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2017年高考真题 文科数学 (全国I卷)
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文科数学 热门试卷

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试卷目录
1、单选题
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
2、简答题
13
14
15
16
17
18
19
3、填空题
20
21
22
23
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单选题 本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的4个选项中，有且只有一项是符合题目要求。
1
题型： 单选题
|
分值: 5分

1．已知集合A=，B=，则(        )

AAB=

BAB

CAB

DAB=R

正确答案

A

解析

由得，所以，选A．

考查方向

本题考查的知识点集合的交集和并集运算，难度不大，属于基础题．

解题思路

解不等式求出集合B，结合集合交集和并集的定义，可得结论．

易错点

注意交并集的定义.

1
题型： 单选题
|
分值: 5分

3．下列各式的运算结果为纯虚数的是(      )

Ai(1+i)2

Bi2(1−i)

C(1+i)2

Di(1+i)

正确答案

C

解析

由为纯虚数知选C．

考查方向

本题考查了复数的运算法则、纯虚数的定义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．

解题思路

利用复数的运算法则、纯虚数的定义即可判断出结论．

易错点

纯虚数的定义.

1
题型： 单选题
|
分值: 5分

6．如图，在下列四个正方体中，A，B为正方体的两个顶点，M，N，Q为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线AB与平面MNQ不平行的是(         )

A

B

C

D

正确答案

A

解析

对于B，易知AB∥MQ，则直线AB∥平面MNQ；对于C，易知AB∥MQ，则直线AB∥平面MNQ；对于D，易知AB∥NQ，则直线AB∥平面MNQ．故排除B，C，D，选A．

考查方向

本题考查空间中线面平行的判定定理，利用三角形中位线定理是解决本题的关键，注意解题方法的积累，属于中档题．

解题思路

利用线面平行判定定理可知B、C、D均不满足题意，从而可得答案．

易错点

在解决有关该考点的具体问题时，易出现的问题主要有：（1）对空间线面关系考虑不全面，导致位置关系判断出错，漏掉直线在平面内的情况；（2）在利用空间线面平行与面面平行的性质定理证明空间平行关系时，往往忽略限制条件导致思维过程不严谨，导致误判

1
题型： 单选题
|
分值: 5分

8．函数的部分图像大致为(       )

A

B

C

D

正确答案

C

解析

由题意知，函数为奇函数，故排除B；当时，，故排除D；当时，，故排除A．故选C．

考查方向

本题考查函数的图形的判断，三角函数化简，函数的奇偶性以及函数的特殊点是判断函数的图象的常用方法．

解题思路

判断函数的奇偶性排除选项，利用特殊值判断即可．

易错点

“数形结合”是重要思想方法之一，以其准确、快速、灵活及操作性强等诸多优点颇受数学学习者的青睐。但我们在解题时应充分利用函数性质，画准图形，不能主观臆造，导致图形“失真”，从而得出错误的答案

1
题型： 单选题
|
分值: 5分

10．下面程序框图是为了求出满足的最小偶数n，那么在和两个空白框中，可以分别填入(        )

AA>1000和n=n+1

BA>1000和n=n+2

CA≤1000和n=n+1

DA≤1000和n=n+2

正确答案

D

解析

由题意，因为，且框图中在“否”时输出，所以判定框内不能输入，故填，又要求为偶数且初始值为0，所以矩形框内填，故选D.

考查方向

本题考查程序框图，属于基础题，意在让大部分考生得分．

解题思路

通过要求A＞1000时输出且框图中在“否”时输出确定“”内不能输入“A＞1000”，进而通过偶数的特征确定n=n+2．

易错点

解此类题关键是把握好两种循环结构特点及其它们的区别，设定好两种变量的初始值，根据循环次数确定好控制变量所满足的条件，必要时通过记录循环过程加以检验。

1
题型： 单选题
|
分值: 5分

2．为评估一种农作物的种植效果，选了n块地作试验田．这n块地的亩产量（单位：kg）分别为x1，x2，…，xn，下面给出的指标中可以用来评估这种农作物亩产量稳定程度的是(       )

Ax1，x2，…，xn的平均数

Bx1，x2，…，xn的标准差

Cx1，x2，…，xn的最大值

Dx1，x2，…，xn的中位数

正确答案

B

解析

评估这种农作物亩产量稳定程度的指标是标准差或方差，故选B.

