• 数学 合肥市2017年高三第二次模拟考试
填空题 本大题共12小题,每小题4分,共48分。把答案填写在题中横线上。
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1.若集合M={x|x2﹣2x<0},N={x||x|>1},则M∩N=  

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2.若复数z满足2z+=3﹣2i,其中i为虚数单位,则z=

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3.若sinα=﹣,且α为第四象限角,则tanα的值等于  

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4.函数的最小正周期T=  

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5.函数f(x)=2x+m的反函数为y=f﹣1(x),且y=f﹣1(x)的图象过点Q(5,2),那么m=  

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6.点(1,0)到双曲线的渐近线的距离是  

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7.若x,y满足 ,则2x+y的最大值为 

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8.从5名学生中任选3人分别担任语文、数学、英语课代表,其中学生甲不能担任数学课代表,共有  种不同的选法(结果用数值表示).

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9.方程x2+y2﹣4tx﹣2ty+3t2﹣4=0(t为参数)所表示的圆的圆心轨迹方程是 (结果化为普通方程)

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10.若an是(2+x)n(n∈N*,n≥2,x∈R)展开式中x2项的二项式系数,则=  

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11.设数列{an}是集合{x|x=3s+3t,s<t且s,t∈N}中所有的数从小到大排列成的数列,即a1=4,a2=10,a3=12,a4=28,a5=30,a6=36,…,将数列{an}中各项按照上小下大,左小右大的原则排成如图的等腰直角三角形数表,则a15的值为  

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12.曲线C是平面内到直线l1:x=﹣1和直线l2:y=1的距离之积等于常数k2(k>0)的点的轨迹,下列四个结论:

①曲线C过点(﹣1,1);

②曲线C关于点(﹣1,1)成中心对称;

③若点P在曲线C上,点A、B分别在直线l1、l2上,则|PA|+|PB|不小于2k;

④设P0为曲线C上任意一点,则点P0关于直线l1:x=﹣1,点(﹣1,1)及直线f(x)对称的点分别为P1、P2、P3,则四边形P0P1P2P3的面积为定值4k2;其中,

所有正确结论的序号是  

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单选题 本大题共4小题,每小题5分,共20分。在每小题给出的4个选项中,有且只有一项是符合题目要求。
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13.给定空间中的直线l与平面α,则“直线l与平面α垂直”是“直线l垂直于平面α上无数条直线”的(  )条件.

A充分非必要

B必要非充分

C充要

D既不充分也不必要

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14.已知x、y∈R,且x>y>0,则(  )

A

B

Clog2x+log2y>0

Dsinx﹣siny>0

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15.某几何体的三视图如图所示,则它的体积为(  )

A8﹣

B8﹣

C8﹣2π

D

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16. 已知函数f(x)=(a>0,且a≠1)在R上单调递减,且关于x的方程|f(x)|=2﹣x恰好有两个不相等的实数解,则a的取值范围是(  )

A(0,]

B[]

C[]∪{}

D[)∪{}

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简答题(综合题) 本大题共76分。简答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
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如图,在四棱锥P﹣ABCD中,底面ABCD是矩形,PA⊥平面ABCD,PB、PD与

平面ABCD所成的角依次是,AP=2,E、F依次是PB、PC的中点;

17.求异面直线EC与PD所成角的大小;(结果用反三角函数值表示)

18.求三棱锥P﹣AFD的体积.

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已知△ABC中,AC=1,,设∠BAC=x,记

19.求函数f(x)的解析式及定义域;

20.试写出函数f(x)的单调递增区间,并求方程的解.

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已知椭圆C以原点为中心,左焦点F的坐标是(﹣1,0),长轴长是短轴长的倍,直线l与椭圆C交于点A与B,且A、B都在x轴上方,满足∠OFA+∠OFB=180°;

21.求椭圆C的标准方程;

22.对于动直线l,是否存在一个定点,无论∠OFA如何变化,直线l总经过此定点?若存在,求出该定点的坐标;若不存在,请说明理由.

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已知函数g(x)=ax2﹣2ax+1+b(a>0)在区间[2,3]上的最大值为4,最小值为1,记f(x)=g(|x|),x∈R;

23.求实数a、b的值;

24.若不等式对任意x∈R恒成立,求实数k的范围;

25.对于定义在[p,q]上的函数m(x),设x0=p,xn=q,用任意xi(i=1,2,…,n﹣1)将[p,q]划分成n个小区间,其中xi﹣1<xi<xi+1,若存在一个常数M>0,使得不等式|m(x0)﹣m(x1)|+|m(x1)﹣m(x2)|+…+|m(xn﹣1)﹣m(xn)|≤M恒成立,则称函数m(x)为在[p,q]上的有界变差函数,试证明函数f(x)是在[1,3]上的有界变差函数,并求出M的最小值.

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数列{bn}的前n项和为Sn,且对任意正整数n,都有

26.试证明数列{bn}是等差数列,并求其通项公式;

27.如果等比数列{an}共有2017项,其首项与公比均为2,在数列{an}的每相邻两项ai与ai+1之间插入i个(﹣1)ibi(i∈N*)后,得到一个新数列{cn},求数列{cn}中所有项的和;

28.如果存在n∈N*,使不等式成立,若存在,求实数λ的范围,若不存在,请说明理由.

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