• 2021年高考真题 数学 (北京卷)
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单选题 本大题共10小题,每小题4分,共40分。在每小题给出的4个选项中,有且只有一项是符合题目要求。
1

1. 已知集合,则(    )

A

B

C

D

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1

2. 在复平面内,复数满足,则(    )

A

B

C

D

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1

3. 已知是定义在上的函数,那么“函数上单调递增”是“函数上的最大值为”的(    )

A充分而不必要条件

B必要而不充分条件

C充分必要条件

D既不充分也不必要条件

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1

4. 某四面体的三视图如图所示,该四面体的表面积为(    )

A

B4

C

D2

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1

5. 双曲线过点,且离心率为,则该双曲线的标准方程为(    )

A

B

C

D

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1

6. 是两个等差数列,其中为常值,,则(    )

A

B

C

D

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1

7. 函数,试判断函数的奇偶性及最大值(    )

A奇函数,最大值为2

B偶函数,最大值为2

C奇函数,最大值为

D偶函数,最大值为

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1

8. 定义:24小时内降水在平地上积水厚度()来判断降雨程度.其中小雨(),中雨(),大雨(),暴雨(),小明用一个圆锥形容器接了24小时的雨水,如图,则这天降雨属于哪个等级( )

A小雨

B中雨

C大雨

D暴雨

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1

9. 已知圆,直线,当变化时,截得圆弦长的最小值为2,则(    )

A

B

C

D

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1

10. 数列是递增的整数数列,且,则的最大值为(    )

A9

B10

C11

D12

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填空题 本大题共5小题,每小题5分,共25分。把答案填写在题中横线上。
1

11. 展开式中常数项为__________.

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1

12. 已知抛物线,焦点为,点为抛物线上的点,且,则的横坐标是_______;作轴于,则_______.

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1

13. ,则_______;_______.

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1

14. 若点与点关于轴对称,写出一个符合题意的___.

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1

15. 已知函数,给出下列四个结论:

①若,则有两个零点;

,使得有一个零点;

,使得有三个零点;

,使得有三个零点.

以上正确结论得序号是_______.

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简答题(综合题) 本大题共85分。简答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
1

16. 已知在中,

(1)求的大小;

(2)在下列三个条件中选择一个作为已知,使存在且唯一确定,并求出边上中线的长度.

;②周长为;③面积为

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1

17. 已知正方体,点中点,直线交平面于点

(1)证明:点的中点;

(2)若点为棱上一点,且二面角的余弦值为,求的值.

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1

18. 为加快新冠肺炎检测效率,某检测机构采取“k合1检测法”,即将k个人的拭子样本合并检测,若为阴性,则可以确定所有样本都是阴性的;若为阳性,则还需要对本组的每个人再做检测.现有100人,已知其中2人感染病毒.

(1)①若采用“10合1检测法”,且两名患者同一组,求总检测次数;

②已知10人分成一组,分10组,两名感染患者在同一组的概率为,定义随机变量X为总检测次数,求检测次数X的分布列和数学期望E(X);

(2)若采用“5合1检测法”,检测次数Y的期望为E(Y),试比较E(X)和E(Y)的大小(直接写出结果).

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1

19. 已知函数

(1)若,求处切线方程;

(2)若函数处取得极值,求的单调区间,以及最大值和最小值.

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1

20. 已知椭圆过点,以四个顶点围成的四边形面积为

(1)求椭圆E的标准方程;

(2)过点P(0,-3)的直线l斜率为k,交椭圆E于不同的两点BC,直线ABACy=-3于点MN,直线ACy=-3于点N,若|PM|+|PN|≤15,求k的取值范围.

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1

21. 定义数列:对实数p,满足:①;②;③

(1)对于前4项2,-2,0,1的数列,可以是数列吗?说明理由;

(2)若数列,求值;

(3)是否存在p,使得存在数列,对?若存在,求出所有这样的p;若不存在,说明理由.

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