考查方向

本题考查可以用来评估这种农作物亩产量稳定程度的量的判断，是基础题，解题时要认真审题．

解题思路

利用平均数、标准差、最大值、中位数的定义和意义直接求解．

易错点

注意平均数、标准差、最大值、中位数的定义和意义的合理运用

1
题型： 单选题
|
分值: 5分

4．如图，正方形ABCD内的图形来自中国古代的太极图．正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称．在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是(      )

A

B

C

D

正确答案

B

解析

根据图象的对称性知，黑色部分为圆面积的一半，设圆的半径为1，则正方形的边长为2，

则黑色部分的面积，则对应概率，故选B.

考查方向

本题主要考查几何概型的概率计算，根据对称性求出黑色阴影部分的面积是解决本题的关键．

解题思路

根据图象的对称性求出黑色图形的面积，结合几何概型的概率公式进行求解即可．

易错点

几何概型具有两大特点：一是试验的可能的结果为无限个；二是试验的结果在一个区域内均匀分布。解题的关键是判断试验的结果在哪个区域内是均匀的

1
题型： 单选题
|
分值: 5分

5．已知F是双曲线C：的右焦点，P是C上一点，且PF与x轴垂直，点A的坐标是(1，3)，则△APF的面积为(       )

A

B

C

D

正确答案

D

解析

由得，所以，将代入，得，所以，又点A的坐标是(1，3)，故△APF的面积为，选D．

考查方向

本题考查双曲线的简单几何性质，考查数形结合思想，属于基础题．

解题思路

由题意求得双曲线的右焦点F（2，0），由PF与x轴垂直，代入即可求得P点坐标，根据三角形的面积公式，即可求得△APF的面积．

易错点

无

1
题型： 单选题
|
分值: 5分

7．设x，y满足约束条件则z=x+y的最大值为(        )

A0

B1

C2

D3

正确答案

D

解析

如图，作出不等式组表示的可行域，则目标函数经过时z取得最大值，故，故选D．

考查方向

本题考查线性规划的简单应用，考查约束条件的可行域，判断目标函数的最优解是解题的关键．

解题思路

画出约束条件的可行域，利用目标函数的最优解求解目标函数的最大值即可．

易错点

解线性规划问题的基本方法是图解法。当B>0时，动直线在y轴上的截距越大，目标函数值越大，截距越小，目标函数值越小；反之，当B<0时，动直线在y轴上截距越大，目标函数值越小，截距越小，目标函数值越大。其中的系数的符号是解题的关键，也是同学们经常忽略的地方

1
题型： 单选题
|
分值: 5分

9．已知函数，则(        )

A在（0，2）单调递增

B在（0，2）单调递减

Cy=的图像关于直线x=1对称

Dy=的图像关于点（1，0）对称

正确答案

C

解析

∵函数f（x）=lnx+ln（2-x），

∴f（2-x）=ln（2-x）+lnx，

即f（x）=f（2-x），

即y=f（x）的图象关于直线x=1对称，

故选C．

考查方向

本题考查的知识点是函数的图象与图象变化，熟练掌握函数图象的对称性是解答的关键．

解题思路

由已知中函数f（x）=lnx+ln（2-x），可得f（x）=f（2-x），进而可得函数图象的对称性．

易错点

无

1
题型： 单选题
|
分值: 5分

11．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知，a=2，c=，则C=(        )

A

B

C

D

正确答案

B

解析

由题意得

，

即，所以.

由正弦定理得，即，得，故选B.

考查方向

本题考查了诱导公式和两角和的正弦公式以及正弦定理，属于基础题

解题思路

根据诱导公式和两角和的正弦公式以及正弦定理计算即可

易错点

在利用正弦定理求角时，由于正弦函数在[0，π]内不严格单调，所以角的个数可以不唯一，这时应借助已知条件加以验证，务必做到不漏解、不多解.

