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文科数学 朝阳区2017年高三期末考试
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文科数学 热门试卷

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试卷目录
1、单选题
1
2
3
4
5
6
7
8
2、填空题
9
10
11
12
13
14
3、简答题
15
16
17
18
19
20
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单选题 本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的4个选项中，有且只有一项是符合题目要求。
1
题型： 单选题
|
分值: 5分

3．已知非零实数，满足，则下列不等式中一定成立的是(         )

A

B

C

D

正确答案

D

解析

解：对于：，令，则，错误；

对于：，令，则，错误；

对于：，令，则，错误；

对于：，则，即，错误；

所以答案选择：

考查方向

本题考查不等式的基本性质的应用，是一道简单题.

解题思路

根据依题意逐一对选项中的不等式进行判断，错误的找出反例，正确的利用不等式的基本性质说明即可.

易错点

本题易错在找特殊值判定选项正误时找错反例以及对不等式的基本性质不熟.

1
题型： 单选题
|
分值: 5分

4. 已知平面向量，，则与的夹角为(         )

A

B

C

D

正确答案

B

解析

解: ，

，

，，，

设与的夹角为，

，

.

考查方向

本题考查平面向量的坐标运算以及平面向量的数量积运算和两向量的夹角公式的应用，本题是一道简单题，解题的关键是熟记两向量的夹角公式.

解题思路

先利用向量的坐标运算计算出两个向量的和，然后计算出向量的模，再利用数量积以及夹角的余弦公式求出夹角即可.

易错点

本题易错在计算向量的模以及向量的夹角的余弦值时计算出错.

1
题型： 单选题
|
分值: 5分

7．某四棱锥的三视图如图所示，其俯视图为等腰直角三角形，则该四棱锥的体积为(         )

A

B

C

D

正确答案

C

解析

解：由已知中的某四棱锥的三视图，可得该几何体的直观图如下图所示：

由几何体可知该几何体为四棱锥，

其底面面积为：，高，

故体积，

所以答案选择：C.

考查方向

本题考查棱柱、棱锥、棱台的体积的求法，考查由三视图求简单几何体的表面积、体积，考查学生的空间想象能力，本题是一道中档题，解题的关键是能够把几何体还原．

解题思路

先根据三视图把几何体还原，然后根据还原出来的几何体的是四棱锥，然后利用棱锥体积公式代入数据计算即可.

易错点

本题易错在不能还原几何体或者还原的几何体错误以及用错几何体的体积公式.

1
题型： 单选题
|
分值: 5分

8．某校高三（1）班32名学生参加跳远和掷实心球两项测试。跳远和掷实心球两项测试成绩合格的人数分别为26人和23人，这两项成绩均不合格的有3人，则这两项成绩均合格的人数是(            )

A

B

C

D

正确答案

B

解析

解：根据题意画出韦恩图，如下图所示：

设这两项成绩均合格的人数为，

则跳远合格掷实心球不合格的人数为，

则，

解得，

即这两项成绩均合格的人数是人，

所以答案选择：B.

考查方向

本题考查韦恩图的应用以及集合的交补集运算，考查数形结合的数学思想，是一道创新题.

解题思路

先根据题意画出韦恩图，然后根据韦恩图中数据的关系列出方程，然后解方程即可.

易错点

本题易错在不能画出正确的韦恩图利用韦恩图列出方程.

1
题型： 单选题
|
分值: 5分

1. 已知全集，集合，，则(         )

A

B

C

D

正确答案

C

解析

，

，

又，

.

所以答案选择：C.

考查方向

本题考查集合的补集运算以及集合的交集运算，是一道简单题，是高考的热点.

解题思路

根据补集的概念先把集合的补集求出，然后化简集合，再利用交集运算即可解决问题.

易错点

本题的易错在没有弄明白补集的概念求错集合的补集.

1
题型： 单选题
|
分值: 5分

2.复数 (         )

A2i

B22i

C1+i

D1i

正确答案

D

解析

.

所以答案选择：D

考查方向

本题考查复数的乘除法则的应用，是一道简单题，是高考的热点.

解题思路

根据复数的除法运算规律，分子分母同时乘以的共轭复数把分母实数化，然后化简式子即可.

