2017年高考真题文科数学 (全国III卷)

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试卷目录

1、单选题

2、填空题

3、简答题

真题试卷
模拟试卷
预测试卷

单选题本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的4个选项中，有且只有一项是符合题目要求。

题型：单选题

分值: 5分

2．复平面内表示复数的点位于（）

A第一象限

B第二象限

C第三象限

D第四象限

正确答案

解析

由得，所以复数位于第三象限。故选C.

考查方向

复数代数形式的乘除运算与复数的基本概念

解题思路

直接利用复数代数形式的乘除运算化简复数z得答案

易错点

复数的乘除运算

题型：单选题

分值: 5分

1．已知集合,，则中的元素的个数为（）

正确答案

解析

集合和集合有共同元素2，4，则所以元素个数2，故选B.

考查方向

交集的求法

解题思路

由交集的定义直接求出元素

易错点

交集的定义与应用

题型：单选题

分值: 5分

3．某城市为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了2014年1月至2016年12月期间月接待游客量（单位：万人）的数据，绘制了下面的折线图.

根据该折线图，下列结论错误的是( )

A月接待游客逐月增加

B年接待游客量逐年增加

C各年的月接待游客量高峰期大致在7,8月

D各年1月至6月的月接待游客量相对于7月至12月，波动性更小，变化比较平稳

正确答案

解析

由折线图可知，每年月接待游客量从8月份后存在下降趋势，故选A．

考查方向

折线图的运用

解题思路

由折线图可知，很容易看出答案

易错点

折线图的运用

题型：单选题

分值: 5分

5．设满足约束条件，则的取值范围是（）

A[–3,0]

B[–3,2]

C[0,2]

D[0,3]

正确答案

解析

绘制不等式组表示的可行域，结合目标函数的几何意义可得函数在点处取得最小值 . 在点处取得最大值，故选B．

考查方向

线性规划的应用

解题思路

作出不等式组对应的平面区域，根据z的几何意义，利用数形结合即可得到结论．

易错点

z的几何意义

题型：单选题

分值: 5分

6．函数的最大值为（）

正确答案

解析

由诱导公式可得：

则： ,函数的最大值为故选A．

考查方向

（1）诱导公式（2）正弦型函数的最值

解题思路

由诱导公式，所以，很容易求出结果

易错点

诱导公式的灵活运用

题型：单选题

分值: 5分

7．函数的部分图像大致为（）

正确答案

解析

当时，，故排除A,C,当时，，故排除B,满足条件的只有D,故选D.

考查方向

函数的图象

解题思路

当时，，排除A,C,当时，，故排除B,故选出答案

易错点

灵活地运用数形结合解函数的图象

题型：单选题

分值: 5分

9．已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为( )

正确答案

解析

画出圆柱的轴截面

，所以，那么圆柱的体积是，故选B.

考查方向

（1）外接球（2）圆柱的体积

解题思路

画出圆柱的轴截面，由题意直接求出，再利用圆柱的体积公式直接求出

易错点

用轴截面解外接球

题型：单选题

分值: 5分

10．在正方体中，为棱的中点，则 ( )

正确答案

解析

平面 ,又,平面,又平面，故选C.

考查方向

相互垂直的异面直线

解题思路

在正方体中平面，又 ,，所以平面, ，故选出答案

易错点

由线面垂直推出线线垂直

题型：单选题

分值: 5分

4．已知，则= （）

正确答案

解析

, 故选A．

考查方向

（1）同角三角函数关系式（2）二倍角公式

解题思路

由已知得，进而就可以求出

易错点

直接平方就可以求

题型：单选题

分值: 5分

8．执行右面的程序框图，为使输出S的值小于91，则输入的正整数的最小值为（）

正确答案

解析

若,第一次进入循环，成立，，成立，第二次进入循环，此时，不成立，所以输出成立，所以输入的正整数的最小值是2，故选D.

考查方向

程序框图的应用。

解题思路

通过程序框图的要求，写出每次循环的结果得到输出的值．

易错点

循环结构的条件判断

题型：单选题

分值: 5分

11．已知椭圆，的左、右顶点分别为，且以线段为直径的圆与直线相切，则C的离心率为 ( )

正确答案

解析

以线段为直径的圆是，直线与圆相切，所以圆心到直线的距离，整理为，即，即，，故选A.

