1. 已知集合,
,则
( )
正确答案
解析
结合题意利用并集的定义计算即可.
【详解】由题意可得:,即
.
故选:B.
2. 在复平面内,复数满足
,则
( )
正确答案
解析
由题意利用复数的运算法则整理计算即可求得最终结果.
【详解】由题意可得:.
故选:D.
3. 已知是定义在上
的函数,那么“函数
在
上单调递增”是“函数
在
上的最大值为
”的( )
正确答案
解析
利用两者之间的推出关系可判断两者之间的条件关系.
【详解】若函数在
上单调递增,则
在
上的最大值为
,
若在
上的最大值为
,
比如,
但在
为减函数,在
为增函数,
故在
上的最大值为
推不出
在
上单调递增,
故“函数在
上单调递增”是“
在
上的最大值为
”的充分不必要条件,
故选:A.
4. 某四面体的三视图如图所示,该四面体的表面积为( )
正确答案
解析
根据三视图可得如图所示的几何体(三棱锥),根据三视图中的数据可计算该几何体的表面积.
【详解】根据三视图可得如图所示的几何体-正三棱锥,
其侧面为等腰直角三角形,底面等边三角形,
由三视图可得该正三棱锥的侧棱长为1,
故其表面积为,
故选:A.
5. 双曲线过点
,且离心率为
,则该双曲线的标准方程为( )
正确答案
解析
分析可得,再将点
代入双曲线的方程,求出
的值,即可得出双曲线的标准方程.
【详解】,则
,
,则双曲线的方程为
,
将点的坐标代入双曲线的方程可得
,解得
,故
,
因此,双曲线的方程为.
故选:A.
6. 和
是两个等差数列,其中
为常值,
,
,
,则
( )
正确答案
解析
由已知条件求出的值,利用等差中项的性质可求得
的值.
【详解】由已知条件可得,则
,因此,
.
故选:B.
7. 函数,试判断函数的奇偶性及最大值( )
正确答案
解析
由函数奇偶性的定义结合三角函数的性质可判断奇偶性;利用二倍角公式结合二次函数的性质可判断最大值.
【详解】由题意,,所以该函数为偶函数,
又,
所以当时,
取最大值
.
故选:D.
8. 定义:24小时内降水在平地上积水厚度()来判断降雨程度.其中小雨(
),中雨(
),大雨(
),暴雨(
),小明用一个圆锥形容器接了24小时的雨水,如图,则这天降雨属于哪个等级( )
正确答案
解析
计算出圆锥体积,除以圆面的面积即可得降雨量,即可得解.
【详解】由题意,一个半径为的圆面内的降雨充满一个底面半径为
,高为
的圆锥,
所以积水厚度,属于中雨
故选:B.
9. 已知圆,直线
,当
变化时,
截得圆
弦长的最小值为2,则
( )
正确答案
解析
先求得圆心到直线距离,即可表示出弦长,根据弦长最小值得出
【详解】由题可得圆心为,半径为2,
则圆心到直线的距离,
则弦长为,
则当时,弦长取得最小值为
,解得
.
故选:C.
10. 数列是递增的整数数列,且
,
,则
的最大值为( )
正确答案
解析
使数列首项、递增幅度均最小,结合等差数列的通项及求和公式即可得解.
【详解】若要使n尽可能的大,则,递增幅度要尽可能小,
不妨设数列是首项为3,公差为1的等差数列,其前n项和为
,
则,
,
,
所以n的最大值为11.
故选:C.
第二部分(非选择题共110分)
11. 展开式中常数项为__________.
正确答案
解析
【详解】试题分析:的展开式的通项
令
得常数项为
.
教师点评
二项式定理.
12. 已知抛物线,焦点为
,点
为抛物线
上的点,且
,则
的横坐标是_______;作
轴于
,则
_______.
正确答案
①. 5 ②.
解析
根据焦半径公式可求的横坐标,求出纵坐标后可求
.
【详解】因为抛物线的方程为,故
且
.
因为,
,解得
,故
,
所以,
故答案为:5,.
13. ,
,
,则
_______;
_______.
正确答案
①. 0 ②. 3
解析
根据坐标求出,再根据数量积的坐标运算直接计算即可.
【详解】,
,
,
.
故答案为:0;3.
14. 若点与点
关于
轴对称,写出一个符合题意的
___.
正确答案
(满足
即可)
解析
根据在单位圆上,可得
关于
轴对称,得出
求解.
