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2.已知,则
的值是( )
正确答案
解析
解:,则
故选B
考查方向
解题思路
先用诱导公式求出,将
代入余弦的二倍角展开式
中即可求出.
易错点
三角函数公式很多,容易记不住或记混淆.
3.设为实数,直线
,则“
”是
的( )
正确答案
解析
解:直线
整理为:
时,
,两直线的斜率相等,所以
当时,
,解之得
所以“”是
的充分不必要条件,选A.
考查方向
解题思路
首先从条件推结论,再用结论推条件,然后根据充分必要条件的性质加以判断即可.
易错点
由条件推出结论叫充分条件,由结论反推得到条件叫必要条件.
7.如图,网格纸上小正方形的边长为,粗实线画出的是某几何体的三视图,若该几何体的顶点都在球
的球面上,则球
的表面积为( )
正确答案
解析
解:三棱锥A-BCD,底面为;直角三角形,
镶嵌在长方体中,DC=4,AB=2,BD=2,
三棱锥与长方体的外接球是同一球,半径为
∴该球的表面积为
故选:B
考查方向
解题思路
判断几何体的特征,长方体中的三棱锥,利用长方体的体对角线得出外接球的半径求解即可.
易错点
三视图转化为立体图形.
8.设抛物线的焦点为
,点
为
上一点,若
,则直线
的倾斜角为( )
正确答案
解析
解:焦点F的坐标为,设A点的坐标为
,FA的斜率为
则,解之得
因为在
上,所以
则,即直线
的倾斜角为
或
故选C.
考查方向
解题思路
设A点的坐标为,利用焦半径等于该点到准线的距离,得
求出
,再由
在抛物线上,得
明确直线的斜率等于该直线与坐标轴夹角的正切值,从而求出夹角.
易错点
不会利用焦半径等于点到准线的距离这一条件,从而增加计算难度.
10.已知双曲线,其一渐近线被圆
所截得的弦长等于
,则
的离心率为( )
正确答案
解析
解:依题意可得双曲线的一渐近线方程为
∵圆的半径为3且渐近线被圆截得弦长为4
∴圆心到渐近线的距离为
即
当时,
,此时
当时,
,此时
故选D.
考查方向
解题思路
先根据双曲线方程求得其中一条渐近线方程,根据题意可知圆心到渐近线的距离为,进而表示出圆心到渐近线的距离,求得
的关系,即可求出双曲线的离心率.
易错点
①离心率的公式时不能记颠倒.
②有一定的计算量,容易算错,计算时需耐心.
1.已知集合则
( )
正确答案
解析
解:求,得
求,得
所以
故选C.
考查方向
解题思路
分别求出A,B的集,再根据交集的定义求即可.
易错点
分不清集合类型.
4.已知是定义在
上的奇函数,当
时,
,则
( )
正确答案
解析
解:因为是定义在
上的奇函数
所以,又
时,
所以,则
故选D.
考查方向
解题思路
由题意,此题是一个奇函数且时,
,根据奇函数的性质
,先求
,即可求出
的值.
易错点
不能灵活运用奇函数的性质.
5.我国古代数学著作《孙子算经》中有如下问题:“今有方物一束,外周一匝有三十二枚,问积几何?”设每层外周枚数为,如图是解决该问题的程序框图,则输出的结果为( )
正确答案
解析
解:,而
∴,即循环判断语句循环5次之后便输出
又,∴
,故选B.
考查方向
解题思路
依据题意找出循环结束的条件,再代入即可求出.
易错点
找不到循环结束的条件.
6.从区间中任取两个数,作为直角三角形两直角边的长,则所取得的两个数使得斜边长不大于
的概率是( )
正确答案
解析
解:设直角三角形的直角边长分别为,则斜边长为
,
即
作出图形如图所示,则符合条件的落在扇形OAC内部,
∴斜边的长小于1的概率
故选C.
