2017年高考真题 文科数学 (全国III卷)
精品
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单选题 本大题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的4个选项中,有且只有一项是符合题目要求。
1
题型: 单选题
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分值: 5分

2.复平面内表示复数的点位于(   )

A第一象限

B第二象限

C第三象限

D第四象限

正确答案

C

解析

,所以复数位于第三象限。 故选C.

考查方向

复数代数形式的乘除运算与复数的基本概念

解题思路

直接利用复数代数形式的乘除运算化简复数z得答案

易错点

复数的乘除运算

1
题型: 单选题
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分值: 5分

1.已知集合,,则中的元素的个数为(  )

A1

B2

C3

D4

正确答案

B

解析

集合和集合有共同元素2,4,则所以元素个数2,故选B.

考查方向

交集的求法

解题思路

由交集的定义直接求出元素

易错点

交集的定义与应用

1
题型: 单选题
|
分值: 5分

3.某城市为了解游客人数的变化规律,提高旅游服务质量,收集并整理了2014年1月至2016年12月期间月接待游客量(单位:万人)的数据,绘制了下面的折线图.

根据该折线图,下列结论错误的是(      )

A月接待游客逐月增加

B年接待游客量逐年增加

C各年的月接待游客量高峰期大致在7,8月

D各年1月至6月的月接待游客量相对于7月至12月,波动性更小,变化比较平稳

正确答案

A

解析

由折线图可知,每年月接待游客量从8月份后存在下降趋势,故选A.

考查方向

折线图的运用

解题思路

由折线图可知,很容易看出答案

易错点

折线图的运用

1
题型: 单选题
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分值: 5分

5.设满足约束条件,则的取值范围是  (   )

A[–3,0]

B[–3,2]

C[0,2]

D[0,3]

正确答案

B

解析

绘制不等式组表示的可行域,结合目标函数的几何意义可得函数在点 处取得最小值 . 在点 处取得最大值,故选B.

考查方向

线性规划的应用

解题思路

作出不等式组对应的平面区域,根据z的几何意义,利用数形结合即可得到结论.

易错点

z的几何意义

1
题型: 单选题
|
分值: 5分

6.函数的最大值为(   )

A

B

C

D

正确答案

A

解析

由诱导公式可得:

则: ,函数的最大值为 故选A.

考查方向

(1)诱导公式(2)正弦型函数的最值

解题思路

由诱导公式,所以,很容易求出结果

易错点

诱导公式的灵活运用

1
题型: 单选题
|
分值: 5分

7.函数的部分图像大致为(    )

A

B

C

D

正确答案

D

解析

时,,故排除A,C,当时,,故排除B,满足条件的只有D,故选D.

考查方向

函数的图象

解题思路

时,,排除A,C,当时,,故排除B,故选出答案

易错点

灵活地运用数形结合解函数的图象

1
题型: 单选题
|
分值: 5分

9.已知圆柱的高为1,它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上,则该圆柱的体积为(   )

A

B

C

D

正确答案

B

解析

画出圆柱的轴截面

,所以,那么圆柱的体积是,故选B.

考查方向

(1)外接球(2)圆柱的体积

解题思路

画出圆柱的轴截面,由题意直接求出,再利用圆柱的体积公式直接求出

易错点

用轴截面解外接球

1
题型: 单选题
|
分值: 5分

10.在正方体中,为棱的中点,则    (   )

A

B

C

D

正确答案

C

解析

平面 ,,平面,又平面,故选C.

考查方向

相互垂直的异面直线

解题思路

在正方体中平面,又 ,,所以平面, ,故选出答案

易错点

由线面垂直推出线线垂直

1
题型: 单选题
|
分值: 5分

4.已知,则=   (   )

A

B

C

D

正确答案

A

解析

, 故选A.

考查方向

(1)同角三角函数关系式(2)二倍角公式

解题思路

由已知得,进而就可以求出

易错点

直接平方就可以求

1
题型: 单选题
|
分值: 5分

8.执行右面的程序框图,为使输出S的值小于91,则输入的正整数的最小值为(   )

A5

B4

C3

D2

正确答案

D

解析

,第一次进入循环,成立,成立,第二次进入循环,此时不成立,所以输出成立,所以输入的正整数的最小值是2,故选D.

考查方向

程序框图的应用。

解题思路

通过程序框图的要求,写出每次循环的结果得到输出的值.

