设全集,集合
,则
正确答案
解析
本题主要考察了补集的概念。
两个集合联立可得
已知,则
正确答案
解析
本题主要考察了分段函数的知识点。
将3代入,因为x大于0,所以得
.
已知则不等式
的解集为______.
正确答案
解析
本题主要考察了一元二次不等式的求解。
方程的解为
或
,
故不等式的解集为
,
故答案为:
已知,
,且
是奇函数,则
______.
正确答案
0
解析
本题主要考察了奇函数的性质。
由题可知,F(0)=0,则a=0
故答案为:0.
已知,且
,则k的值为______.
正确答案
15
解析
本题主要考察了平面向量平行的性质。
根据向量平行的坐标表示得到方程,解出即可.
,解得
故答案为:15.
在的二项展开式中,若各项系数和为32,则
项的系数为______.
正确答案
10
解析
本题主要考察了二项式定理的知识点。
由题可知,展开式中各项系数的和是,所以n=5,该二项式的通项公式是
,令
,得
.
已知抛物线上有一点P到准线的距离为9,那么点P到
轴的距离为______.
正确答案
解析
本题主要考察了抛物线的定义以及抛物线方程的应用。
设P坐标为,P到准线的距离为9,即
代入抛物线方程,可得
,则P到
轴的距离为
某校举办科学竞技比赛,有3种题库,A题库有5000道题,B题库有4000道题,C题库有3000道题.小申已完成所有题,他A题库的正确率是0.92,B题库的正确率是0.86,C题库的正确率是0.72.现他从所有的题中随机选一题,正确率是______.
正确答案
解析
本题主要考察了全概率公式的应用。
由题可知,A题库占比为B题库占比为
C题库占比为
已知虚数,其实部为1,且
,则实数
为______.
正确答案
2
解析
本题主要考察了复数的概念以及复数的运算。其中涉及到虚数的实部、复数的加、除法运算,还有根据复数为实数的条件来求解参数等知识点。
设,
因为,所以
,解得
,所以
设集合A中的元素皆为无重复数字的三位正整数,且元素中任意两者之积皆为偶数,求集合中元素个数的最大值______.
正确答案
329
解析
本题主要考察了排列组合以及集合的性质这两个知识点。
由题可知,集合中每个元素都互异的,且元素中最多有一个奇数,剩余全是偶数先研究集合中无重复数字的三位偶数:
(1)若个位为0,这样的偶数有种;
(2)若个位不为0,这样的偶数有种,
所以集合元索个数最大值为256+72+1=329种.
已知点B在点C正北方向,点D在点C的正东方向,,存在点A满足
,则
(精确到0.1度)
正确答案
解析
本题主要考察了三角形的内角定理、外角性质以及特殊角的三角函数等知识点。
不妨设,则
所以在
中,
①
在中,
②
在中,
③
①②③联立
无穷等比数列满足首项
,记
,若对任意正整数n集合
是闭区间,则q的取值范围是______.
正确答案
解析
本题主要考察了无穷等比数列的性质、集合的概念以及区间的相关知识。
由题不妨设,若
均在
,则有
,若
均在
,则有
,若
分别在两个区间则
,又因为
,总有
是闭区间,则
恒成立即可,化简得
,所以有
恒成立.
已知气候温度和海水表层温度相关,且相关系数为正数,对此描述正确的是()
正确答案
解析
本题主要考察了相关系数的意义以及对数据变化趋势的理解。通过相关系数的正负来判断两个变量之间变化趋势的一致性或相反性。同时也涉及到对气候温度和海水表层温度关系的分析推理能力。
对于AB,当气候温度高,海水表层温度变高变低不确定,故AB错误.
对于CD,因为相关系数为正,故随着气候温度由低到高时,海水表层温度呈上升趋势,
故C正确,D错误.
故选:C.
下列函数的最小正周期是
的是()
正确答案
解析
本题主要考察了三角函数的化简、三角函数的周期性这些知识点。
对于A,,则
,满足条件,故A正确;对于B,
,则
,不满足条件,故B错误;对于C,
为常值函数,则不存在最小正周期,不满足条件,故C错误;对于D,
,则
不满足条件,D错误;故答案选A.
定义一个集合,集合中的元素是空间内的点集,任取
,存在不全为0的实数
,使得
.已知
,则
的充分条件是()
正确答案
解析
本题主要考察了空间向量以及集合的相关知识点。
因为不全为0,
所以三个向量无法构成三维空间坐标系的一组基,又因为
所以对于
,三者可以构成一组基,故不能推出
故A错误;
对于B,若(1,0,0),(-1,0,0)均属于且(1,0,0),(-1,0,0)共线,所以
可以属于
此时三者不共面。故B错误;对于C,显然三者可以构成一组基,与条件不符合,故可以推出
故C正确;对于
,三者无法构成一组基,故不能推出
故D错误,故答案选C.
已知函数的定义域为R,定义集合
,在使得
的所有
中,下列成立的是()
正确答案
解析
本题主要考察了函数的定义域、单调性、奇偶性、极值以及最值等知识点。同时还需要对集合的概念有深入理解,通过集合来描述函数的一些性质。
时,
又因为
所以
当
且
时,
恒成立,说明在
上,函数单调递增,故A错误:对于
且在
上,函数单调递增,故函数在
上最大值为
若数
在
时,
则M的集合不会是
所以在1处取到极大值,在2处不一定取最大值,故B错误;
对于C,在时,若函数
严格增,则集合M的取值不会是
而是全体定义域,故C错误.
