2022年高考真题文科数学 (全国甲卷)

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单选题
填空题
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试卷目录

1、单选题

2、填空题

3、简答题

真题试卷
模拟试卷
预测试卷

单选题本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的4个选项中，有且只有一项是符合题目要求。

题型：单选题

分值: 5分

1.设集合，则（）

正确答案

题型：单选题

分值: 5分

2.某社区通过公益讲座以普及社区居民的垃圾分类知识．为了解讲座效果，随机抽取10位社区居民，让他们在讲座前和讲座后各回答一份垃圾分类知识问卷，这10位社区居民在讲座前和讲座后问卷答题的正确率如下图：

则（）

A讲座前问卷答题的正确率的中位数小于

B讲座后问卷答题的正确率的平均数大于

C讲座前问卷答题的正确率的标准差小于讲座后正确率的标准差

D讲座后问卷答题的正确率的极差大于讲座前正确率的极差

正确答案

题型：单选题

分值: 5分

3.若．则（）

正确答案

题型：单选题

分值: 5分

4.如图，网格纸上绘制的是一个多面体的三视图，网格小正方形的边长为1，则该多面体的体积为（）

B12

C16

D20

正确答案

题型：单选题

分值: 5分

5.将函数的图像向左平移个单位长度后得到曲线C，若C关于y轴对称，则的最小值是（）

正确答案

题型：单选题

分值: 5分

6.从分别写有1，2，3，4，5，6的6张卡片中无放回随机抽取2张，则抽到的2张卡片上的数字之积是4的倍数的概率为（）

正确答案

题型：单选题

分值: 5分

7. 函数在区间的图象大致为（）

正确答案

题型：单选题

分值: 5分

8.当时，函数取得最大值，则（）

正确答案

题型：单选题

分值: 5分

9.在长方体中，已知与平面和平面所成的角均为，则（）

BAB与平面所成的角为

D与平面所成的角为

正确答案

题型：单选题

分值: 5分

10.甲、乙两个圆锥的母线长相等，侧面展开图的圆心角之和为，侧面积分别为和，体积分别为和．若，则（）

正确答案

题型：单选题

分值: 5分

11.已知椭圆的离心率为，分别为C的左、右顶点，B为C的上顶点．若，则C的方程为（）

正确答案

题型：单选题

分值: 5分

12.已知，则（）

正确答案

填空题本大题共4小题，每小题5分，共20分。把答案填写在题中横线上。

题型：填空题

分值: 5分

13.已知向量．若，则______________．

正确答案

题型：填空题

分值: 5分

14.设点M在直线上，点和均在上，则的方程为______________．

正确答案

题型：填空题

分值: 5分

15.记双曲线的离心率为e，写出满足条件“直线与C无公共点”的e的一个值______________．

正确答案

2（满足皆可）

题型：填空题

分值: 5分

16.已知中，点D在边BC上，．当取得最小值时，________．

正确答案

简答题（综合题）本大题共70分。简答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

题型：简答题

分值: 12分

17.甲、乙两城之间长途客车均由A和B两家公司运营，为了解这两家公司长途客车的运行情况，随机调查了甲、乙两城之间的500个班次，得到下面列联表：

（1）根据上表，分别估计这两家公司甲、乙两城之间的长途客车准点的概率；

（2）能否有90%的把握认为甲、乙两城之间的长途客车是否准点与客车所属公司有关？

附：，

正确答案

（1）A，B两家公司长途客车准点的概率分别为，

（2）有

题型：简答题

分值: 12分

18.记为数列的前n项和．已知．

（1）证明：是等差数列；

（2）若成等比数列，求的最小值．

正确答案

（1）解：因为，即①，

当时，②，

①②得，，

即，

即，所以，且，

所以是以为公差的等差数列．

（2）．

题型：简答题

分值: 12分

19.小明同学参加综合实践活动，设计了一个封闭的包装盒，包装盒如图所示：底面是边长为8（单位：）的正方形，均为正三角形，且它们所在的平面都与平面垂直．

（1）证明：平面；

（2）求该包装盒的容积（不计包装盒材料的厚度）．

正确答案

（1）

如图所示：分别取的中点，连接，因为为全等的正三角形，所以，，又平面平面，平面平面，平面，所以平面，同理可得平面，根据线面垂直的性质定理可知，而，所以四边形为平行四边形，所以，又平面，平面，所以平面．

（2）．

题型：简答题

分值: 12分

20.已知函数，曲线在点处的切线也是曲线的切线．

（1）若，求a；

（2）求a的取值范围．

正确答案

（1）3 （2）

题型：简答题

分值: 12分

21.设抛物线的焦点为F，点，过F的直线交C于M，N两点．当直线MD垂直于x轴时，．

（1）求C的方程；

（2）设直线与C的另一个交点分别为A，B，记直线的倾斜角分别为．当取得最大值时，求直线AB的方程．

正确答案

（1）；

（2）

题型：简答题

分值: 10分

选做题，2选1

22.在直角坐标系中，曲线的参数方程为（t为参数），曲线的参数方程为（s为参数）．

（1）写出的普通方程；

（2）以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为，求与交点的直角坐标，及与交点的直角坐标．

23.已知a，b，c均为正数，且，证明：

（1）；

（2）若，则．

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

（1）；

（2）的交点坐标为，，的交点坐标为，．

第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

（1）证明：由柯西不等式有，

所以，

当且仅当时，取等号，

所以；

（2）证明：因为，，，，由（1）得，

即，所以，

由权方和不等式知，

当且仅当，即，时取等号，

所以.

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