考查方向

（1）椭圆的性质（2）直线与圆的位置关系

解题思路

以线段为直径的圆是，由题意得，整理得出，再由椭圆中的关系，得出，进而得出离心率

易错点

椭圆的几何性质

题型：单选题

分值: 5分

12．已知函数有唯一零点，则（）

正确答案

解析

，

得，即为函数的极值点，故，

则，，故选C.

考查方向

（1）函数的极值（2）函数的零点

解题思路

求导，得出，由题其极值点为0，进而解出.

易错点

函数唯一的零点的转化

填空题本大题共4小题，每小题5分，共20分。把答案填写在题中横线上。

题型：填空题

分值: 5分

13．已知向量，，且，则= .

正确答案

解析

由题意可得： .

考查方向

向量的垂直

解题思路

由向量垂直定义直接就可以求出结果

易错点

向量垂直的坐标运算

题型：填空题

分值: 5分

14．双曲线的一条渐近线方程为，则 .

正确答案

解析

由双曲线的标准方程可得渐近线方程为：，结合题意可得：.

考查方向

双曲线的性质

解题思路

由题直接算出双曲线的渐近线方程为，结合题意可得

易错点

双曲线的渐近线方程

题型：填空题

分值: 5分

15．内角的对边分别为，已知，则________.

正确答案

解析

由题意：，即，结合可得，则

考查方向

（1）正弦定理（2）解三角形

解题思路

由正弦定理直接算出，再由，得出，再利用三角形的内角和得出

易错点

（1）在解三角形中正弦定理应用（2）大边对大角

题型：填空题

分值: 5分

16．设函数，则满足的的取值范围是________.

正确答案

解析

由题意得：当时恒成立，即；当时恒成立，即；当时，即；综上的取值范围是.

考查方向

（1）分段函数（2）解不等式

解题思路

由题意得，在，，时不同的不等式，进而求解

易错点

分段进行化简

简答题（综合题）本大题共80分。简答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

题型：简答题

分值: 12分

18．（12分）某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶元，售价每瓶元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶元的价格当天全部处理完。根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温（单位：）有关。如果最高气温不低于，需求量为瓶；如果最高气温位于区间，需求量为瓶；如果最高气温低于，需求量为瓶。为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得下面的频率分布表：

以最高气温位于各区间的频率代替最高气温位于该区间的概率。

估计六月份这种酸奶一天的需求量不超过瓶的概率；

设六月份一天销售这种酸奶的利润为（单位：元）。当六月份这种酸奶一天的进货量为瓶时，写出的所有可能值并估计大于的概率？

正确答案

（1）（2）4/5

解析

（1）需求量不超过300瓶，即最高气温不高于，从表中可知有54天，

∴所求概率为.

（2）的可能值列表如下：

低于：；

：；

不低于：

∴大于0的概率为.

考查方向

（1）概率的计算，（2）函数的思想

解题思路

（1）需求量不超过300瓶，即最高气温不高于，从表中可知有54天，得出概率；（2）列出的可能值，由表可知当温度大于等于时，大于，可以求出

易错点

转化与化归的思想的运用

题型：简答题

分值: 12分

20．（12分）在直角坐标系中，曲线与轴交于两点，点的坐标为（0,1）。当变化时，解答下列问题：

（1）能否出现的情况？说明理由；

（2）证明过三点的圆在轴上截得的弦长为定值.

正确答案

（1）不能（2）见解析

解析

（1）令，，又

，为的根

假设成立，

，

不能出现的情况

（2）令圆与轴的交点为，

令圆的方程为

令得的根为，

令得. ①

点在①上，

解得或

在轴上的弦长为3，为定值．

考查方向

（1）二次方程韦达定理（2）直线与圆锥曲线

解题思路

（1）设坐标，并用韦达定理表示，计算，可知不能出现的情况，（2）令圆与轴的交点为，，设圆的一般方程，并分别令，再令求得圆的方程，解得，得出结论

易错点

（1）二次方程韦达定理；（2）过三点的圆

题型：简答题

分值: 12分

17．（12分）设数列满足.

