2025年高考真题数学

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试卷目录

1、单选题

2、多选题

3、填空题

4、简答题

真题试卷
模拟试卷

单选题本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的4个选项中，有且只有一项是符合题目要求。

题型：单选题

分值: 5分

的虚部为( )

A-1

正确答案

解析

本题考查复数的运算及复数的概念.

由复数的乘法运算化简：，由虚部概念得答案

,虚部为.

故选C.

题型：单选题

分值: 5分

正确答案

解析

本题考查补集的运算及集合的列举法.

全集.

又则其元素个数为5个.

故选C.

题型：单选题

分值: 5分

若双曲线虚轴长是实轴长的倍，则离心率为( )

正确答案

解析

本题考查双曲线的离心率以及双曲线的实轴、虚轴

由题意，即。

双曲线离心率为

故选D．

题型：单选题

分值: 5分

已知点是函数的图像的一个对称中心，则 a 的最小值为( )

正确答案

解析

本题考查正切函数的对称性.

由正切函数，的对称中心为，求解.

由题意，，，则，，即的对称中
心为，，. ，a 的最小值为.

故选B.

题型：单选题

分值: 5分

设是定义在上且周期为2的偶函数，当时，，则( )

正确答案

解析

本题考查函数的周期性、奇偶性的应用.

为R的偶函数，

又周期为，

故选A.

题型：单选题

分值: 5分

帆船比赛中，运动员可借助风力计测定风速的大小和方向，测出的结果在航海学中称为视风风速，视风风速对应的向量，是真风风速对应的向量与船行风速对应的向量之和，其中船行风速对应的向量与船速对应的向量大小相等，方向相反。图1给出了部分风力等级、名称与风速大小的对应关系。已知某帆船运动员在某时刻测得的视风风速对应的向量与船速对应的向量如图2(风速的大小和向量的大小相同，单位m/s)，则真风为( )

图1

图2

A轻风

B微风

C和风

D劲风

正确答案

解析

本题考查平面向量的坐标运算、向量的模的实际应用.

由题意视风风速=船速

真风风速

为轻风.

故选A.

题型：单选题

分值: 5分

若圆上到直线的距离为1的点有且仅有2个，则r的取值范围是( )

正确答案

解析

本题考查直线与圆位置关系的应用。

圆，圆心为，半径.
圆心，到直线，即的距离
.

∵圆上到直线距离为1的点仅有2个,
∴，即,
∴,
∴r的取值范围为(1,3).

故选B.

题型：单选题

分值: 5分

若实数 x，y，z 满足，则 x，y，z 的大小关系不可能为( )

正确答案

解析

本题考查对数、指数的互化，排除法的应用.

设，则，，.
令，，，，，A可能.
令，，，，，C可能.
令，，，，，D可能.
综上，本题选B.

多选题本大题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的4个选项中，有多项符合题目要求，全对得6分，选对但不全得3分，有选错的得0分。

题型：多选题

分值: 6分

在正三棱柱中，为中点，则( )

正确答案

B,D

解析

本题考查线面垂直的判定，面面垂直的判定、性质，线面平行的判定，空间向量法判断线线平行或垂直，综合性较强.

设正三角形 ABC 的边长为 2，.
D 为 BC 中点，AD⊥BC.

面 ABC⊥面
又 AD面 ABC，面 ABC面=BC.
AD⊥面
取中点，如图建立空间直角坐标系:
选项 A:.
，
，
AD 与不垂直. A 错误.

选项 B：面 ABC，面 ABC.
.
又，，面.
面，故 B 正确.
选项 C：，，
与不共线，
与不平行. 故 C 错误.
选项 D：，面，面. 面. 故 D 正确.
故选 BD.

题型：多选题

分值: 6分

设抛物线的焦点为，过的直线交于、，过作的垂线交于.过且垂直于的直线交于，则( )

正确答案

A,C,D

解析

本题考查抛物线的几何性质，直线与抛物线的位置关系的应用.

选择题采用特殊位置，特殊值进行验证，比较迅速.
抛物线的焦点,准线为：
选项A：由抛物线定义：得，正确。
选项B：设，，直线方程：
联立消掉得

当，即轴时.
通径，，此时，,故B错误.
选项C：由B项得,C正确。

选项 D：直线 AB：，当 m=0 时，，

当时，直线 EF：。
联立得

即
, D 正确.

题型：多选题

分值: 6分

，，

则( )

正确答案

A,C,D

解析

, A 正确.
选项B，,故B错.
由
，
为锐角，若,则
,
矛盾,舍去,也矛盾.