易错点

循环结构的条件判断

1
题型: 单选题
|
分值: 5分

11.已知椭圆,的左、右顶点分别为,且以线段为直径的圆与直线相切,则C的离心率为         (   )

A

B

C

D

正确答案

A

解析

以线段为直径的圆是,直线与圆相切,所以圆心到直线的距离,整理为,即,即 ,,故选A.

考查方向

(1)椭圆的性质  (2)直线与圆的位置关系

解题思路

以线段为直径的圆是,由题意得,整理得出,再由椭圆中的关系,得出,进而得出离心率

易错点

椭圆的几何性质

1
题型: 单选题
|
分值: 5分

12.已知函数有唯一零点,则(   )

A

B

C

D1

正确答案

C

解析

, 即为函数的极值点,故

,故选C.

考查方向

(1)函数的极值(2)函数的零点

解题思路

求导,得出,由题其极值点为0,进而解出.

易错点

函数唯一的零点的转化

填空题 本大题共4小题,每小题5分,共20分。把答案填写在题中横线上。
1
题型:填空题
|
分值: 5分

13.已知向量,且,则=       .

正确答案

2

解析

由题意可得: .

考查方向

向量的垂直

解题思路

由向量垂直定义直接就可以求出结果

易错点

向量垂直的坐标运算

1
题型:填空题
|
分值: 5分

14.双曲线的一条渐近线方程为,则       .

正确答案

5

解析

由双曲线的标准方程可得渐近线方程为: ,结合题意可得:.

考查方向

双曲线的性质

解题思路

由题直接算出双曲线的渐近线方程为,结合题意可得

易错点

双曲线的渐近线方程

1
题型:填空题
|
分值: 5分

15.内角的对边分别为,已知,则________.

正确答案

解析

由题意: ,即 ,结合 可得 ,则

考查方向

(1)正弦定理(2)解三角形

解题思路

由正弦定理直接算出,再由,得出,再利用三角形的内角和得出

易错点

(1)在解三角形中正弦定理应用(2)大边对大角

1
题型:填空题
|
分值: 5分

16.设函数,则满足的取值范围是________.

正确答案

解析

由题意得: 当 恒成立,即;当 恒成立,即;当,即;综上的取值范围是.

考查方向

(1)分段函数(2)解不等式

解题思路

由题意得,在时不同的不等式,进而求解

易错点

分段进行化简

简答题(综合题) 本大题共80分。简答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
1
题型:简答题
|
分值: 12分

18.(12分)某超市计划按月订购一种酸奶,每天进货量相同,进货成本每瓶元,售价每瓶元,未售出的酸奶降价处理,以每瓶元的价格当天全部处理完。根据往年销售经验,每天需求量与当天最高气温(单位:)有关。如果最高气温不低于,需求量为瓶;如果最高气温位于区间,需求量为瓶;如果最高气温低于,需求量为瓶。为了确定六月份的订购计划,统计了前三年六月份各天的最高气温数据,得下面的频率分布表:

以最高气温位于各区间的频率代替最高气温位于该区间的概率。

估计六月份这种酸奶一天的需求量不超过瓶的概率;

设六月份一天销售这种酸奶的利润为(单位:元)。当六月份这种酸奶一天的进货量为瓶时,写出的所有可能值并估计大于的概率?

正确答案

(1)  (2)4/5

解析

(1)需求量不超过300瓶,即最高气温不高于,从表中可知有54天,

∴所求概率为.

(2)的可能值列表如下:

低于

不低于

大于0的概率为.

考查方向

(1)概率的计算,(2)函数的思想

解题思路

(1)需求量不超过300瓶,即最高气温不高于,从表中可知有54天,得出概率;(2)列出的可能值,由表可知当温度大于等于时,大于,可以求出

易错点

转化与化归的思想的运用

1
题型:简答题
|
分值: 12分

20.(12分)在直角坐标系中,曲线轴交于两点,点的坐标为(0,1)。当变化时,解答下列问题:

(1)       能否出现的情况?说明理由;

(2)   证明过三点的圆在轴上截得的弦长为定值.

正确答案

(1)不能(2)见解析

解析

(1)令,又

的根

假设成立,

不能出现的情况

(2)令圆与轴的交点为

令圆的方程为

令得的根为

. ①

在①上,

解得

轴上的弦长为3,为定值.