易错点

本题易错在进行复数的除法运算时容易遗忘的知识点.

1
题型： 单选题
|
分值: 5分

5.已知，且，则“函数在上是减函数”是“函数在上是增函数”的（        ）

A充分而不必要条件

B必要而不充分条件

C充分必要条件

D既不充分也不必要条件

正确答案

A

解析

解：若函数在上是减函数，则，，则函数在上是增函数，即充分性成立，

若函数在上是增函数，则，即，则函数在上不一定是减函数，即必要性不成立，

即“函数在上是减函数”是“函数在上是增函数”的充分不必要条件，

所以答案选择：A．

考查方向

本题考查指数函数以及幂函数的单调性质判断，考查必要条件、充分条件与充要条件的判断，本题是一道中档题．

解题思路

先根据指数函数的单调性计算出的取值范围，从而判断的单调性，然后再利用的单调性计算出的取值范围，从而判断的单调性，从而解决问题．

易错点

本题易错在对指数函数以及幂函数的单调性的充要条件不理解以及证明必要性时计算的取值范围出错．

1
题型： 单选题
|
分值: 5分

6. 已知双曲线 ，的左、右焦点分别是，，M是双曲线上的一点，且||，||=1，，则该双曲线的离心率是(         )

A

B

C

D或

正确答案

D

解析

解：是双曲线上的一点，且，，，

由正弦定理可得：，即，

解得，

∴或，

当时，为直角三角形，此时，即，

∵，即

∴，

当时，为直角三角形，此时．即，

∵，即，

∴，

所以答案选择：D

考查方向

考查双曲线的定义，以及双曲线的基本两点计算和双曲线基本性质的应用，考查正弦定理的应用，考查分类讨论的数学思想，本题是一道中档题.

解题思路

先利用正弦定理求出的大小，然后利用分类讨论的数学的思想求出的值，然后代入离心率公式即可．

易错点

本题易错在马虎大意计算出错，以及在计算出的值后没有对的取值进行分类讨论．

填空题 本大题共6小题，每小题5分，共30分。把答案填写在题中横线上。
1
题型：填空题
|
分值: 5分

9．已知等差数列前n项和为.若，，则=_______，     .

正确答案

，．

解析

解：设等差数列的公差为，

∵，，

∴，即，

∴，，

所以答案为：，．

考查方向

本题考查等差数列的通项公式以及前项和公式的应用，考查方程的数学思想，解题的关键是准确列出方程，本题是一道简单题．.

解题思路

根据等差数列的通项公式以及前项和公式，把题干中的条件转化为等差数列的基本量方程，然后解方程即可.

易错点

本题易错在记忆等差数列前项公式出错．.

1
题型：填空题
|
分值: 5分

10．圆C：的圆心到直线的距离是  ．

正确答案

3

解析

解：把圆的方程化为标准方程得：，

可得圆心坐标为，

则圆心到直线的距离．

所以答案为：．

考查方向

本题考查圆的标准方程与一般方程的相互转化，考查点到直线的距离公式的应用，本题是一道简单题．

解题思路

先把圆的一般方程转化为标准方程，从而确定圆的圆心坐标，然后利用点到直线距离公式即可解决问题.

易错点

本题易错在记错点到直线距离公式以及计算错误.

1
题型：填空题
|
分值: 5分

12．在△中，已知，则      .

正确答案

，

解析

解：，即，

由正弦定理可得，

∵，

∴

则，

所以答案为：.

考查方向

本题考查正弦定理的应用以及三角形内角和的知识，是一道简单题.

解题思路

先利用正弦定理求出角的正弦值，然后根据角的取值范围求出角，然后利用三角形内角和为即可解决问题.

易错点

本题易错在没有考虑角的取值范围.

1
题型：填空题
|
分值: 5分

13．设D为不等式组表示的平面区域，对于区域D内除原点外的任一点，则的最大值是_______，的取值范围是___.

正确答案

，

解析

解：约束条件不等式组的可行域如下图所示：

当直线过点时，取得最大值，

由，可得时，最大是，

由约束条件可知，令，

可得，

令，由可行域可得，

求的最小值，就是求的最大值，即求的最大值，

可知，显然时取得最大值，所以，

所以的取值范围是，

所以答案为：，

考查方向

本题考查线性规划的综合应用，考查转化与化归以及数形结合的数学思想，本题是一道中档题.