考查方向
解题思路
设直角三角形的直角边长分别为x,y,则x2+y2<1,作出平面区域,于是概率等于扇形面积与正方形面积的比值.
易错点
不能利用数形结合的思想,将概率转化为面积之比.
9.已知函数,
为
图像的对称中心,若该图像上相邻两条对称轴间的距离为
,则
的单调递增区间是( )
正确答案
解析
解:因为图像上相邻两条对称轴间的距离为
所以它的周期
又为
的对称中心
∴,解之得
∴
要使单调递增,则
整理得
故选C.
考查方向
解题思路
根据已知条件将参数求出来,则
要使单调递增,则
,解之即可.
易错点
若周期函数其图像上相邻两条对称轴间的距离为,则其周期
.
11.某四面体的三视图如图,则该四面体四个面中最大的面积是( )
正确答案
解析
解:由三视图知该几何体为棱锥S-ABD,其中SC⊥平面ABCD;
几何体的直观图如下所示:
四面体S-ABD的四个面中SBD面的面积最大,
三角形SBD是边长为的等边三角形
所以此四面体的四个面中面积最大的为.
故选D.
考查方向
解题思路
由已知画出几何体的直观图,分析出四个面中的最大值,求出面积可得答案.
易错点
无法将三视图转化成为立体图形进行求解.
12.设函数是定义在
上的函数
的导函数,
.当
时,
,若
,则( )
正确答案
解析
解:令,则
∵时
∴时
,即函数
在
上单调递增
当时,
又
∴
∴在
上单调递增
而自变量的值分别为
∴,故选A.
考查方向
解题思路
构造函数,利用已知条件
求出其在
上的单调性,再由
求出
在
上的单调性.
易错点
构造函数.
13.设复数满足
,则
.
正确答案
解析
解:因为
所以
考查方向
解题思路
由题意可得 ,再利用两个复数代数形式的乘除法法则、虚数单位i的幂运算性质,花简求得结果.
易错点
而不是
.
14.若满足约束条件
则
的最大值为 .
正确答案
3
解析
解:由约束条件作出可行域,如下图:
的几何意义为可行域内的动点与原点连线的斜率
考查方向
解题思路
由约束条件作出可行域,再由的几何意义,即可行域内的动点与原点连线的斜率求解.
易错点
无法找出多个条件限制的区域.
15.的内角
的对边分别为
若
,则
面积的最大值为 .
正确答案
解析
∵
∴由余弦定理可得:
∴当且仅当
等号成立,
∴,当且仅当
等号成立,则△ABC面积的最大值为
考查方向
解题思路
由已知化简可得:,由余弦定理可求
,结合范围A∈(0,π),可求得
,由余弦定理,基本不等式可求
,进而利用三角形面积公式即可计算得解.
易错点
不会利用基本不等式对式子进行缩放.
16.在直角梯形中,
的面积为1,
,
,则
.
正确答案
解析
解:设,由
,得
,
如图以AD为纵坐标,AB为横坐标建立坐标系
则
设
则,
,
又,即
∵,∴
,即
联立以上式子得
∴
考查方向
解题思路
建立直角坐标系,将每个点都用坐标表示出来.设,通过已知条件可将其他点用含
的式子表示.
易错点
建立恰当的坐标系是解决本题的关键.
已知数列的前
项和
,其中
为常数,
17.求的值及数列
的通项公式;
18.若,求数列
的前
项和
.
正确答案
详见解析.
解析
解:由已知,有
又
所以
又因为所以
解得
所以
考查方向
解题思路
当时
,当
时
,从而可求出含参数
的通项公式.由
代入通项公式即可求出
的值,进而求出
.
易错点
不知道.
正确答案
详见解析.
解析
解:由(Ⅰ)知
所以
而
所以
所以数列的前
项和
.
考查方向
解题思路
将(Ⅰ)中求出的代入
可得再裂项求和即可求出
.
易错点
不会裂项求和,导致无从下手.