【详解】与
关于
轴对称,
即关于
轴对称,
,
则,
当时,可取
的一个值为
.
故答案为:(满足
即可).
15. 已知函数,给出下列四个结论:
①若,则
有两个零点;
②,使得
有一个零点;
③,使得
有三个零点;
④,使得
有三个零点.
以上正确结论得序号是_______.
正确答案
①②④
解析
由可得出
,考查直线
与曲线
的左、右支分别相切的情形,利用方程思想以及数形结合可判断各选项的正误.
【详解】对于①,当时,由
,可得
或
,①正确;
对于②,考查直线与曲线
相切于点
,
对函数求导得
,由题意可得
,解得
,
所以,存在,使得
只有一个零点,②正确;
对于③,当直线过点
时,
,解得
,
所以,当时,直线
与曲线
有两个交点,
若函数有三个零点,则直线
与曲线
有两个交点,
直线与曲线
有一个交点,所以,
,此不等式无解,
因此,不存在,使得函数
有三个零点,③错误;
对于④,考查直线与曲线
相切于点
,
对函数求导得
,由题意可得
,解得
,
所以,当时,函数
有三个零点,④正确.
故答案为:①②④.
【点睛】思路点睛:已知函数的零点或方程的根的情况,求解参数的取值范围问题的本质都是研究函数的零点问题,求解此类问题的一般步骤:
(1)转化,即通过构造函数,把问题转化成所构造函数的零点问题;
(2)列式,即根据函数的零点存在定理或结合函数的图象列出关系式;
(3)得解,即由列出的式子求出参数的取值范围.
16. 已知在中,
,
.
(1)求的大小;
(2)在下列三个条件中选择一个作为已知,使存在且唯一确定,并求出
边上
中线的长度.
①;②周长为
;③面积为
;
正确答案
(1);(2)答案不唯一,具体见解析.
解析
(1)由正弦定理化边为角即可求解;
(2)若选择①:由正弦定理求解可得不存在;
若选择②:由正弦定理结合周长可求得外接圆半径,即可得出各边,再由余弦定理可求;
若选择③:由面积公式可求各边长,再由余弦定理可求.
【详解】(1),则由正弦定理可得
,
,
,
,
,
,解得
;
(2)若选择①:由正弦定理结合(1)可得,
与矛盾,故这样的
不存在;
若选择②:由(1)可得,
设的外接圆半径为
,
则由正弦定理可得,
,
则周长,
解得,则
,
由余弦定理可得边上的中线的长度为:
;
若选择③:由(1)可得,即
,
则,解得
,
则由余弦定理可得边上的中线的长度为:
.
17. 已知正方体,点
为
中点,直线
交平面
于点
.
(1)证明:点为
的中点;
(2)若点为棱
上一点,且二面角
的余弦值为
,求
的值.
正确答案
(1)证明见解析;(2).
解析
(1)首先将平面进行扩展,然后结合所得的平面与直线
的交点即可证得题中的结论;
(2)建立空间直角坐标系,利用空间直角坐标系求得相应平面的法向量,然后解方程即可求得实数的值.
【详解】(1)如图所示,取的中点
,连结
,
由于为正方体,
为中点,故
,
从而四点共面,即平面CDE即平面
,
据此可得:直线交平面
于点
,
当直线与平面相交时只有唯一的交点,故点与点
重合,
即点为
中点.
(2)以点为坐标原点,
方向分别为
轴,
轴,
轴正方形,建立空间直角坐标系
,
不妨设正方体的棱长为2,设,
则:,
从而:,
设平面的法向量为:
,则:
,
令可得:
,
设平面的法向量为:
,则:
,
令可得:
,
从而:,
则:,
整理可得:,故
(
舍去).
【点睛】本题考查了立体几何中的线面关系和二面角的求解问题,意在考查学生的空间想象能力和逻辑推理能力,对于立体几何中角的计算问题,往往可以利用空间向量法,通过求解平面的法向量,利用向量的夹角公式求解.
18. 为加快新冠肺炎检测效率,某检测机构采取“k合1检测法”,即将k个人的拭子样本合并检测,若为阴性,则可以确定所有样本都是阴性的;若为阳性,则还需要对本组的每个人再做检测.现有100人,已知其中2人感染病毒.
(1)①若采用“10合1检测法”,且两名患者同一组,求总检测次数;
②已知10人分成一组,分10组,两名感染患者在同一组的概率为,定义随机变量X为总检测次数,求检测次数X的分布列和数学期望E(X);
(2)若采用“5合1检测法”,检测次数Y的期望为E(Y),试比较E(X)和E(Y)的大小(直接写出结果).