解题思路

先根据约束条件画出可行域，再利用几何意义求最值，表示直线在轴上的截距，只需求出可行域直线在轴上的截距最大值即可；判断的符号，利用构造法转化为函数的最值，结合可行域求出范围即可．

易错点

本题易错在不能准确画出约束条件的可行域以及没有恰当转化为平方处理.

1
题型：填空题
|
分值: 5分

14. 甲、乙、丙、丁四位歌手参加比赛，其中只有一位获奖。有人走访了四位歌手，甲说：“乙或丙获奖”；乙说：“甲、丙都未获奖”；丙说： “丁获奖”；丁说：“丙说的不对”。若四位歌手中只有一个人说的是真话，则获奖的歌手是       .

正确答案

甲

解析

解：若乙是获奖的歌手，则甲、乙、丁都说真话，不符合题意．

若丙是获奖的歌手，则甲、丁都说真话，不符合题意

若丁是获奖的歌手，则乙、丙都说真话，不符合题意．

若甲是获奖的歌手，则甲、乙、丙都说假话，丁真话，符合题意．

所以答案为：甲

考查方向

本题考查简单的逻辑推理以及合情推理的应用，解题的关键是假设某人正确从而推出矛盾，本题是一道中档题.

解题思路

这是一个简单的合情推理题，我们根据“四位歌手中只有一个人说的是真话”，假设某一个人说的是真话，如果与条件不符，说明假设不成立，如果与条件相符，则假设成立的方法解决问题．

易错点

本题的易错点是对合情推理的概念不理解以及不能合理假设某人说真话.

1
题型：填空题
|
分值: 5分

11．执行如图所示的程序框图，则输出的结果为_______.

正确答案

30

解析

解：根据程序框图进行模拟计算可得：

第一次，，满足条件，则有，，

第二次，，满足条件，则有，，

第三次，，满足条件，，，

第四次，，不满足条件，程序终止，

输出，

所以答案为：30

考查方向

本题考查循环结果的程序框图的应用，考查转化与化归的数学思想，本题是一道简单题,是高考的热点问题.

解题思路

根据程序框图进行模拟计算即可解决问题，注意终止循环的条件.

易错点

本题易错在不能确定终止循环的条件.

简答题（综合题） 本大题共80分。简答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
1
题型：简答题
|
分值: 13分

已知函数.

15.求的最小正周期；

16.求在区间上的最大值和最小值.

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

解析

解：因为

.

所以的最小正周期为.

考查方向

本题考查两角和与差的正弦函数，考查倍角公式以及辅助角公式的应用，考查三角函数的周期性及其求法，本题是高考的常考题型，是一道中档题.

解题思路

先逆用二倍角公式,然后逆用两角和的正弦公式化成正弦型函数的标准形式，利用周期公式求周期；

先根据的取值范围求出的取值范围，然后根据三角函数的性质求出最值即可.

易错点

本题易错在不能把函数解析化简为的形式.

本题易错在把的取值范围当作的取值范围.

第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

最大值，最小值.

解析

因为

当时，取得最大值；

当取得最小值.  …………………………13分

考查方向

本题考查在限制范围内的最值问题，考查转化与化归的数学思想，解题的关键在于求出的取值范围，本题是一道中档题，是高考的热点.

解题思路

先根据的取值范围求出的取值范围，然后根据三角函数的性质求出最值即可.

易错点

本题易错在把的取值范围当作的取值范围.

1
题型：简答题
|
分值: 14分

如图，四边形是边长为的正方形，平面平面，

, ．

22.求证：平面；

23.求证：平面；

24.求三棱锥的体积．

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

证明略.

解析

证明：因为平面平面，

平面平面，且，所以平面.

因为平面，所以．

又因为四边形为正方形，所以．

因为，所以平面．

考查方向

本题考查面面垂直的性质定理以及线面垂直的判定定理，是高考的热点问题，是一道中档题.

解题思路

先利用面面垂直得出平面，然后得出线线垂直，再利用线面垂的判定定理解决问题.

易错点

本题易错在不理解面面垂直的性质定理，不能利用面面垂直得出线面垂直.

第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

证明略.

