数学 金华市2017年高三第三次月考
精品
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单选题 本大题共8小题,每小题5分,共40分。在每小题给出的4个选项中,有且只有一项是符合题目要求。
1
题型: 单选题
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分值: 5分

1.已知集合,则(    )

A

B

C

D

正确答案

A

解析

集合,所以.故选项A为正确答案。

考查方向

本题主要考查集合的相关考点,在近几年考试中频繁出现。

解题思路

分别求出集合A的解集与集合B解集,从而判断。

易错点

不能正确解出集合A的解集。

1
题型: 单选题
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分值: 5分

3.已知某几何体的正(主)视图与侧(左)视图都是直角边长为1的等腰直角三角形,且体积为,则该几何体的俯视图可以是(    )

A

B

C

D

正确答案

B

解析

对于A和C:正视图与侧视图都是直角边长为1的等腰直角三角形,俯视图是直角三角形,其体积为,故A,C不对;对于B:正视图与侧视图都是直角边长为1的等腰直角三角形,俯视图是正方形,其体积为,故B正确;对于D:正视图与侧视图都是直角边长为1的等腰直角三角形,俯视图是四分之一的圆,其体积为,故D不对.

考查方向

本题主要考查体积的计算以及三视图所对应的空间图形。

解题思路

由题意,正(主)视图与侧(左)视图都是直角边长为1的等腰直角三角形,根据三视图的“长对正,高平齐,宽相等”原则.高已知,只需判断几何体的形状,依次对照计算下列各选项的视图的底面积,满足体积为即为答案.

易错点

不能正确解读“正视图与侧视图都是直角边长为1的等腰直角三角形”,因此无法求出高。

1
题型: 单选题
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分值: 5分

5.设实数,则“”是“”的(    )

A充分不必要条件

B必要不充分条件

C充要条件

D既不充分也不必要条件

正确答案

A

解析

≤1,得

≤1,∴,得

反之,若,取a=1,b=0,此时=2>1.

∴“”是“”的充分不必要条件,故选项A为正确答案。

考查方向

本题主要考查必要条件、充分条件与充要条件的判断。

解题思路

由已知结合绝对值不等式的性质可得,举例说明由不一定有,则答案可求。

易错点

本题易错点在于未举出反例说明由不一定有

1
题型: 单选题
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分值: 5分

6.回文数是指从左到右读与从右到左读都一样的正整数,如2,11,242,6776,83238等,设位回文数个数为为正整数),如11是2位回文数,则下列说法正确的是(    )

A

B

C

D以上说法都不正确

正确答案

B

解析

由题意,1位回文数有9个,2位回文数有9个,

3位回文数有101,111,121,…,181,191,202,…,999,共9×10=90个,

4位回文数有1001,1111,1221,…,1991,2002,…,9999,共9×10=90个,

故归纳猜想2n+2位回文数与2n+1位回文数个数相等,均为9×10n个,

即a2n+2=a2n+1=9×10n个,所以a2n=9×10n﹣1个,所以a2n+1=10a2n(n∈N+),所以a2n=a2n﹣1(n∈N+),

故选项B为正确答案。

考查方向

本题主要考查简单的合情推理。

解题思路

由回文数的特点,故归纳猜想2n+2位回文数与2n+1位回文数个数相等,均为9×10n个,逐一判断即可。

易错点

不能正确分析出2n+2位回文数与2n+1位回文数个数相等。

1
题型: 单选题
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分值: 5分

7.如图,已知直线与曲线相切于两点,则有(    )

A1个极大值点,2个极小值点

B2个极大值点,1个极小值点

C3个极大值点,无极小值点

D3个极小值点,无极大值点

正确答案

A

解析

∵直线y=kx+m与曲线y=f(x)相切于两点,

∴kx+m=f(x)有两个根,且f(x)≥kx+m,

由图象知m>0,则f(x)>kx,即F(x)=f(x)﹣kx>0,则函数F(x)=f(x)﹣kx,没有零点,

则F′(x)=f′(x)﹣k,

结合图象,函数F(x)=f(x)﹣kx有1个极大值点,

函数F(x)=f(x)﹣kx有2个极小值点,

故选项A为正确答案。

考查方向

本题主要考查利用导数研究函数的极值.

解题思路

对函数F(x)=f(x)﹣kx,求导数,根据条件判断f′(x)与k的关系进行判断即可.