1
题型： 单选题
|
分值: 5分

12．设A，B是椭圆C：长轴的两个端点，若C上存在点M满足∠AMB=120°，则m的取值范围是(        )

A

B

C

D

正确答案

A

解析

当时，焦点在轴上，要使C上存在点M满足，则，即，得；当时，焦点在轴上，要使C上存在点M满足，则，即，得，故的取值范围为，选A．

考查方向

本题考查椭圆的标准方程，特殊角的三角函数值，考查分类讨论思想及数形结合思想的应用，考查计算能力，属于中档题．

解题思路

分类讨论，由要使椭圆C上存在点M满足，当假设椭圆的焦点在x轴上，，当即可求得椭圆的焦点在y轴上时，，，即可求得m的取值范围．

易错点

无

简答题（综合题） 本大题共80分。简答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
1
题型：简答题
|
分值: 12分

18.如图，在四棱锥P−ABCD中，AB//CD，且．

（1）证明：平面PAB⊥平面PAD；

（2）若PA=PD=AB=DC，，且四棱锥P−ABCD的体积为，求该四棱锥的侧面积．

正确答案

（1）见解析；（2）

解析

（1）由已知，得，．

由于，故，从而平面．

又平面，所以平面平面．

(2)在平面PAD内作,垂足为E,由（1）知，平面PAD,可得平面ABCD,

设AB=x,则由已知可得故四棱锥P-ABCD的体积，

由题设可得，故x=2,

从而PA=PD=2，,

可得四棱锥P-ABCD的侧面积为

考查方向

本题考查面面垂直的证明，考查四棱锥的侧面积的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力，考查数形结合思想、化归与转化思想，是中档题．

解题思路

（1）推导出AB⊥PA，CD⊥PD，从而AB⊥PD，进而AB⊥平面PAD，由此能证明平面PAB⊥平面PAD．

（2）设，取AD中点O，连结PO，则PO⊥底面ABCD，且，由四棱锥P-ABCD的体积为，求出a=2，由此能求出该四棱锥的侧面积．

易错点

在解决具体问题时，易出现的问题主要有：（1）对直线和平面垂直的判定定理理解不深刻，忽视定理中的“两条相交直线”导致对直线和平面是否垂直判断失误；（2）利用两个平面垂直的性质定理时，忽视“直线在平面内”的条件，导致误判；（3）对空间线面关系的有关判定、性质定理掌握不扎实，不能灵活运用其推导结论

1
题型：简答题
|
分值: 12分

19.为了监控某种零件的一条生产线的学科*程，检验员每隔30 min从该生产线上随机抽取一个零件，并测量其尺寸（单位：cm）．下面是检验员在一天内依次抽取的16个零件的尺寸：

经计算得，，，，其中为抽取的第个零件的尺寸，．

（1）求的相关系数，并回答是否可以认为这一天生产的零件尺寸不随生产过程的进行而系统地变大或变小（若，则可以认为零件的尺寸不随生产过程的进行而系统地变大或变小）．

（2）一天内抽检零件中，如果出现了尺寸在之外的零件，就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查．

