数的单调性。

解题思路

求出g（x）的最小值，问题转化为a≤x2lnx+x恒成立，x∈[，2]，令h（x）=x2lnx+x，

x∈[，2]，根据函数的单调性求出a的范围即可。

易错点

本题易错点是对已知条件”若对任意的实数，都有”无从下手。

20
题型：简答题
|
分值: 15分

已知数列的各项都不为零，其前项为，且满足：．

20.若，求数列的通项公式；

21.是否存在满足题意的无穷数列，使得？若存在，求出这样的无穷数列的一个通项公式；若不存在，请说明理由．

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

an=n

解析

∵数列 的各项都不为零且满足．．．．．．．．．．．①

∴，解得．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．2分

∴．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．②，

②-①得，

整理得到，∴．．．．．．．．．．．．．．．．．．5分

∴是以1为首项，以1为公差的等差数列，∴．．．．．．．．．．．．7分

考查方向

本题主要考查数列递推关系式。

解题思路

由2S1=2a1=a1（a1+1），解得a1=1，由2Sn+1=an+1（an+1+1），得出{an}是以1为首项，以1为公差的等差数列，由此能求出an.

易错点

根据，应该得出数列{an}是以1为首项，以1为公差的等差数列。

第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

解析

根据，可得或，．．．．．．．11分

所以从第二项开始每一项都有两个分支，因此通项为

的数列满足题意，使得（其他符合的答案类似给分）．15分

考查方向

本题主要考查无穷数列。

解题思路

由a1=1，（an+1﹣an﹣1）（an+an+1）=0，得an+1=an+1或an+1=﹣an，由此能求出结果。

易错点

根据，可得或，所以从第二项开始每一项都有两个分支.

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