易错点

本题的易错点在于容易将f′(x)与k的大小关系弄反。

1
题型: 单选题
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分值: 5分

8.已知为平面上三个不共线的定点,平面上点满足是实数),且是单位向量,则这样的点有(    )

A0个

B1个

C2个

D无数个

正确答案

C

解析

以A1为原点建立坐标系,设A2(a,b),A3(m,n),则+=(a+m,b+n),

∴M(λ(a+m),λ(b+n)),

=(﹣λ(a+m),﹣λ(b+n)),=(a﹣λ(a+m),b﹣λ(b+n)),=(m﹣λ(a+m),n﹣λ(b+n)),

++=((1﹣3λ)(a+m),(1﹣3λ)(b+n)),

++是单位向量,

∴(1﹣3λ)2[(a+m)2+(b+n)2]=1,

∵A1,A2,A3为平面上三个不共线的三点,∴(a+m)2+(b+n)2>0.

显然λ有两解,故满足条件的M有两个.故选项A为正确答案。

考查方向

本题主要考查向量的线性运算性质及几何意义.

解题思路

设A1,A2,A3的坐标,表示出M的坐标,令|++|=1得出关于λ的方程,判断方程的解的个数即可得出M的位置的个数.

易错点

由于(a+m)2+(b+n)2≥0,没有用到A1,A2,A3是平面上三个不共线的三点,从而无法排除(a+m)2+(b+n)2≠0。

1
题型: 单选题
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分值: 5分

2. 展开式中含项的系数为(    )

A

B

C112

D1120

正确答案

C

解析

根据通项公式,可知k=6, 因此,可以看出系数为112。

考查方向

本题考查了二项式展开的通项公式

解题思路

根据二项式的通项公式求出对应的通项公式,对比看出系数即可。

易错点

注意二项式展开式通项公式的应用。

1
题型: 单选题
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分值: 5分

4.过点的直线交抛物线两点,且,则为坐标原点)的面积为(    )

A

B

C

D

正确答案

D

解析

由题意设直线方程为y=kx-2,令y=0,求得直线在x轴的截

联立直线方程与抛物线方程,可得,所以

所以,由题意,可知

所以,故选项D为正确答案。

考查方向

本题主要考查抛物线与直线相交,求两直线与原点所组成的三角形面积,在近几年的各省高考试题中出现的频率较高。

解题思路

由于,只要分别求出d和的值即可。

易错点

本题易错点在于容易把三角形面积写成

填空题 本大题共7小题,每小题5分,共35分。把答案填写在题中横线上。
1
题型:填空题
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分值: 5分

11.若实数满足,则的取值范围是___________.

正确答案

[]

解析

作出不等式组对应的平面区域如图,

的几何意义是区域内的点到点D(﹣1,﹣1)的斜率,

由图象知BD的斜率最大,AD的斜率最小,

,得B(4,3);

,得A(3,0);

,得C(6,3);

则BD的斜率k=,AD的斜率k=,则

的范围是[],故答案为:[]

考查方向

本题主要考查简单线性规划。

解题思路

作出不等式组对应的平面区域,利用斜率的几何意义进行求解即可。

易错点

本题易错点在于求直线交点时出错。

1
题型:填空题
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分值: 5分

12.若函数的最小正周期为1,则___________,函数在区间上的值域为____________.

正确答案

解析

所以;当时,,所以值域为

考查方向

本题主要考查三角函数中的恒等变换应用;正弦函数的图象。

解题思路

利用三角合成变换和降次公式化简函数解析式,结合余弦型函数的图象和性质,可得答案。

易错点

不能正确进行三角函数的合成变换。

1
题型:填空题
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分值: 5分

10.设,若复数为虚数单位)的实部和虚部相等,则_________,_________.

正确答案

0,

解析

根据,所以,因此a=0,z=

考查方向

本题主要考查复数代数形式的乘除运算。

解题思路

根据复数的运算法则化简z,,再根据实部和虚部相等,即,求出a的值。最后求出其模即可。

易错点

.

1
题型:填空题
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分值: 5分

13.甲、乙两人进行5局乒乓球挑战赛,甲在每局中获胜的概率为,且各局胜负相互独立.设甲赢的局数为,则__________,_________,_________.

