文科数学 东城区2017年高三第一次模拟考试
精品
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单选题 本大题共7小题,每小题5分,共35分。在每小题给出的4个选项中,有且只有一项是符合题目要求。
1
题型: 单选题
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分值: 5分

7.为征求个人所得税法修改建议,某机构调查了名当地职工的月收入情况,并根据所得数据画出了样本的频率分布直方图,

下面三个结论:

① 估计样本的中位数为元;

② 如果个税起征点调整至元,估

计有的当地职工会被征税;

③ 根据此次调查,为使以上的职

工不用缴纳个人所得税,起征点应

调整至元.

其中正确结论的个数有

A

B

C

D

正确答案

C

解析

由已知中的频率分布直方图可得前两组的累积频率为

前三组的累计频率为因此估计样本的中位数为元,所以① 正确;由① 得:如果个税起征点调整至5000元,估计有的当地职工会被征税,故②错;根据此次调查,为了使以上的职工不用缴纳个人所得税,起征点应调整至元,故③正确。

考查方向

统计以及数据分析。

解题思路

根据已知中频率分布直方图,逐一分析给定三个结论的真假,可得答案。

易错点

①中位数的求法②要会进行数据分析。

1
题型: 单选题
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分值: 5分

8.对于给定的正整数数列,满足,其中的末位数字,下列关于数列的说法正确的是

A如果的倍数,那么数列与数列必有相同的项;

B如果不是的倍数,那么数列与数列必没有相同的项;

C如果不是的倍数,那么数列与数列只有有限个相同的项;

D如果不是的倍数,那么数列与数列有无穷多个相同的项.

正确答案

D

解析

如果是5的倍数,则数列的末位数字是5或0,数列的末位数字只能是2,4,6,8,

不存在相同的项,因此A不正确;当不是5的倍数,这个数加上它的末位数字,一直加下去,则这个数的末位数字只能是2,4,6,8,数列的末位数字可以是2,4,6,8,数列的末位数字有且只有2,4,6,8,故它们必有相同的项,且有无穷多个相同的项,因此B,C不正确,D正确。

考查方向

分类讨论:当是5的倍数数列的末位数字是5或0,数列的末位数字只能是2,4,6,8,不存在相同的项,因此A不正确;当不是5的倍数,这个数的末位数字只能是2,4,6,8,数列的末位数字可以是2,4,6,8,数列的末位数字有且只有2,4,6,8,故它们必有相同的项,且有无穷多个相同的项,因此B,C不正确,D正确。

解题思路

分析问题的能力。

易错点

分类不全面。

1
题型: 单选题
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分值: 5分

2.在复平面内,复数,那么

A(A)

B(B)

C(C) 

D(D)

正确答案

B

解析

,所以

考查方向

复数的运算以及复数的模。

解题思路

对复数直接计算即可。

易错点

注意

1
题型: 单选题
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分值: 5分

3.已知实数满足 那么的最小值为

A(A)

B(B)

C(C)

D(D)

正确答案

C

解析

目标函数,化为,因此求目标函数的最小值即求轴截距的最小值,在不等式组所表示的区域中平移直线,容易看到通过点(1,2)时为最小值。

考查方向

简单的线性规划

解题思路

作出不等式组所表示的目标函数区域,然后将目标函数化为直线方程的斜截式,在目标函数区域平移即可找出取最大或者最小值的最优解。

易错点

平移目标函数要准确无误。

1
题型: 单选题
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分值: 5分

4.已知函数 (其中)的部分图象,如图所示.

那么的解析式为

A

B

C

D

正确答案

A

解析

由图知,所以,即,又,所以

考查方向

三角函数的图像求解析式。

解题思路

根据图像先求,再求

易错点

要注意用最大值或者最小值点。

1
题型: 单选题
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分值: 5分

5.下列四个命题:

,使

②命题“”的否定是“”;

③如果,且,那么

④“若,则”的逆否命题为真命题.其中正确的命题是

A

B

C

D

正确答案

D

解析

①不对,因为二次方程无解②不对,命题“”的否定是

③不对,因为就不符合。④对,因为命题“若,则”是真命题,所以其逆否命题也是真命题。

考查方向

命题和全称量词以及特称量词

解题思路

逐个选项分析。

易错点

①要看清题②要思维严密

1
题型: 单选题
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分值: 5分

6.过抛物线的焦点作一条直线与抛物线相交于两点,它们的横坐标之和等于,则这样的直线

A有且仅有一条

B有且仅有两条

C有无穷多条

D不存在

正确答案

B

解析

假设横坐标分别为,则有,又因为过焦点和轴垂直的直线和抛物线两交点的线段的长度为4,因此这样的直线能做2条。

考查方向

抛物的焦点弦,直线和抛物线的关系。

解题思路

根据弦长

易错点

题目要看清,一些结论要熟练。

填空题 本大题共6小题,每小题5分,共30分。把答案填写在题中横线上。
1
题型:填空题
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分值: 5分

10.一个四棱锥的三视图如图所示(单位:),这个四棱锥的体积为____.

