14.设为非空数集,若
,都有
,则称
为封闭集.下列命题
①实数集是封闭集;
②全体虚数组成的集合是封闭集;
③封闭集一定是无限集;
④若为封闭集,则一定有
;
⑤若为封闭集,且满足
,则集合
也是封闭集,
其中真命题是( ).
15. 在△ABC中,a,b,c分别为内角A,B,C的对边,且b2+c2-a2=bc.
(Ⅰ)求角A的大小;
(Ⅱ)设函数,当
取最大值
时,判断△ABC的形状;
(Ⅲ)求函数的最小正周期和最大值及最小值.
17. 甲、乙、丙三人独立破译同一份密码,已知甲、乙、丙各自破译出密码的概率分别为.且他们是否破译出密码互不影响.若三人中只有甲破译出密码的概率为
.
(Ⅰ)求甲乙二人中至少有一人破译出密码的概率;
(Ⅱ)求的值;
(Ⅲ)设甲、乙、丙三人中破译出密码的人数为,求
的分布列和数学期望
.
18. 已知函数.
(Ⅰ)若曲线在点
处的切线与直线
垂直,求函数
的单调区间;
(Ⅱ)若对于都有
成立,试求
的取值范围;
(Ⅲ)记.当
时,函数
在区间
上有两个零点,求实数
的取值范围.
19. 已知椭圆的离心率为
,且两个焦点和短轴的一个端点是一个等腰三角形的顶点.斜率为
的直线
过椭圆的上焦点且与椭圆相交于
,
两点,线段
的垂直平分线与
轴相交于点
.
(Ⅰ)求椭圆的方程;
(Ⅱ)求的取值范围;
(Ⅲ)试用表示△
的面积,并求面积的最大值.
20. 将这
个数随机排成一列,得到的一列数
称为
的一个排列.
定义为排列
的波动强度.
(Ⅰ)当时,写出排列
的所有可能情况及所对应的波动强度;
(Ⅱ)当时,求
的最大值,并指出所对应的一个排列;
(Ⅲ)当时,在一个排列中交换相邻两数的位置称为一次调整,若要求每次调整时波动强度不增加,问对任意排列
,是否一定可以经过有限次调整使其波动强度降为9;若可以,给出调整方案,若不可以,请给出反例并加以说明.
16. 如图, 是边长为
的正方形,
平面
,
,
,
与平面
所成角为
.
(Ⅰ)求证:平面
;
(Ⅱ)求二面角的余弦值;
(Ⅲ)设点是线段
上一个动点,试确定点
的位置,使得
平面
,并证明你的结论.