正确答案

解析

∵甲、乙两人进行5局乒乓球挑战赛,甲在每局中获胜的概率为,且各局胜负相互独立.设甲赢的局数为ξ,

∴ξ~B(5,),

∴P(ξ=2)=

E(ξ)=5×=

D(ξ)=5××=

考查方向

本题主要考查离散型随机变量的期望与方差。若ξ~B(n,p),E(ξ)=np,D(ξ)=npq。

解题思路

由题意ξ~B(5,),由此能求出P(ξ=2),E(ξ),D(ξ).

易错点

在计算P(ξ=2)忘记乘

1
题型:填空题
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分值: 5分

15.设,若定义域为的函数满足,则的最大值为__________.

正确答案

解析

所以

显然当m取到最大值时,x>0.

所以(当且仅当时,即时,等号成立)

考查方向

本题主要考查函数最值的应用。

解题思路

从已知入手,如何能运用

易错点

一是在使用不等式时,一定要搞清它们成立的前提条件,不可强化或弱化成立的条件,如“同向不等式”才可相加、“同向且两边同正的不等式”才可相乘。

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题型:填空题
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分值: 5分

9.在数列中,,则_________,__________.

正确答案

9,121

解析

∵在数列{an}中,a1=1,an+1=3an(n∈N*),

∴数列{an}是首项为1,公比为3的等比数列,

考查方向

本题主要考查等比数列的通项公式,前n项和。

解题思路

由已知得数列{an}是首项为1,公比为3的等比数列,由此能求出结果。

易错点

本题最大的易错点就是计算。

1
题型:填空题
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分值: 5分

14.如图,已知矩形边上的点,现将沿翻折至,使得点在平面上的投影在上,且直线与平面所成角为30°,则线段的长为_________.

正确答案

解析

过A′作A′F⊥平面ABCD,垂足为F,连结EF.则F在CD上,且∠A′DF=30°,

∵AD=A′D=2,∴DF=,A′F=1,

过F作FM⊥AB,垂足为M,则AM=DF=

设AE=x,则ME=x﹣,A′E=x,

∵EF2=MF2+ME2=A′E2﹣A′F2

∴4+(x﹣2=x2﹣1,解得x=

考查方向

本题主要考查本题主要考查直线与平面所成的角。

解题思路

过A′作A′F⊥平面ABCD,垂足为F,连结EF,过F作FM⊥AB,垂足为M,设AE=A′E=x,分别在△MEF和△A′EF中用勾股定理表示出EF,列方程解出x。

易错点

不能正确应用“直线与平面所成角为30°”。

简答题(综合题) 本大题共74分。简答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
1
题型:简答题
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分值: 14分

中,内角所对的边分别为

16.证明:

17.若,求的面积.

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

解析

∵b(1﹣2cosA)=2acosB,

∴由正弦定理得sinB(1﹣2cosA)=2sinAcosB,∴sinB=2sinBcosA+2sinAcosB=2sin(A+B)=2sinC,∴b=2c.

考查方向

本题主要考查正弦定理。

解题思路

利用正弦定理、和差公式即可得出。

易错点

在三角形ABC中,sin(A+B)=sinC.

第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

解析

∵tanA==,∴sinA=cosA,∴sin2A+cos2A=+cos2A=1,

A为锐角,解得,∴    .

由余弦定理有,即,解得

考查方向

本题主要考查余弦定理。

解题思路

利用同角三角函数基本关系式可得cosA,sinA.再利用余弦定理可得c,利用三角形面积计算公式即可得出。

易错点

.

1
题型:简答题
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分值: 15分

如图,已知四棱锥的底面为菱形,且中点.

18.证明:平面

19.若,求二面角的余弦值.

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

平面

解析

(1)连结,连接,∵四棱锥的底面为菱形,∴中点,又∵中点,∴在中,是中位线,∴,又∵平面,而平面

平面

考查方向

本题主要考查直线与平面平行的判定。

解题思路

连结BD,BD∩AC=F,连接EF,推导出EF∥PB,由此能证明PB∥平面ACE。

易错点

本题的易错点在于能否找到平面ACE内的一条直线与PB平行。

第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

解析

的中点,连结,∵菱形,且,∴正,∴

,∴,且等腰直角,即

平面,且,∴,∴

如图,建立空间直角坐标系:以点为原点,所在的直线为轴,所在的直线为轴,所在的直线为轴,则...........9分

平面上,;设平面的法向量为,则有

,即;..................11分

设平面的法向量为,因为

则有可取......................13分

,∴ 二面角的余弦值为...........15分

考查方向

本题主要考查二面角的平面角及求法。

解题思路

取AB的中点Q,连结PQ、CQ,以Q点为原点,BA所在的直线为x轴,QC所在的直线为y轴,QP所在的直线为z轴,建立空间直角坐标系,利用向量法能求出二面角A﹣PC﹣D的余弦值。