如图,在四棱锥中,四边形
为矩形,
为
的中点,
,
,
22.证明:平面
;
23.若求三菱锥
的体积.
正确答案
详见解析.
解析
解:连接,设
四边形
为矩形,则
为
的中点.
在中,
为
的中点,
又平面
,
平面
,
平面
.
考查方向
解题思路
连接AC交BD于O,则O,E分别为AC,AS中点,EO为△ASC的中位线,从而得到进而可证
平面
.
易错点
无法构造出中位线EO.
正确答案
详见解析.
解析
解:过作
垂足为
平面
平面
又
平面
在中,取
中点
,连接
,则
,
所以三棱锥的体积为
考查方向
解题思路
以C为顶点,BCD为底面求三棱锥C-BDE的体积比较麻烦,故而将其转化为以E为顶点,BCD为底面,过E点做EH⊥AB,则EH为E 到底面BCD的高,△BCD为直角三角形面积容易求出,再代入三棱锥体积公式即可求出三棱锥的体积.
易错点
不知道将三棱锥转化成以E为顶点,BCD为底面.
为了响应我市“创建宜居港城,建设美丽莆田”,某环保部门开展以“关爱木兰溪,保护母亲河”为主题的环保宣传活动,将木兰溪流经市区河段分成段,并组织青年干部职工对每一段的南、北两岸进行环保综合测评,得到分值数据如下表:
19.记评分在以上(包括
)为优良,从中任取一段,求在同一段中两岸环保评分均为优良的概率;
20.根据表中数据完成下面茎叶图;
21.分别估计两岸分值的中位数,并计算它们的平均值,试从计算结果分析两岸环保情况,哪边保护更好.
正确答案
详见解析.
解析
解:从段中任取一段的基本事件为
共
个,这些基本事件是等可能的.
用表示“同一段中两岸环保评分均为优良”的事件,则
包含的基本事件为
共
个,所以
考查方向
解题思路
枚举“同一段中两岸环保评分均为优良”事件
共4个,基本事件的总个数为10,这样就容易求出同一段中两岸环保评分均为优良的概率.
易错点
审题不细心,枚举“同一段中两岸环保评分均为优良”事件时存在过多或遗漏的现象.
正确答案
详见解析.
解析
解:根据表中数据完成下面茎叶图
考查方向
解题思路
根据两组数据即可得到茎叶图.
易错点
统计时出现遗漏或重复.
正确答案
详见解析.
解析
解:南岸段的分值数据的中位数:
南岸段分值数据的平均数:
北岸段分值数据的中位数:
北岸段分值数据的平均数:
由,可看出北岸保护更好.
考查方向
解题思路
求出中位数及平均数,对比即可推出结果.
易错点
求平均数时,粗心大意求错.
已知点P,点
、
分别为椭圆
的左、右顶点,直线
交
于点
,
是等腰直角三角形,且
.
24.求的方程;
25.设过点的动直线
与
相交于
、
两点,当坐标原点
位于以
为直径的圆外时,求直线
斜率的取值范围.
正确答案
见解析
解析
解:由是等腰直角三角形,得
,,
设 ,则由
,得
,
代入椭圆方程得 ,
所以的方程为
,
考查方向
解题思路
是等腰直角三角形P
且A、B关于y轴对称,可求
,设
,则由
得
,代入椭圆方程可求出b,进而求出椭圆方程.
易错点
计算要细心,防止出错.
正确答案
详见解析.
解析
解:依题意得,直线的斜率存在,方程设为
,
联立消去
并整理得:
(*),
因直线与
有两个交点,即方程(*)有不等的两实根,
故,解得
,
设,
,由根与系数的关系得
,
由坐标原点位于以
为直径的圆外
,即
,
又由
解得,
综上可得,则
或
.
则满足条件的斜率的取值范围为.