（ⅰ）从这一天抽检的结果看，是否需对当天的生产过程进行检查？

（ⅱ）在之外的数据称为离群值，试剔除离群值，估计这条生产线当天生产的零件尺寸的均值与标准差．（精确到0.01）

附：样本的相关系数，．

正确答案

（1）由于，因此可以认为这一天生产的零件尺寸不随生产过程的进行而系统地变大或变小．（2）数据的样本方差为，

这条生产线当天生产的零件尺寸的标准差的估计值为

解析

（1）由样本数据得的相关系数为

．

由于，因此可以认为这一天生产的零件尺寸不随生产过程的进行而系统地变大或变小．

（2）（i）由于，由样本数据可以看出抽取的第13个零件的尺寸在以外，因此需对当天的生产过程进行检查．

（ii）剔除离群值，即第13个数据，剩下数据的平均数为，这条生产线当天生产的零件尺寸的均值的估计值为10.02．

，

剔除第13个数据，剩下数据的样本方差为，

这条生产线当天生产的零件尺寸的标准差的估计值为．

考查方向

本题考查了相关系数的计算，样本均值与标准差的计算，属于中档题．

解题思路

（1）代入数据计算，比较|r|与0.25的大小作出结论；

（2）（i）计算合格零件尺寸范围，得出结论；

（ii）代入公式计算即可．

易错点

无

1
题型：简答题
|
分值: 12分

17. 记Sn为等比数列的前n项和，已知S2=2，S3=−6．

（1）求的通项公式；

（2）求Sn，并判断Sn+1，Sn，Sn+2是否成等差数列．

正确答案

（1）；（2）见解析

解析

（1）设的公比为．由题设可得解得，．

故的通项公式为．

（2）由（1）可得．

由于，

故，，成等差数列．

考查方向

本题考查等比数列通项公式，等比数列前n项和，等差数列的性质，考查计算能力，属于中档题．

解题思路

（1）由题意可知，列方程即可求得q及，根据等比数列通项公式，即可求得的通项公式；

（2）由（1）可知．利用等比数列前n项和公式，即可求得，分别求得，显然，则，，成等差数列．

易错点

等差、等比数列各自有一些重要公式和性质（略），这些公式和性质是解题的根本，用错了公式和性质，自然就失去了方向。解决这类问题的一个基本出发点就是考虑问题要全面，把各种可能性都考虑进去，认为正确的命题给予证明，认为不正确的命题举出反例予以说明

1
题型：简答题
|
分值: 12分

20.设A，B为曲线C：y=上两点，A与B的横坐标之和为4．

（1）求直线AB的斜率；

（2）设M为曲线C上一点，C在M处的切线与直线AB平行，且AMBM，求直线AB的方程．

正确答案

（1）1；（2）y=x+7

解析

（1）设A（x1，y1），B（x2，y2），则，，，x1+x2=4，

于是直线AB的斜率．

（2）设 ，则C在M处的切线斜率

∴

则 ，又AM⊥BM，

即

又设AB：y=x＋m

代入

得

∴，

－4m＋8＋20=0

∴m=7

故AB：y=x+7

考查方向

本题考查直线与抛物线的位置关系，注意联立直线方程和抛物线的方程，运用韦达定理，考查直线的斜率公式的运用，以及化简整理的运算能力，属于中档题．

解题思路

（1）设A（x1，y1），B（x2，y2），运用直线的斜率公式，结合条件，即可得到所求；

（2）设，求出的导数，可得切线的斜率，由两直线平行的条件：斜率相等，可得m，即有M的坐标，再由两直线垂直的条件：斜率之积为-1，可得x1，x2的关系式，再由直线AB：y=x+m与联立，运用韦达定理，即可得到m的方程，解得m的值，即可得到所求直线方程．

易错点

求与抛物线有关的最值问题常见题型及方法：

①  具备定义背景，可用定义转化为几何问题来处理；

②  不具备定义背景，可由条件建立目标函数，然后利用求函数最值的方法来处理。

在这两类题型中，定点的位置尤为重要，处理不当就会出错。

1
题型：简答题
|
分值: 12分

21.已知函数=ex(ex−a)−a2x．

（1）讨论的单调性；

（2）若，求a的取值范围．

正确答案

（1）见解析（2）

解析

（1）函数的定义域为，，

①若，则，在单调递增．

②若，则由得．

当时，；当时，，故在单调递减，在单调递增．

③若，则由得．

当时，；当时，，故在单调递减，在单调递增．

（2）①若，则，所以．

②若，则由（1）得，当时，取得最小值，最小值为．从而当且仅当，即时，．

③若，则由（1）得，当时，取得最小值，最小值为．从而当且仅当，即时．

综上，的取值范围为．

考查方向

本题考查了导数和函数的单调性和函数最值的关系，以及分类讨论的思想，考查了运算能力和化归能力，属于中档题

解题思路

（1）先求导，再分类讨论，根据导数和函数的单调性即可判断，
（2）根据（1）的结论，分别求出函数的最小值，即可求出a的范围．

易错点

一个函数在某个区间上单调增（减）的充要条件是这个函数的导函数在此区间上恒大（小）于等于0，且导函数在此区间的任意子区间上都不恒为0。切记导函数在某区间上恒大（小）于0仅为该函数在此区间上单调增（减）的充分条件