易错点

本题的易错点在于正确求解平面的法向量。

1
题型:简答题
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分值: 15分

已知椭圆的离心率为为圆上任意一点,过作椭圆的切线,设切点分别为

22.证明:切线的方程为

23.设为坐标原点,求面积的最大值.

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

切线的方程为

解析

(1)由题,,解得.................2分

①当时, ,直线,∴,代入椭圆方程得到

∴切线的方程是

②当时,联立,消,得到

,.........................5分

所以

∴切线的方程为........................8分

考查方向

本题主要考查椭圆的性质。

解题思路

由椭圆的离心率,求得a,求得椭圆方程,当y1=0时,直线x1=±2,求得PA的方程是x=±2,当y1≠0时,求导,求得PA的切线斜率,根据直线的点斜式方程及x12+4y12=4,即可求得

易错点

要考虑y1是否等于0.

第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

解析

根据(1)可得切线的方程为,切线 的方程为

,所以直线方程为.....................9分

,消得到

..................11分

又∵原点到直线的距离

...................................13分

又∵为圆上任意一点,∴

,令,则上单调递减,所以...................................15分

考查方向

本题主要考查椭圆的性质及均值不等式的应用。

解题思路

由(1)可知:切线PB 的方程为,代入求得直线AB方程,代入椭圆方程,求得弦长丨AB丨,根据点到直线的距离公式d,由S△OAB=•丨AB丨•d=,由均值不等式,即可求得△OAB面积的最大值。

易错点

S△OAB=•丨AB丨•d=.

1
题型:简答题
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分值: 15分

已知函数

24.若为正实数,求函数上的最大值和最小值;

25.若对任意的实数,都有,求实数的取值范围.

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

解析

(1)

,∴,∴上递减,在上递增,

.................5分

...........................8分

考查方向

本题主要考查利用导数求闭区间上函数的最值。

解题思路

求出函数的导数,解关于导函数的不等式,求出函数的单调区间,从而求出函数的最值即可。

易错点

.本题的易错点在于不会判断的大小关系。

第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

解析

由题得:问题等价于当时,...........10分

,则...............................11分

下面证明:当时,成立,

,故只需证,即

,则

,所以上递减,在上递增,

所以

所以实数的取值范围为...........................15分

考查方向

本题主要利用导数研究函数的单调性。

解题思路

求出g(x)的最小值,问题转化为a≤x2lnx+x恒成立,x∈[,2],令h(x)=x2lnx+x,

x∈[,2],根据函数的单调性求出a的范围即可。

易错点

本题易错点是对已知条件”若对任意的实数,都有”无从下手。

1
题型:简答题
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分值: 15分

已知数列的各项都不为零,其前项为,且满足:

20.若,求数列的通项公式;

21.是否存在满足题意的无穷数列,使得?若存在,求出这样的无穷数列的一个通项公式;若不存在,请说明理由.

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

an=n

解析

∵数列 的各项都不为零且满足...........①

,解得.......................2分

...........................②,

②-①得

整理得到,∴..................5分

是以1为首项,以1为公差的等差数列,∴............7分

考查方向

本题主要考查数列递推关系式。

解题思路

由2S1=2a1=a1(a1+1),解得a1=1,由2Sn+1=an+1(an+1+1),得出{an}是以1为首项,以1为公差的等差数列,由此能求出an.

易错点

根据,应该得出数列{an}是以1为首项,以1为公差的等差数列。

第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

解析

根据,可得,.......11分

所以从第二项开始每一项都有两个分支,因此通项为

的数列满足题意,使得(其他符合的答案类似给分).15分

考查方向

本题主要考查无穷数列。

解题思路

由a1=1,(an+1﹣an﹣1)(an+an+1)=0,得an+1=an+1或an+1=﹣an,由此能求出结果。

易错点

根据,可得,所以从第二项开始每一项都有两个分支.

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