正确答案

72

解析

结合俯视图和正视图以及侧视图知道该几何体的直观图是底面为边长是6的正方形高为6的四棱锥,所以体积为

考查方向

由三视图求直观图的体积

解题思路

从俯视图入手结合主视图至关重要。

易错点

不能还原原几何体的直观图。

1
题型:填空题
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分值: 5分

9.执行如图所示的程序框图,则输出的值为___.

正确答案

20

解析

是,否,输出

考查方向

程序框图。

解题思路

按照流程线进行即可。

易错点

循环的终止要准确。

1
题型:填空题
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分值: 5分

13.每个航班都有一个最早降落时间和最晚降落时间,在这个时间窗口内,飞机均有可能降落.甲航班降落的时间窗口为上午点到点,如果它准点降落时间为上午分,那么甲航班晚点的概率是____;若甲乙两个航班在上午点到点之间共用一条跑道降落,如果两架飞机降落时间间隔不超过分钟,则需要人工调度,在不考虑其他飞机起降的影响下,这两架飞机需要人工调度的概率是_____.

正确答案

解析

甲航班降落的时间窗口为上午10点到11点。如果它准点降落时间为上午10点40分,那么甲航班晚点的概率为,设甲乙两个航班到达的时间分别为时、时,则;如两架飞机降落时间间隔不超过15分钟,则,正方形的面积为1,落在两直线之间的部分的面积为,如图,所以这两架飞机需要人工调度的概率为

考查方向

几何概型的应用。

解题思路

利用几何概型,求出甲航班降落的时间窗口进而求出甲航班晚点的概率;再设出甲乙两个航班到达的时间做出事件对应的集合所表示的图形的面积,写出满足时间A的不等式,进而根据几何概型概率公式求出概率。

易错点

几何概型作图一定要准确无误。

1
题型:填空题
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分值: 5分

11.的内角的对边分别为,若,则等于____.

正确答案

44

解析

由余弦定理知道,所以,所以

考查方向

余弦定理和向量的结合。

解题思路

由向量的数量积知需要,因此要运用余弦定理求出

易错点

余弦定理的正确运用以及向量数量积公式的正确应用。

1
题型:填空题
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分值: 5分

14.已知函数.当时,函数的单调递增区间为 ;若函数个不同的零点,则的取值范围为  .

正确答案

解析

时,上单调递增;当时,上单调递增。所以函数的单调递增区间为

,有有两解,有时有

且两根之积小于零有,所以

考查方向

函数的零点

解题思路

对绝对值讨论愤青款研究方程根的情况

易错点

①找准方法②弄清所有可能的情况。

1
题型:填空题
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分值: 5分

12.双曲线 的右焦点为圆的圆心,则此双曲线的离心率为    .

正确答案

解析

因为双曲线的右焦点为,所以。又,所以,所以

考查方向

双曲线的标准方程。

解题思路

求出即可。

易错点

椭圆和双曲线之间的关系。

简答题(综合题) 本大题共80分。简答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
1
题型:简答题
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分值: 13分

已知数列是等差数列,其首项为,且公差为,若).

15.求证:数列是等比数列;

16.设,求数列的前项和.

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

数列是等比数列;

解析

证明:因为等差数列的首项和公差都为2,

所以

又因为

所以

所以数列是以4为首项和公比的等比数列;    …………………8分

考查方向

等比数列的定义。

解题思路

(常数)

易错点

等比数列的定义要注意

第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

解析

因为

等差数列的前项和

等比数列的前项和

所以的前项和.      …………13分

考查方向

数列的求和

解题思路

分组求和的应用。

易错点

计算要准确。

1
题型:简答题
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分值: 13分

已知函数

17.如果点是角终边上一点,求的值;

18.设,求的单调增区间.

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

解析

(Ⅰ)由已知:                 ---2分

 =       ---6分

考查方向

三角函数定义以及两角和的正弦公式的应用。

解题思路

先根据三角函数的定义求出,再运用两角和的正弦公式即可。

易错点

的正确求解。

第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

解析

=

=                          ------------8分

=                                -----------10分

得:         ---12分

的单调增区间为                --13分

考查方向

同角不同名化同名的熟练应用以及单调区间的求法。

解题思路

同角不同名化同名再利用正弦函数的单调区间即可。

易错点

单调区间的求解要注意正弦函数的增区间的正确表示。

1
题型:简答题
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分值: 14分

设函数.

27.当时,求曲线在点处的切线方程;

28.求函数上的最小值;

29.若,求证:是函数时单调递增的充分不必要条件.

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

解析

.

时,

求得切线方程为                         ……………………4分

考查方向

函数曲线上某点处的切线方程。

解题思路

先求导再算这点出的导数,再求出直线方程。

易错点

导数的正确求解。

第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

解析

(Ⅱ)令.