解析

设，

因为四边形为正方形，

所以为中点．

设为的中点，连结，

则，且．

由已知，且，

则且

所以四边形为平行四边形.

所以，即．

因为平面，平面，

所以平面．…………………………………………………………9分

考查方向

本题考查中位线的性质，考查线面平行的判定定理，考查空间想象能力，解题的关键是构造出平行四边形证明线线平行，本题高考热点问题.

解题思路

先找中点，然后利用中位线证明线线平行，然后构造平行四边形，在利用线面平行的判定定理证明即可.

易错点

本题易错在不能找到准确的中点来构造平行四边形.

第(3)小题正确答案及相关解析

正确答案

解析

由22题可知平面，

因为，所以平面，

所以．

又因为四边形为正方形，所以，

所以平面．

由（Ⅱ）可知，平面，

所以，点到平面的距离等于点到平面的距离，

所以 ．

因为．

所以

．

故三棱锥的体积为．…………………………………………………14分

考查方向

本题考查三棱锥的体积的求法，考查转化与化归的数学思想，本题是一道中档题.

解题思路

先推导出点到平面的距离等于点到平面的距离，由，可求出三棱锥的体积．

易错点

本题易错在计算错误.

1
题型：简答题
|
分值: 13分

在平面直角坐标系中，动点与两定点,连线的斜率乘积为，记点的轨迹为曲线.

25.求曲线的方程；

26.若曲线上的两点满足,，求证：的面积为定值.

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

.

解析

解：设，则，

整理得.

考查方向

本题考查直译法求曲线的方程，考查直线的斜率公式，解题的关键是根据题意准确列出方程，本题是一道简单题.

解题思路

先设点的坐标，然后利用斜率的乘积为定值以及斜率公式列出方程，化简即可得到点的轨迹为曲线；

易错点

本题易错在计算出错.

第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

的面积为定值.

解析

依题直线的斜率乘积为.

当直线的斜率不存在时，直线的斜率为，设直线的方程

是，由得，.取，则.

所以的面积为.

当直线的斜率存在时，设方程为.

由得，.

因为，在椭圆上，

所以，解得.

设,,则，；

所以

.

设点到直线的距离为，则.

所以的面积为①.

因为,，直线,的斜率乘积为，所以.

所以

由，得②.

由①②，得.

考查方向

本题考查直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理在求弦长中的应用，考查函数的最值，考查转化与化归的数学思想，解题的关键是能够求出直线的斜率以及截距的关系.

解题思路

设方程为，由两点满足及（Ⅰ）得直线的斜率乘积为，可得到的关系，再用弦长公式及距离公式，求出的底、高，然后再表示的面积即可．

易错点

本题易错在求弦长时计算错误以及不能够转化直线的斜率以及截距的关系.

1
题型：简答题
|
分值: 13分

已知等比数列的各项均为正数，且，．

17.求数列的通项公式；

18.若数列满足，，且是等差数列，

求数列的前项和.

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

解析

解：设等比数列的公比为，依题意 ．

因为

两式相除得 ：，

解得 ， (舍去)．

所以 ．

所以数列的通项公式为 ．

考查方向

本题考查等比数列的通项公式的应用以及等比数列基本量的运算，考查函数与方程的数学思想，解题的关键熟知二次方程的解法，本题是一道简单题.

解题思路

利用等比数列的通项公式把题干中的条件转化为等比数列的基本量方程，然后解方程即可求出公比，然后即可求出通项公式.

易错点

本题错在用错等比数列的通项公式以及不会解一元二次方程.

第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

解析

解:由已知可得，，

因为为等差数列，

所以数列是首项为，公差为的等差数列．

所以 .

则.

因此数列的前项和：

.

考查方向

本题考查等差数列的定义以及通项公式，考查等差数列以及等比数列的前和公式的应用，本题是高考的热点，是一道中档题．

解题思路

先利用等差数列的定义以及通项公式求出的通项公式，然后求出的通项公式，在利用分组求和利用等比数列以及等差数列的前和公式代入数据计算即可．

易错点

本题易错在没有整体代入的数学思想不能求出的通项公式.