（1）求的通项公式；

（2）求数列的前项和.

正确答案

（1）（2）

解析

（1）当时，

当时，由①

②

① -②得

即

验证符合上式

所以

（2）

考查方向

（1）求通项公式（2）数列的求和，裂项相减法

解题思路

（1）当时，求出，再当时，由题的等式，再写出下标为等式，两式相减，得出通项公式；（2）由（1）中通项公式代入，符合裂项相减的特点，直接求出

易错点

裂项相减法及计算能力

题型：简答题

分值: 12分

19．（12分）如图，四面体中，是正三角形，

（1）证明：；

（2）已知是直角三角形，,若为棱上与不重合的点，且，求四面体与四面体的体积比.

正确答案

（1）见解析（2）1

解析

（1）证明：取中点，连,∵，为中点，

∴，又∵是等边三角形，∴，

又∵，∴平面，平面，∴.

（2）由题意，令，取中点，即，

，，

在直角中，，

中有，

又为中点，

考查方向

（1）线面垂直的判定定理；（2）四面体的体积

解题思路

（1）由，又是等边三角形，∴，∴平面，得证；（2）要求两个四面体的体积比，点为中点，很容易求出比.

易错点

线面垂直的判定定理

题型：简答题

分值: 12分

21．（12分）设函数.

（1）讨论的单调性；

（2）当时，证明．

正确答案

（1）见解析（2）见解析

解析

（1）由

有

，

①当时，单增；

② 当时，令，即，

解得，

.当时，开口向上，,,即，单增；

.当时，开口向上，，

此时，在上，，即，单减，

在上，，即，单增.

（2）由（1）可得：

故要证

即证

令

则

令，得

考查方向

导数在研究函数中的应用

解题思路

（1）对求导，对分类讨论得到不同情况下的在相应区间的正负性，即在相应区间的增减性；（2）根据（1）中得到的的的单调性，得知要证，等价要证，于是构造函数恒小于等于0，利用导数研究，即可证明.

易错点

(1)导数在研究函数中的应用；（2）构造函数

题型：简答题

分值: 10分

22．请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。

选修4―4：坐标系与参数方程]（10分）

在直角坐标系中，直线与参数方程为（为参数），直线的参数方程为（为参数），设与的交点为,当变化时，的轨迹为曲线.

(1) 写出的普通方程；

(2) 以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，设，为与的交点，求的极径.

正确答案

(1) (2)

解析

（1）直线的普通方程为，直线的普通方程为

消去得，即C的普通方程为.

（2）化为普通方程为

联立得

∴，∴与C的交点M的极径为.

考查方向

（1）参数方程（2）极坐标方程

解题思路

(1)由两个参数方程分别消去,得到两个普通方程,再消去得出；（2）将的极坐标方程化为普通方程，与（1）中的结果联立，得出坐标，再由极径的公式得出.

题型：简答题

分值: 10分

23．请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。

选修4—5：不等式选讲]（10分）

已知函数.

（1）求不等式的解集；

（2）若不等式的解集非空，求的取值范围.

正确答案

(1)(2)

解析

⑴可等价为.由可得：

①当时显然不满足题意；

②当时，，解得；

③当时，恒成立.综上，的解集为.

（2）原式等价于存在，使

成立，即

设

由（1）知

当时，

其开口向下，对称轴

∴

当时

其开口向下，对称轴为

∴

当时，

其开口向下，对称轴为

∴

综上

∴的取值范围为 .

考查方向

求解绝对值不等式

解题思路

（1）对的范围分段讲座得到不同区间上的函数表达式，每段分别求解不等式对各段解集取并集，可得解集；（2）依题可将问题转化为求函数的最大值，则只要即可，结合（1）可得函数的表达式，在每段上分别求函数的最大值，最后得到在整个实数集上的最大值，即可求得.

易错点

（1）分段讨论（2）恒成立问题

文科数学 热门试卷

正确答案

解析

考查方向

解题思路

易错点

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