对于D,因为当时,
所以-1左侧不是单调递减,若左侧单调递增,或者在某一段单调递增,则M的集合不会是
,所以在-1左侧相邻一段是常函数,又因为在
上,函数单调递增,故D正确
如图为正四棱锥为底面ABCD的中心.
(1)若,求
绕
旋转一周形成的几何体的体积;
(2)若为
的中点,求直线
与平面
所成角的大小.
正确答案
(1)
(2)
解析
本题主要考察了正四棱锥的性质、圆锥的体积计算、空间直角坐标系的建立、利用空间向量求线面角等知识点。
(1)因为是正四棱锥,所以底面
是正方形,且
底面
,
因为,所以
因为,所以
所以绕
旋转一周形城的几何体是以3为底面半径,4为高的圆锥,
所以
(2)如图建立空间直角坐标,因为.由题知
是正四棱锥,所以该四棱锥各棱长相等,设
则
则可得
故
设为平面
的法向量,则
令则
所以
则=
设直线BD与平面所成角为
因为
,
,
所以.
若.
(1)过(4,2),求
的解集;
(2)存在使得
成等差数列,求a的取值范围.
正确答案
(1)
(2)
解析
本题主要考察了对数函数的性质,包括对数函数过定点、单调性,以及等差数列的概念,还有方程有解问题等知识点。
(1)由过(4.2)可得
,则
又a>0,故a=2,因为
在
上是严格增函数,
所以解集为(1,2).
(2)因为成等差数列,所以
即有解,化简可得
得
,且
,则
在
上有解,又
故在
上,
,即
或
,又
,所以
.
为了解某地初中学生体育锻炼时长与学业成绩的关系,从该地区29000名学生中抽取580人,得到日均体育锻炼时长与学业成绩的数据如下表所示:
(1)该地区29000名学生中体育锻炼时长不少于1小时人数约为多少?
(2)估计该地区初中学生日均体育锻炼的时长(精确到0.1)
(3)是否有的把握认为学业成绩优秀与日均体育锻炼时长不小于1小时且小于2小时有关?
(附:其中
,
.)
正确答案
(1)12500
(2)0.9h
(3)学业成绩优秀与日均体育锻炼时长不小于1小时且小于2小时有关。
解析
题主要考察了统计相关的知识点,包括通过样本数据计算比例来估计总体情况;计算样本的平均值来估计总体的平均时长;以及通过独立性检验来判断两个变量之间是否有关联。
(1)580人中体育锻炼时长不小于1小时人数占比,该地区29000名初中学生中体育锻炼时长不小于1小时的人数约为
人。
(2)
.
(3)
①提出原假设成绩优秀与日均体育锻炼时长不小于1小时且小于2小时无关。
②确定显著性水平
③
④否定原假设,即学业成绩优秀与日均体育锻炼时长不小于1小时但小于2小时有关。
已知双曲线左右顶点分别为
过点
的直线
交双曲线
于
两点.
(1)若离心率时,求
的值.
(2)若为等腰三角形时,且点
在第一象限,求点
的坐标.
(3)连接并延长,交双曲线
于点R,若
,求b的取值范围.
正确答案
(1)
(2)
(3)
解析
本题主要考察了双曲线的性质,如离心率、顶点坐标等,还涉及到直线与双曲线的位置关系,以及等腰三角形的性质、向量的数量积等知识点。
(1)因为,即
,所以
因为
,所以
因为所以
所以
(负舍)
(2)因为为等腰三角形
①若为底,则点P在直线
时。与P在第一象限矛盾,故舍去
②若为底,则
,与
矛盾,故舍去.
③若为底,则
设
则,即
,又因为
得,得
,得
即
(3)由设
则
设直线
联立,则
,
又由
得
即
,即
化简后可得到
再由韦达定理得化简
所以.
对于一个函数和一个点
,令
,若
取到最小值的点,则称
是
在
的“最近点”.
(1)对于,求证:对于点
,存在点
,使得点
是
在
的“最近点”;
(2)对于请判断是否存在一个点P,它是M在
的“最近点”,且直线MP与
在点P处的切线垂直;
(3)已知在定义域R上存在导函数
,且函数
在定义域R上恒正,设点
若对任意的
存在点O同时是
在
的“最近点”,试判断
的单调性.
正确答案
(1)证明见解析
(2)存在,
(3)严格单调递减
解析
本题主要考察了函数的最值、导数的应用、新定义问题等知识点。
(1)证明当且仅当
即
时取到最小值,所以对于点
存在点
使得P是M在
的最近点.
(2)
所以当时,
取到最小值,此时点
在点P处的切为
此时
所以存在点P(0,1)使得直线MP于
在点
处的切线垂直.
(3)对于的
且其有导数
恒取正值,
,对于
,都存在对应的P使得
为
到
的最近值,
为
到
的最近值,和
的单调性。
为定义在
上可导,对于
,则
取到最小值是对应的.
,P点处切线
.引理:设
为定义在R函数具有导函数,对于
,则
取到最小值时对应的
的切线满足
.
引理证明:,故
当
在
处取得最小值时,有
则
又
处切线斜率
故
,引理证毕对于
取
中点
若对应的P与N不重合(p为
到
最近时对应的点)则
由三角形两边之和大于第三边,知矛盾!故P与N重合又
即对
都有
所以
严格单调递减.