1
题型：简答题
|
分值: 13分

甲、乙两位学生参加数学文化知识竞赛培训。在培训期间，他们参加的5次测试成绩记录如下：

甲：  82   82   79   95   87

乙：  95   75   80   90   85

19.用茎叶图表示这两组数据；

20.从甲、乙两人的这5次成绩中各随机抽取一个，求甲的成绩比乙的成绩高的概率；

21.现要从甲、乙两位同学中选派一人参加正式比赛，从统计学的角度考虑，你认为选派哪位同学参加合适？并说明理由．

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

图略.

解析

解：作出茎叶图如下；

考查方向

本题考查茎叶图的画法，考查对数据的处理应用，本题是一道简单题.

解题思路

直接由题目给出的数据画出茎叶图.

易错点

本题易错在没有列出全部的数据或者是相通数据就列出一个.

第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

解析

记甲被抽到的成绩为，乙被抽到成绩为，用数对表示基本事件：

基本事件总数．

设“甲的成绩比乙高”为事件A,事件A包含的基本事件：

事件A包含的基本事件数．

所以，．

考查方向

本题考查古典概型及其概率计算公式的应用，能够准确列出所有基本事件总数是解题关键，本题是一道中档题.

解题思路

先列出甲乙两人的成绩中各随机抽取一个的基本事件个数，然后找出甲的成绩比乙高的个数，直接利用古典概型计算公式求解；

易错点

本题易错在不能列出基本事件总数和少列了基本事件.

第(3)小题正确答案及相关解析

正确答案

甲

解析

派甲参赛比较合适，理由如下：

，

因为 ，

所以，甲的成绩较稳定，派甲参赛比较合适．

考查方向

本题考查平均值以及方差公式的应用，考查统计的实际应用，本题是一道中档题.

解题思路

先计算出甲，乙的平均值，然后计算出方差，比较平均值以及方差的大小，然后根据大小关系确定谁的成绩稳定，从而解决问题.

易错点

本题易错在记错方差公式或计算出方差.

1
题型：简答题
|
分值: 14分

设函数.

27.当时，求曲线在点处的切线方程；

28.若函数有两个零点，试求的取值范围;

29.设函数当时，证明.

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

解析

解：当时，函数，

因为，所以.又

则所求的切线方程为.

化简得：.

考查方向

本题考查导数的计算，考查导数的几何意义，考查切线方程的求法，本题是一道简单题.

解题思路

先对函数求导，然后求出且切线的斜率以及切点的坐标，再利用点斜式求出切线方程即可.

易错点

本题易错在求导数时计算错误.

第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

解析

因为

①当时，函数只有一个零点；

②当，函数当时，；

函数当时，.

所以在上单调递减，在上单调递增.

又，，

因为，所以，所以，所以

取，显然且

所以，.

由零点存在性定理及函数的单调性知，函数有两个零点.

③当时，由，得，或.

若，则.

故当时，，所以函数在在单调递增，所以函数在至多有一个零点.

又当时，，所以函数在上没有零点.

所以函数不存在两个零点.

若，则.

当时，，所以函数在上单调递增，所以函数在至多有一个零点.

当时，；当时，；

所以函数在上单增，上单调递减，所以函数在

上的最大值为，所以函数在上没有零点.

所以不存在两个零点.

综上，的取值范围是    ……………………………………………………9分

考查方向

本题考查利用导数判断函数的单调性以及判断函数的零点的应用，考查函数与方程的应用，考查分类讨论的数学思想，本题是一道难题，是高考的热点.

解题思路

先求出函数的导数，通过讨论的范围，判断函数的单调性结合函数的零点个数求出的范围即可

易错点

本题易错在不能够准确对的取值进行分类讨论.

第(3)小题正确答案及相关解析

正确答案

证明略.

解析

证明:当时，.

设，其定义域为，则证明即可.

因为，所以，.

又因为，所以函数在上单调递增.

所以有唯一的实根，且.

当时，；当时，.

所以函数的最小值为.

所以

.

所以.          …………………………………………………………14分

考查方向

本题考查构造法求函数的最值，考查利用导数的应用，本题是一道难题.

解题思路

当时，构造新函数，然后对函数求导，并利用导数判断出的单调性，求出的最小值，再证明的最小值的最小值大于等于零即可.

易错点

本题易错在不能够求出虚拟零点.

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