 当,即时,恒成立,单调递增,

此时.

,即时,恒成立,单调递减,

此时.

,即时,单减;

单增,此时.

……………………9分

考查方向

函数在给定区间的最值。

解题思路

进行分类讨论。

易错点

①综合分析问题的能力②分类讨论思想的应用。

第(3)小题正确答案及相关解析

正确答案

是函数时单调递增的充分不必要条件.

解析

.

 当时,恒成立,

函数时单调递增,充分条件成立;

又当时,代入.

,则恒成立

 当时,单调递增.

时,恒成立.

时,恒成立,函数单调递增.

 必要条件不成立

综上,是函数时单调递增的充分不必要条件.  ……………………14分

考查方向

证明函数单调,即导数在定义域上大于等于0恒成立。

解题思路

转化为求证

恒成立。

易错点

①不会转化②对进行分类讨论。

1
题型:简答题
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分值: 13分

日,诺贝尔生理学或医学奖揭晓,获奖者是日本生物学家大隅良典,他的获奖理由是“发现了细胞自噬机制”.在上世纪年代初期,他筛选了上千种不同的酵母细胞,找到了种和自噬有关的基因,他的研究令全世界的科研人员豁然开朗,在此之前,每年与自噬相关的论文非常少,之后呈现了爆发式增长,下图是年到年所有关于细胞自噬具有国际影响力的篇论文分布如下:

19.从这篇论文中随机抽取一篇来研究,那么抽到年发表论文的概率是多少?

20.如果每年发表该领域有国际影响力的论文超过篇,我们称这一年是该领域的论文“丰年”.

若从年到年中随机抽取连续的两年来研究,那么连续的两年中至少有一年是“丰年”的概率是多少?

21.由图判断,从哪年开始连续三年论文数量方差最大?(结论不要求证明)

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

解析

(Ⅰ)设抽到年发表的论文为事件A,依题意可知,

;                          ………5分

考查方向

古典概型

解题思路

直接根据古典概型公式代入即可。

易错点

基本事件个数以及事件个数

第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

解析

设至少抽到一个“丰年”为事件B,依题意可知,

年中随机抽取连续两年共有种可能,

至少一个“丰年”的可能情况有:共计7种可能,

;                           ………11分

考查方向

古典概型

解题思路

列出基本事件个数以及事件个数,再根据古典概型的公式代入即可。

易错点

基本事件个数以及事件个数要找准。

第(3)小题正确答案及相关解析

正确答案

2013

解析

三个数方差最大,

所以从2013年开始,连续三年论文数方差最大.             ………13分

考查方向

方差

解题思路

先求平均数,再根据方差公式即可求得方差。

易错点

方差公式的正确运用。

1
题型:简答题
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分值: 13分

    已知是两个直角三角形,分别是边的中点,

现将沿边折起到的位置,如图所示,使平面平面.

22.求证:平面

23.求证:平面平面

24.请你判断,是否有可能垂

直,做出判断并写明理由.

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

平面.

解析

(Ⅰ)因为分别是边的中点,

所以

因为平面平面

所以平面.                                                 -----4分

考查方向

线面平行判定。

解题思路

折叠问题折叠前后哪些变化,那些不变要弄清。

易错点

线面平行判定定理的完整运用。

第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

平面平面

解析

因为平面 平面

平面平面

平面

所以平面.

因为平面

所以

因为

所以 平面.

因为平面

所以平面平面.                                             ----10分

考查方向

面面垂直的判定。

解题思路

先要找出平面.再根据面面垂直的判定定理即可。

易错点

不容易找到要证平面的一条垂线。

第(3)小题正确答案及相关解析

正确答案

 与 不可能垂直.

解析

结论: 与 不可能垂直.

理由如下:

假设

因为

所以平面

因为平面

所以矛盾,故 与 不可能垂直.          -------13分

考查方向

分析问题的能力以及空间中两直线垂直的判定。

解题思路

反证法的运用。

易错点

不容易想到反证法。

1
题型:简答题
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分值: 14分

已知椭圆的右焦点为,离心率,点 在椭圆上.

25. 求椭圆的方程;

26. 设过点且不与坐标轴垂直的直线交椭圆两点,的面积为 的面积为,且,求直线的方程.

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

解析

(Ⅰ)因为

所以

所以椭圆的方程为.                                   --- 4分

考查方向

椭圆的标准方程。

解题思路

根据椭圆的离心率以及焦点。

易错点

椭圆标准方程中的关系。

第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

解析

设直线的方程为), 代入

整理得

因为直线过椭圆的右焦点,

所以方程有两个不等实根.

因为

所以

所以

解得

∴直线的方程为                           ------ 14分

考查方向

直线和圆锥曲线的位置关系。

解题思路

直线的方程为的设简化了运算。面积之比的转化。

易错点

三角形面积之比的转化为线段之比。

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