数学 浦东新区2017年高三第二次模拟考试
精品
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填空题 本大题共12小题,每小题5分,共60分。把答案填写在题中横线上。
1
题型:填空题
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分值: 5分

1. _________________.

正确答案

解析

考查方向

求数列极限

解题思路

先把分子展开,再把分子和分母同时除以,根据求极限的法则计算即可.

易错点

根据分式的性质变形

1
题型:填空题
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分值: 5分

6. 一个总体分为两层,其个体数之比为4:1,用分层抽样方法从总体中抽取一个容量为10的样本,已知层中甲、乙都被抽到的概率为,则总体中的个数为_________________.

正确答案

40

解析

由分层抽样可得B层抽取的个数为

设B层的个体数为,由已知可得:

,解得:

不合题意,舍去,

,即B层的个体数为8,

∴总体中的个数为

考查方向

分层抽样;古典概型

解题思路

先根据分层抽样方法求出B层抽取的个数,再根据古典概型求出B层的个体数,即可得出总体的个数.

易错点

根据古典概型求B层的个体数

1
题型:填空题
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分值: 5分

8. 设的反函数,则的最大值为_________________.

正确答案

解析

为增函数,

也为增函数,且

为增函数,

时,

考查方向

反函数

解题思路

根据反函数的定义求出的定义域、值域及单调性,即可得出所求函数的最大值.

易错点

反函数与原函数的关系

1
题型:填空题
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分值: 5分

正确答案

解析

最小时,

此时,的夹角为

考查方向

平面向量的性质

解题思路

根据求出,从而得出的最小值,从而得出所求的夹角

易错点

求出的夹角为

1
题型:填空题
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分值: 5分

2. 已知角的终边过点,则_________________.

正确答案

解析

到原点的距离

考查方向

任意角三角函数的定义

解题思路

求出点到原点的距离r,再根据任意角三角函数的定义计算

易错点

任意角三角函数的定义中的区别

1
题型:填空题
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分值: 5分

3. 某圆锥底面半径为4,高为3,则此圆锥的侧面积为_________________.

正确答案

解析

∵母线,底面圆的周长

∴此圆锥的侧面积为

考查方向

圆锥的体积和表面积

解题思路

求出圆锥的母线及底面圆的周长,根据扇形面积公式计算即可

易错点

扇形面积公式

1
题型:填空题
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分值: 5分

4. 若是双曲线的两个焦点,点在双曲线上,则的面积为_________________.

正确答案

解析

代入,

考查方向

双曲线的几何性质

解题思路

根据双曲线的几何性质求出c,得出的长,把代入,求出,再根据三角形面积公式计算.

易错点

双曲线中的关系与椭圆中的关系的区别

1
题型:填空题
|
分值: 5分

5. 已知关于的二元一次方程组无解,则_________________.

正确答案

解析

∵关于的二元一次方程组 无解,

∴直线与直线平行,

,且

解得:

考查方向

两直线的位置关系

解题思路

由二元一次方程组无解,可知两直线平行,根据两直线平行的条件求a

易错点

没有考虑到这个条件

1
题型:填空题
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分值: 5分

7. 在的表格上填入数字,设在第行第列所填的数字为,且,则表格中共有5个1的填表方法种数为_________________.

正确答案

326

解析

∵当时,有5种结果;当时,有种组合,

∴表格中共有5个1的填表方法种数为

考查方向

组合

解题思路

分为两种情况,根据分类计数原理及组合知识计算.

易错点

分类计数原理与分步计数原理的使用

1
题型:填空题
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分值: 5分

9. 已知数列的首项,数列为等比数列,且,又,则_________________.

正确答案

4034

解析

……

为等比数列,

考查方向

等比数列的性质

解题思路

根据已知的递推公式得出的表达式,再根据等比数列的性质计算即可.

易错点

推导的表达式

1
题型:填空题
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分值: 5分

11. 定义,已知实数满足,设,则的取值范围为_________________.