不妨设

C正确.

,D 正确.
故选 ACD.

填空题本大题共3小题，每小题5分，共15分。把答案填写在题中横线上。

题型：填空题

分值: 5分

若直线是曲线的切线，则 a=______.

正确答案

解析

本题考查导数的几何意义：曲线在某点处的导数等于在该点处切线斜率.

故答案为4.

题型：填空题

分值: 5分

若一个等比数列的前4项和为4，前8项和为68，则该等比数列的公比为______.

正确答案

解析

本题考查等比数列的通项公式：

由题意：

故答案为.

题型：填空题

分值: 5分

一个箱子里有5个球，分别以1～5标号，若有放回取三次，记至少取出一次的球的个数X,则E(X)______.

正确答案

解析

本题考查离散型随机变量的分布列以及期望.

由题意，至少取出一次的球的个数.每个球被取到的概率为

简答题（综合题）本大题共77分。简答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

题型：简答题

分值: 13分

为研究某疾病与超声波检查结果的关系，从做过超声波检查的人群中随机调查了1000人，得到如下的列联表：

（1）记超声波检查结果不正常者患该疾病的概率为，求的值；

（2）根据小概率值的独立性检验，分析超声波结果是否与患该疾病有关

正确答案

（1）

（2）见解析.

解析

本题考查用频率估计概率、独立性检验.

（1）超声波检查结果不正常的有200人,其中患该疾病的有180人

由频率估计概率得: .

（2）假设:超声波检查结果与是否患该疾病无关.

根据小概率值的独立性检验,推断不成立.

即认为超声波检查结果与是否患该病有关.

题型：简答题

分值: 15分

设数列满足

（1）证明:是等差数列；

（2）设

正确答案

（1）见解析.

（2）

解析

本题考查等差数列的判断，错位相减法求和以及导数的运算.

（1）构造出常数的形式.

（2）先对求导得，由①中结论得出中每项为“等差等

比”的形式，两边乘公比，由错位相减法求和.

题型：简答题

分值: 15分

如图所示的四棱锥

（1）证明：

（2）若四点在同一球面上，设该球面的球心O.

（i）证明:O点在面ABCD上.

（ii）求直线与直线所成角的余弦值.

正确答案

（1）见解析.

（2）（i）见解析.

（ii）直线 AC 与 PO 成角余弦值为．

解析

本题考查面面垂直判定,性质,面面垂直的判定,空间向量求直线成角.

（1）证明：∵PA⊥面ABCD，AB⊂面ABCD.
∴PA⊥AB.
又AB⊥AD，PA∩AD=A，PA、AD⊂面PAD.
∴AB⊥面PAD
又AB⊂面PAB
∴面PAB⊥面PAD

（2）
建立空间直角坐标系.

（i）设PBCD的外接球球心球半径为R,

（ii）由（i）得O在AD上且OA=1

题型：简答题

分值: 17分

已知椭圆 C:的离心率为, 下顶点为 A,右顶点为
删除 B,.
（1）求 C 的方程；
（2）已知动点 P 不在 y 轴上,点 R 在射线 AP 上,且满足.
（i）设点 P(m,n),求 R 的坐标(用 m，n 表示);
（ii）设 O 为坐标原点，Q 是 C 上的动点，直线 OQ 的斜率是直线 OP 的斜率的 3 倍，求的最大值.

正确答案

（1）椭圆

（2）（i）点 R 的坐标:

（ii）

解析

（1）椭圆下顶点，右端点，且，

又椭圆离心率
,即

椭圆:

（2）（i）设.

.

（ii）

整理得点 P 在以为圆心,半径为的圆上.
又点 Q 在椭圆 C 上
设

当时.

题型：简答题

分值: 17分

（1）求函在的最大值；

（2）给定证明：存在，使得；
（3）设,若存在使得,对恒成立求 b 的最小值。

正确答案

（1）

（2）见解析

（3）

解析

（1）

（2）证明：不妨设，令，
则．
只需证明：．
而，
，
(ⅰ) 若，则．
令，则；
(ⅱ) 若，令，则且，．
由周期性，，上述结论都成立．
综上，存在，使得．

（3）我们证明：的最小值为．
因为，所以是以为周期的偶函数．
当时，，由(1)进一步得到在上单调递增，
在上单调递减，在上单调递增．由对称性和周期性，且，因此时，，都有，即．
下证对一切，的最大值都超过，即总存在，使得．
由(2)，取，，则存在，使得．
令，则，于是，，
从而，证毕．
综上所述，的最小值为．

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