数学 热门试卷

（1）因为椭圆C的焦点为，

可设椭圆C的方程为．又点在椭圆C上，

所以，解得

因此，椭圆C的方程为．

因为圆O的直径为，所以其方程为．

（2）①设直线l与圆O相切于，则，

所以直线l的方程为，即．

由，消去y，得

．（*）

因为直线l与椭圆C有且只有一个公共点，

所以．

因为，所以．

因此，点P的坐标为．

②因为三角形OAB的面积为，所以，从而．

设，

由（*）得，

所以

．

因为，

所以，即，

解得舍去），则，因此P的坐标为．

综上，直线l的方程为．

（1）函数f（x）=x，g（x）=x2+2x-2，则f′（x）=1，g′（x）=2x+2．

由f（x）=g（x）且f′（x）= g′（x），得

，此方程组无解，

因此，f（x）与g（x）不存在“S”点．

（2）函数，，

则．

设x0为f（x）与g（x）的“S”点，由f（x0）=g（x0）且f′（x0）=g′（x0），得

，即，（*）

得，即，则．

当时，满足方程组（*），即为f（x）与g（x）的“S”点．

因此，a的值为．

（3）对任意a>0，设．

因为，且h（x）的图象是不间断的，

所以存在∈（0，1），使得，令，则b>0．

函数，

则．

由f（x）=g（x）且f′（x）=g′（x），得

，即（**）

此时，满足方程组（**），即是函数f（x）与g（x）在区间（0，1）内的一个“S点”．

因此，对任意a>0，存在b>0，使函数f（x）与g（x）在区间（0，+∞）内存在“S点”．

（1）在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，AB∥A1B1．

因为AB平面A1B1C，A1B1平面A1B1C，

所以AB∥平面A1B1C．

（2）在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，四边形ABB1A1为平行四边形．

又因为AA1=AB，所以四边形ABB1A1为菱形，

因此AB1⊥A1B．

又因为AB1⊥B1C1，BC∥B1C1，

所以AB1⊥BC．

又因为A1B∩BC=B，A1B平面A1BC，BC平面A1BC，

所以AB1⊥平面A1BC．

因为AB1平面ABB1A1，

所以平面ABB1A1⊥平面A1BC．

（1）因为，，所以．

因为，所以，

因此，．

（2）因为为锐角，所以．

又因为，所以，

因此．

因为，所以，

因此，．

（1）连结PO并延长交MN于H，则PH⊥MN，所以OH=10．

过O作OE⊥BC于E，则OE∥MN，所以∠COE=θ，

故OE=40cosθ，EC=40sinθ，

则矩形ABCD的面积为2×40cosθ（40sinθ+10）=800（4sinθcosθ+cosθ），

△CDP的面积为×2×40cosθ（40–40sinθ）=1600（cosθ–sinθcosθ）．

过N作GN⊥MN，分别交圆弧和OE的延长线于G和K，则GK=KN=10．

令∠GOK=θ0，则sinθ0=，θ0∈（0，）．

当θ∈[θ0，）时，才能作出满足条件的矩形ABCD，

所以sinθ的取值范围是[，1）．

答：矩形ABCD的面积为800（4sinθcosθ+cosθ）平方米，△CDP的面积为

1600（cosθ–sinθcosθ），sinθ的取值范围是[，1）．

（2）因为甲、乙两种蔬菜的单位面积年产值之比为4∶3，

设甲的单位面积的年产值为4k，乙的单位面积的年产值为3k（k>0），

则年总产值为4k×800（4sinθcosθ+cosθ）+3k×1600（cosθ–sinθcosθ）

=8000k（sinθcosθ+cosθ），θ∈[θ0，）．

设f（θ）= sinθcosθ+cosθ，θ∈[θ0，），

则．

令，得θ=，

当θ∈（θ0，）时，，所以f（θ）为增函数；

当θ∈（，）时，，所以f（θ）为减函数，

因此，当θ=时，f（θ）取到最大值．

答：当θ=时，能使甲、乙两种蔬菜的年总产值最大．

（1）由条件知：．

因为对n=1，2，3，4均成立，

即对n=1，2，3，4均成立，

即11，1d3，32d5，73d9，得．

因此，d的取值范围为．

（2）由条件知：．

若存在d，使得（n=2，3，···，m+1）成立，

即，

即当时，d满足．
因为，则，

从而，，对均成立．

因此，取d=0时，对均成立．

下面讨论数列的最大值和数列的最小值（）．

①当时，，
当时，有，从而．

因此，当时，数列单调递增，

故数列的最大值为．

②设，当x>0时，，

所以单调递减，从而<f（0）=1．

当时，，

因此，当时，数列单调递减，

故数列的最小值为．

因此，d的取值范围为．

如图，在正三棱柱ABC−A1B1C1中，设AC，A1C1的中点分别为O，O1，则OB⊥OC，OO1⊥OC，OO1⊥OB，以为基底，建立空间直角坐标系O−xyz．

因为AB=AA1=2，

所以．

（1）因为P为A1B1的中点，所以，

从而，

故．

因此，异面直线BP与AC1所成角的余弦值为．

（2）因为Q为BC的中点，所以，

因此，．

设n=（x，y，z）为平面AQC1的一个法向量，

则即

不妨取，

设直线CC1与平面AQC1所成角为，

则，

所以直线CC1与平面AQC1所成角的正弦值为．

A．[选修4—1：几何证明选讲]

本小题主要考查圆与三角形等基础知识，考查推理论证能力．满分10分．

连结OC．因为PC与圆O相切，所以OC⊥PC．

又因为PC=，OC=2，

所以OP==4．

又因为OB=2，从而B为Rt△OCP斜边的中点，所以BC=2．

B．[选修4—2：矩阵与变换]

本小题主要考查矩阵的运算、线性变换等基础知识，考查运算求解能力．满分10分．

（1）因为，，所以A可逆，

从而．

（2）设P(x，y)，则，所以，

因此，点P的坐标为(3，–1)．

C．[选修4—4：坐标系与参数方程]

本小题主要考查曲线的极坐标方程等基础知识，考查运算求解能力．满分10分．

因为曲线C的极坐标方程为，

所以曲线C的圆心为（2，0），直径为4的圆．

因为直线l的极坐标方程为，

则直线l过A（4，0），倾斜角为，

所以A为直线l与圆C的一个交点．

设另一个交点为B，则∠OAB=．

连结OB，因为OA为直径，从而∠OBA=，

所以．

因此，直线l被曲线C截得的弦长为．

D．[选修4—5：不等式选讲]

本小题主要考查柯西不等式等基础知识，考查推理论证能力．满分10分．

由柯西不等式，得．

因为，所以，

当且仅当时，不等式取等号，此时，

所以的最小值为4．