正确答案

解析

由已知可得

最大时过点,此时

最小时过点,此时

考查方向

线性规划

解题思路

先根据已知得出z的函数式,再根据线性规划问题求解即可.

易错点

通过定义求出z的函数式表达式

1
题型:填空题
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分值: 5分

正确答案

解析

由已知可得最小正周期

一条对称轴为,一个对称中心为:

所以最小周期为

考查方向

的图象和性质

解题思路

根据已知条件求出对称轴和对称中心,根据的性质即可求出周期.

易错点

根据已知求对称轴和对称中心

单选题 本大题共4小题,每小题5分,共20分。在每小题给出的4个选项中,有且只有一项是符合题目要求。
1
题型: 单选题
|
分值: 5分

13. 已知满足,且,那么下列各式中一定成立的是(   )

A

B

C

D

正确答案

D

解析

可得ac异号,又由,可得a>0,c<0,

A. 由可得,又,所以,A错;

B.由,则,B错;

C.当b=0时,,C错;

D. 因为,所以,D对.

考查方向

不等式的性质

解题思路

根据已知条件得出a>0,c<0,再对每个选项进行判断即可

易错点

在C选项中未考虑到b=0的情况

1
题型: 单选题
|
分值: 5分

14. 二项式展开式中的常数项为(   )

A

B

C

D

正确答案

C

解析

,即时,常数项为

考查方向

二项式定理的通项公式

解题思路

先根据二项式定理的通项公式求出的表达式,再根据已条条件求出,即可得出所求的常数项.

易错点

根据幂的运算法则把化简

1
题型: 单选题
|
分值: 5分

16. 阅读材料:空间直角坐标系中,过点且一个法向量为的平面的方程为;过点且一个方向向量为的直线的方程为;阅读上面材料,并解决下面问题:已知平面的方程为,直线是两平面的交线,则直线与平面所成角的大小为(   )

A

B

C

D

正确答案

A

解析

变形得:

∴平面的一个法向量

由平面变形可得

∴直线的方向向量

设平面的法向量与直线的夹角为,则

直线与平面所成角为:

考查方向

空间向量的应用

解题思路

变形为,得到平面的法向量;由平面变形可得,求得直线的方向向量,再根据向量夹角公式计算.

易错点

求直线的方向向量

1
题型: 单选题
|
分值: 5分

15. 若分别过四个点各作一条直线,所得四条直线恰围成正方形,则该正方形的面积不可能为(   )

A

B

C

D

正确答案

C

解析

如果过点作四条直线构成一个正方形,

点的必须和过的其中一条直线平行和另外两条垂直,

假设过点和点的直线相互平行时,如图,

设直线轴正方向的夹角为,再过作它的平行线,过作它们的垂线,过点轴的平行线分别与于点

因为,所以,则

所以正方形的面积

同理可求,当直线和过的直线平行时正方形的面积

当直线和过点的直线平行时正方形的面积

故选:C.

考查方向

三角恒等变换

解题思路

过其中两点作平行线,设它们的倾斜角为,过其它两点作这两条平行线的垂直,得到矩形,求出矩形的两邻边,再根据这两条邻边相等,得到的值,从而得出所求的面积.

易错点

矩形的边长与的关系

简答题(综合题) 本大题共76分。简答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
1
题型:简答题
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分值: 14分

中,角的对边分别为,已知,且

17.求角的大小;

18.求的面积.

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

解析

,∴

(舍)或

考查方向

二倍角公式

解题思路

根据二倍角公式把左边化简,求出的值.

易错点

二倍角公式的变形

第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

解析

又∵,∴

考查方向

余弦定理及三角形面积公式

解题思路

由余弦定理得到关于ab的等式,再根据求出的值,由三角形面积公式计算即可.

易错点

余弦定理的变形

1
题型:简答题
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分值: 14分

已知关于的方程的两个根是

19.若为虚数且,求实数的值;

20.若,求实数的值.