1
题型：简答题
|
分值: 10分

23. 请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分．

已知函数，．

（1）当时，求不等式的解集；

（2）若不等式的解集包含[–1，1]，求的取值范围．

正确答案

（1）（2）

解析

(1)当a=1时，不等式等价于①

当时，①式化为，无解；

当时，①式化为，从而；

当时，①式化为，从而，

所以的解集为

（2）当时，．

所以的解集包含，等价于当时．

又在的最小值必为与之一，所以且，得．

所以的取值范围为．

考查方向

本题考查绝对值不等式的解法，去掉绝对值符号是关键，考查分类讨论思想与等价转化思想的综合运用，属于中档题．

解题思路

（1）当a=1时，，分三类讨论，结合g（x）与f（x）的单调性质即可求得的解集为；
（2）依题意得：在[-1，1]恒成立⇔在[-1，1]恒成立，只需，解之即可得a的取值范围．

易错点

解含有绝对值的不等式的关键是把含有绝对值的不等式转化为不含绝对值符号的不等式，然后再求解，但这种转化必须是等价转化，尤其是平方法去掉绝对值符号时，一定要注意两边非负这一条件，否则就会扩大或缩小解集的范围．

1
题型：简答题
|
分值: 10分

22. 请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分．

在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（θ为参数），直线l的参数方程为

．

（1）若，求C与l的交点坐标；

（2）若C上的点到l距离的最大值为，求．

正确答案

（1），（2）或

解析

（1）曲线的普通方程为．

当时，直线的普通方程为．

由解得或

从而与的交点坐标为，．

（2）直线的普通方程为，故上的点到的距离为

．

当时，的最大值为．由题设得，所以；

当时，的最大值为．由题设得，所以．

综上，或．

考查方向

本题主要考查曲线的参数方程、点到直线距离和三角函数的最值，难点在于如何根据曲线C上的点到直线l距离的最大值求出a．

解题思路

（1）将曲线C的参数方程化为标准方程，直线l的参数方程化为一般方程，联立两方程可以求得焦点坐标；

（2）曲线C上的点可以表示成P，，运用点到直线距离公式可以表示出P到直线l的距离，再结合距离最大值为进行分析，可以求出a的值．

易错点

参数方程和普通方程的互化以及点到直线的距离公式.

填空题 本大题共4小题，每小题5分，共20分。把答案填写在题中横线上。
1
题型：填空题
|
分值: 5分

13．已知向量a=（–1，2），b=（m，1）．若向量a+b与a垂直，则m=________．

正确答案

7

解析

由题得，因为，所以，解得．

考查方向

本题考查实数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意平面向量坐标运算法则和向量垂直的性质的合理运用．

解题思路

利用平面向量坐标运算法则先求出，再由向量与垂直，利用向量垂直的条件能求出m的值．

易错点

平面向量垂直的坐标运算

1
题型：填空题
|
分值: 5分

14．曲线在点（1，2）处的切线方程为______________．

正确答案

解析

设，则，所以，

所以曲线在点处的切线方程为，即．

考查方向

本题考查切线方程的求法，考查转化思想以及计算能力．

解题思路

求出函数的导数，求出切线的斜率，利用点斜式求解切线方程即可．

易错点

导数的几何意义

1
题型：填空题
|
分值: 5分

15．已知，tan α=2，则=__________．

正确答案

解析

由得，

又，

故，

因为，

所以，

因为，

故

考查方向

本题考查了同角的三角函数的关系以及余弦公式，考查了学生的运算能力，属于基础题．

解题思路

根据同角的三角函数的关系求出，再根据两角差的余弦公式即可求出．

易错点

同角三角函数基本关系

1
题型：填空题
|
分值: 5分

16．已知三棱锥S−ABC的所有顶点都在球O的球面上，SC是球O的直径．若平面SCA⊥平面SCB，SA=AC，SB=BC，三棱锥S−ABC的体积为9，则球O的表面积为________．

正确答案

解析

取的中点，连接，

因为，

所以，

因为平面平面，

所以平面，

设，则，

所以，所以球的表面积为.

考查方向

本题考查球的內接体，三棱锥的体积以及球的表面积的求法，考查空间想象能力以及计算能力．

解题思路

判断三棱锥的形状，利用几何体的体积，求解球的半径，然后求解球的表面积．

易错点

球的体积和表面积公式

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