考查方向

(1)二次方程韦达定理(2)直线与圆锥曲线

解题思路

(1)设坐标,并用韦达定理表示,计算,可知不能出现的情况,(2)令圆与轴的交点为,设圆的一般方程,并分别令,再令求得圆的方程,解得,得出结论

易错点

(1)二次方程韦达定理;(2)过三点的圆

1
题型:简答题
|
分值: 12分

17.(12分)设数列满足.

(1)求的通项公式;

(2)求数列 的前项和.

正确答案

(1)   (2)

解析

(1)当时,

时,由

① -②得

验证符合上式

所以

(2)

考查方向

(1)求通项公式(2)数列的求和,裂项相减法

解题思路

(1)当时,求出,再当时,由题的等式,再写出下标为等式,两式相减,得出通项公式;(2)由(1)中通项公式代入,符合裂项相减的特点,直接求出

易错点

裂项相减法及计算能力

1
题型:简答题
|
分值: 12分

19.(12分)如图,四面体中,是正三角形,

(1)证明:

(2)已知是直角三角形,,若为棱上与不重合的点,且,求四面体与四面体的体积比.

正确答案

(1)见解析  (2)1

解析

(1)证明:取中点,连,∵中点,

,又∵是等边三角形,∴

又∵,∴平面平面,∴.

(2)由题意,令,取中点,即

在直角中,

中有

中点,

考查方向

(1)线面垂直的判定定理;(2)四面体的体积

解题思路

(1)由,又是等边三角形,∴,∴平面,得证;(2)要求两个四面体的体积比,点中点,很容易求出比.

易错点

线面垂直的判定定理

1
题型:简答题
|
分值: 12分

21.(12分)设函数.

(1)讨论的单调性;

(2)当时,证明

正确答案

(1)见解析(2)见解析

解析

(1)由

①当时,单增;

② 当时,令,即

解得

.当时,开口向上,,,即单增;

.当时,开口向上,

此时,在上,,即单减 ,

上,,即单增.

(2)由(1)可得:

故要证

即证

即证

即证

,得

考查方向

导数在研究函数中的应用

解题思路

(1)对求导,对分类讨论得到不同情况下的在相应区间的正负性,即在相应区间的增减性;(2)根据(1)中得到的的单调性,得知要证,等价要证,于是构造函数恒小于等于0,利用导数研究,即可证明.

易错点

(1)导数在研究函数中的应用; (2)构造函数

1
题型:简答题
|
分值: 10分

22.请考生在第22、23题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分。

选修4―4:坐标系与参数方程](10分)

在直角坐标系中,直线与参数方程为为参数),直线的参数方程为为参数),设的交点为,当变化时,的轨迹为曲线.

(1) 写出的普通方程;

(2) 以坐标原点为极点,轴正半轴为极轴建立极坐标系,设的交点,求的极径.

正确答案

(1)  (2)

解析

(1)直线的普通方程为,直线的普通方程为

消去,即C的普通方程为.

(2)化为普通方程为

联立  得 

,∴与C的交点M的极径为.

考查方向

(1)参数方程(2)极坐标方程

解题思路

(1)由两个参数方程分别消去,得到两个普通方程,再消去得出;(2)将的极坐标方程化为普通方程,与(1)中的结果联立,得出坐标,再由极径的公式得出.

1
题型:简答题
|
分值: 10分

23.请考生在第22、23题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分。

选修4—5:不等式选讲](10分)

已知函数.

(1)求不等式的解集;

(2)若不等式的解集非空,求的取值范围.

正确答案

(1)(2)

解析

可等价为.由可得:

①当时显然不满足题意;

②当时,,解得

③当时,恒成立.综上,的解集为.

(2)原式等价于存在,使

成立,即

由(1)知

时,

其开口向下,对称轴

其开口向下,对称轴为

时,

其开口向下,对称轴为

综上

的取值范围为 .

考查方向

求解绝对值不等式

解题思路

(1)对的范围分段讲座得到不同区间上的函数表达式,每段分别求解不等式对各段解集取并集,可得解集;(2)依题可将问题转化为求函数的最大值,则只要即可,结合(1)可得函数的表达式,在每段上分别求函数的最大值,最后得到在整个实数集上的最大值,即可求得.

易错点

(1)分段讨论(2)恒成立问题

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