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

25

解析

,∴

考查方向

复数的乘除法则及复数的几何意义

解题思路

方程的两个根为共轭复数,根据复数的乘除法则及复数的几何意义,可得,再由一元二次方程根与系数的关系即可求出

易错点

共轭复数的性质

第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

3或5

解析

若方程的判别式,即时,则方程有两个实数根

解得:

若方程的判别式,即时,则方程有一对共轭虚根

,解得:

考查方向

一元二次方程根的性质

解题思路

先由一元二次方程根与系数的关系得到,当时,得到,求出;当时,得到,求出

易错点

没有考虑到的情况

1
题型:简答题
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分值: 14分

关于函数的对称性有如下结论:对于给定的函数,如果对于任意都有成立(其中为常数),则函数关于点对称;

21.用题设中的结论证明:函数关于点对称;

22.若函数既关于点对称,又关于点对称,且当时,,求:①的值;②当时,的表达式.

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

解析

易知的定义域为

对任意,有

∴函数关于点对称.

考查方向

函数的对称性

解题思路

根据已知中的结论证明即可.

易错点

的正确理解

第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

①19;②

解析

函数关于点对称,故

又函数关于点对称,得

,即

②当时,

又由得:

即当时,

考查方向

函数的对称性

解题思路

①由函数关于点对称,得,由函数关于点对称,得,由此推出即可;②由可得,从而推出,再由已知的函数式即可得解.

易错点

对题目中函数关系式的理解和运用

1
题型:简答题
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分值: 16分

已知数列满足,其中

23.若数列前四项依次成等差数列,求的值;

24.若,且数列为等比数列,求的值;

25.若,且是数列的最小项,求的取值范围.

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

解析

,

由等差数列知,得

考查方向

等差数列的性质

解题思路

先根据递推公式求得的表达式,再根据等差数列的性质求出

易错点

由递推公式求得的表达式

第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

解析

,得

时,,满足题意;

时,用累加法得,满足题意.

解题思路

由递推公式求得的表达式,再根据等比数列的性质列出关于的方程,求出,最后验证即可.

易错点

由递推公式求出数列的通项公式

第(3)小题正确答案及相关解析

正确答案

解析

时,则恒成立,得恒成立,

,只需求出的最小值,

时,

时,直接验证知

为最小值,其值为,所以

时,需满足恒成立,对一一验证,

综上可得,

考查方向

数列的有界性

解题思路

由累加法可求出的通顶公式,再把作差,由恒成立求出的范围.

易错点

由递推公式求出的通项公式

1
题型:简答题
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分值: 18分

椭圆的左、右焦点分别为,经过点且倾斜角为的直线与椭圆交于两点(其中点轴上方),的周长为8;

26.求椭圆的标准方程;

27.如图,把平面沿轴折起来,使轴正半轴和轴所确定的半平面,与轴负半轴和轴所确定的半平面互相垂直;

① 若,求异面直线所成角的大小;

② 若折叠后的周长为,求的大小.

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

解析

的周长为8,

,则

∴椭圆的标准方程为:

考查方向

椭圆的几何性质

解题思路

根据椭圆的定义求出,再由椭圆的性质求出

易错点

椭圆中的关系

第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

;②

解析

① 直线联立,

求得

如图建立空间直角坐标系:

在空间直角坐标系中,

异面直线所成角为,则

∴所求的角为

②设A,B在新图形中的对应点记为

得:

设折叠前

直线与椭圆联立方程

在空间直角坐标系中,

, ()

所以, ()

由()()可得

,

解得:,故

考查方向

直线与椭圆的综合运用

解题思路

①先在平面直角坐标系中求出A,B的坐标,再建立空间直角坐标系,求出向量的坐标,根据向量夹角公式计算即可;②设直线的方程为,A,B在新图形中的对应点记为,得出,再根据把它转化为关于的方程,求出即可得所求的倾斜角

易错点

式子的变形及计算

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