考查方向
解题思路
设直线方程为,联立椭圆方程,得到含参数k的一元二次方程.由韦达定理可求得
与
及
的值. 由坐标原点
位于以
为直径的圆外
,即
,整理得到一个未知数为k的不等式,解之即可得到答案.
易错点
计算较大,容易出错.
已知函数
26.设函数当
时,讨论
零点的个数;
27.若过点恰有三条直线与曲线
相切,求
的取值范围.
正确答案
2
解析
解:令,解得
,得
,
,
所以是
的零点,
又因为,
当时,
,
在
上单调递减,
的最大值为
,
(1)当时,
,
在
上无零点,
(2)当时,
,
在
上有一个零点,
(3)当时,
,
,
所以在
上有一个零点,
综上,当时,
有一个零点;当
时,
有两个零点.
考查方向
解题思路
当,
,
求出
根的个数即为零点的个数.当
时
利用单调性求出函数的最值,讨论k的值,求零点的个数.
易错点
考虑不周全,遗漏可能情况.
正确答案
a>7/2或a<-1
解析
解:设切点 ,
因为,所以切线的斜率为
,
切线方程,
又因为切线过点,故
,
整理得,(*)
又因为曲线恰有三条切线,即方程(*)有三个不同解,
令,得
,
由,解得
,
.
(1)当时,
在定义域内单调递增,
不可能有两个零点,
方程(*)不可能有两个解,不满足题意.
(2)当时,
(ⅰ)当时,在
,
上,
,
单调递增,在
上,
,
单调递减,
的极大值为
,
的极小值为
,
(ⅱ)当时,在
上,
,
单调递增,在
上
,
单调递减,
的极大值为
,
的极小值为
,
要使方程(*)有三个不同解,则,
即 ,
也即
,解得
或
.
考查方向
解题思路
设切点,求出切线方程
,因为过P点有三根切线,即
有三个不相等解.令
,求出零点,再分类讨论,满足
有三个相等解的
即为所求.
易错点
做题过程中,思想凌乱不知该如何下手.
在直角坐标系中,圆
的方程为
.在以坐标原点
为极点,
轴正半轴为极轴的极坐标系中,直线
的极坐标方程为
.
28.写出圆的参数方程和直线
的普通方程;
29.设点位圆
上的任一点,求点
到直线
距离的取值范围.
正确答案
详见解析.
解析
解:圆的参数方程为为
(
为参数),
直线的普通方程为
.
考查方向
解题思路
C的参数方程为,而
的极坐标方程化简为
,联立以上两式,即可求出直线
的普通方程.
易错点
不明确普通坐标方程和极坐标方程之间的转化关系.
正确答案
详见解析.
解析
解:点为圆
上任一点,可设点
,
则点到直线
的距离为
,
因为,可得
,
所以点到直线
的距离的取值范围为
.
考查方向
解题思路
点为圆
上任一点,可设点
,P点到直线的距离表示成一个含三角函数的式子,由三角函数值的边界性可求得距离
的取值范围.
易错点
将两个不同名三角函数化成同名三角函数时忘了前面的系数.
已知函数.
30.求不等式的解集;
31.设的最小值为
,若
的解集包含
,求
的取值范围.
正确答案
详见解析.
解析
解: ,
当时,由
得
,解得
,所以
,
当时,由
得
,所以无解,
当时,由
得
,解得
,所以
,
所以的解集为
或
.
考查方向
解题思路
将绝对值函数展开成分段函数
再分类讨论函数解的可能性即可.
易错点
在讲绝对值不等式展开时出现错误.
正确答案
详见解析.
解析
解:由绝对值不等式得,
当时,
取得最小值2,即
,
因的解集包含
,即
在
上恒成立
记,其在
上单调递减,
当时,
取得最大值1,所以
,
所以的取值范围是
.
考查方向
解题思路
由绝对值三角不等式可求得的最小值为2,构造函数
,其在
单调递减.要满足
,只要
,所以
的取值范围是
.
易错点
不会用绝对值三角不等死求出M的值.