正确答案
(1)①次;②分布列见解析;期望为
;(2)见解析.
解析
(1)①由题设条件还原情境,即可得解;
②求出X的取值情况,求出各情况下的概率,进而可得分布列,再由期望的公式即可得解;
(2)求出,分类即可得解.
【详解】(1)①对每组进行检测,需要10次;再对结果为阳性的组每个人进行检测,需要10次;
所以总检测次数为20次;
②由题意,可以取20,30,
,
,
则的分布列:
所以;
(2)由题意,可以取25,30,设两名感染者在同一组的概率为p,
,
,
则,
若时,
;
若时,
;
若时,
.
19. 已知函数.
(1)若,求
在
处切线方程;
(2)若函数在
处取得极值,求
的单调区间,以及最大值和最小值.
正确答案
(1);(2)函数
的增区间为
、
,单调递减区间为
,最大值为
,最小值为
.
解析
(1)求出、
的值,利用点斜式可得出所求切线的方程;
(2)由可求得实数
的值,然后利用导数分析函数
的单调性与极值,由此可得出结果.
【详解】(1)当时,
,则
,
,
,
此时,曲线在点
处的切线方程为
,即
;
(2)因为,则
,
由题意可得,解得
,
故,
,列表如下:
所以,函数的增区间为
、
,单调递减区间为
.
当时,
;当
时,
.
所以,,
.
20. 已知椭圆过点
,以四个顶点围成的四边形面积为
.
(1)求椭圆E的标准方程;
(2)过点P(0,-3)的直线l斜率为k,交椭圆E于不同的两点B,C,直线AB,AC交y=-3于点M、N,直线AC交y=-3于点N,若|PM|+|PN|≤15,求k的取值范围.
正确答案
(1);(2)
.
解析
(1)根据椭圆所过的点及四个顶点围成的四边形的面积可求,从而可求椭圆的标准方程.
(2)设,求出直线
的方程后可得
的横坐标,从而可得
,联立直线
的方程和椭圆的方程,结合韦达定理化简
,从而可求
的范围,注意判别式的要求.
【详解】(1)因为椭圆过,故
,
因为四个顶点围成的四边形的面积为,故
,即
,
故椭圆的标准方程为:.
(2)
设,
因为直线的斜率存在,故
,
故直线,令
,则
,同理
.
直线,由
可得
,
故,解得
或
.
又,故
,所以
又
故即
,
综上,或
21. 定义数列
:对实数p,满足:①
,
;②
;③
,
.
(1)对于前4项2,-2,0,1的数列,可以是数列吗?说明理由;
(2)若是
数列,求
值;
(3)是否存在p,使得存在数列
,对
?若存在,求出所有这样的p;若不存在,说明理由.
正确答案
(1)不可以是数列;理由见解析;(2)
;(3)存在;
.
解析
(1)由题意考查的值即可说明数列不是
数列;
(2)由题意首先确定数列的前4项,然后讨论计算即可确定的值;
(3)构造数列,易知数列
是
的,结合(2)中的结论求解不等式即可确定满足题意的实数
的值.
【详解】(1)由性质③结合题意可知,
矛盾,故前4项的数列,不可能是
数列.
(2)性质①,
由性质③,因此
或
,
或
,
若,由性质②可知
,即
或
,矛盾;
若,由
有
,矛盾.
因此只能是.
又因为或
,所以
或
.
若,则
,
不满足,舍去.
当,则
前四项为:0,0,0,1,
下面用纳法证明:
当时,经验证命题成立,假设当
时命题成立,
当时:
若,则
,利用性质③:
,此时可得:
;
否则,若,取
可得:
,
而由性质②可得:,与
矛盾.
同理可得:
,有
;
,有
;
,又因为
,有
即当时命题成立,证毕.
综上可得:,
.
(3)令,由性质③可知:
,
由于,
因此数列为
数列.
由(2)可知:
若;
,
,
因此,此时
,
,满足题意.
【点睛】本题属于数列中的“新定义问题”,“新定义”主要是指即时定义新概念、新公式、新定理、新法则、新运算五种,然后根据此新定义去解决问题,有时还需要用类比的方法去理解新的定义,这样有助于对新定义的透彻理解.但是,透过现象看本质,它们考查的还是基础数学知识,所以说“新题”不一定是“难题”,掌握好三基,以不变应万变才是制胜法宝.