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已知集合,
,则
是
正确答案
某四棱锥的三视图如图所示,网格纸上小正方形的边长为1,则该四棱锥的体积为
正确答案
阿波罗尼斯(约公元前262-190年)证明过这样一个命题:平面内到两定点距离之比为常数(
且
)的点的轨迹是圆.后人将这个圆称为阿氏圆.若平面内两定点
间的距离为2,动点
与
,
距离之比为
,当
不共线时,
面积的最大值是
正确答案
已知为虚数单位,设复数
满足
,
则=
正确答案
“”是“
”的
正确答案
下列函数中,是奇函数且在内是减函数的是
① ②
③
④
正确答案
正确答案
8.如图,为等边三角形,四边形
为正方形,平面
平面
.若点
为平面
内的一个动点,且满足
,则点
在正方形
及其内部的轨迹为
正确答案
执行如图所示的程序框图,输出的值为 .
正确答案
已知双曲线的中心在原点,对称轴为坐标轴,它的一个焦点与抛物线
的焦点重合,一条渐近线方程为
,则双曲线
的方程是 .
正确答案
已知菱形的边长为2,
,则
.
正确答案
高斯说过,他希望能够借助几何直观来了解自然界的基本问题.一位同学受到启发,按以下步骤给出了柯西不等式的“图形证明”:
(1)左图矩形中白色区域面积等于右图矩形中白色区域面积;
(2)左图阴影区域面积用表示为 ;
(3)右图中阴影区域的面积为 ;
(4)则柯西不等式用字母可以表示为
.
请简单表述由步骤(3)到步骤(4)的推导过程: .
正确答案
;两个要点:(1)两图中的阴影部分面积相等;
(2).
若变量x,y满足约束条件则
的最小值为 .
正确答案
如图,一位同学从处观测塔顶
及旗杆顶
,得仰角分别为
和
. 后退
(单位m)至点
处再观测塔顶
,仰角变为原来的一半,设塔
和旗杆
都垂直于地面,且
,
,
三点在同一条水平线上,则塔
的高为 m;旗杆
的高为 m.(用含有
和
的式子表示)
正确答案
;
(本小题满分13分)
已知由实数构成的等比数列满足
,
.
(Ⅰ)求数列的通项公式;
(Ⅱ)求.
正确答案
解:(Ⅰ)由可得
.
由数列各项为实数,解得
,
.
所以数列的通项公式为
或
. …………………7分
(Ⅱ)当时,
;
当时,
.
(本小题满分13分)
已知函数.
(Ⅰ)求的最小正周期;
(Ⅱ)求证:当时,
.
正确答案
解:(Ⅰ)因为
.
所以函数的最小正周期为
. …………………………7分
(Ⅱ)由(Ⅰ)可知,.
当时,
,
,
.
当即
时,
取得最小值
.
所以当时,
. …………………………13分
(本小题满分13分)
2017年,世界乒乓球锦标赛在德国的杜赛尔多夫举行.整个比赛精彩纷呈,参赛选手展现出很高的竞技水平,为观众奉献了多场精彩对决.图1(扇形图)和表1是其中一场关键比赛的部分数据统计.两位选手在此次比赛中击球所使用的各项技术的比例统计如图1.在乒乓球比赛中,接发球技术是指回接对方发球时使用的各种方法.选手乙在比赛中的接发球技术统计如表1,其中的前4项技术统称反手技术,后3项技术统称为正手技术.
图1
(Ⅰ)观察图1,在两位选手共同使用的8项技术中,差异最为显著的是哪两项技术?
(Ⅱ)乒乓球接发球技术中的拉球技术包括正手拉球和反手拉球.从表1统计的选手乙的所有拉球中任取两次,至少抽出一次反手拉球的概率是多少?
(Ⅲ)如果仅从表1中选手乙接发球得分率的稳定性来看(不考虑使用次数),你认为选手乙的反手技术更稳定还是正手技术更稳定?(结论不要求证明)
正确答案
解:(Ⅰ)根据所给扇形图的数据可知,差异最为显著的是正手搓球和反手拧球两项技术.
………………2分
(Ⅱ)根据表1的数据可知,选手乙的反手拉球2次,分别记为A,B,正手拉球4次,分别记为a,b,c,d.则从这六次拉球中任取两次,共15种结果,分别是:
AB, Aa,Ab, Ac, Ad, Ba,Bb,Bc, Bd, ab,ac, ad, bc, bd,cd.
其中至少抽出一次反手拉球的共有9种,分别是:
AB,Aa,Ab,Ac, Ad, Ba, Bb,Bc, Bd.
则从表1统计的选手乙的所有拉球中任取两次,至少抽出一次反手拉球的概率. …………………………10分
(Ⅲ)正手技术更稳定. …………………………13分
(本小题满分14分)
已知椭圆的一个焦点坐标为
.
(Ⅰ)求椭圆的方程;
(Ⅱ)已知点,过点
的直线
(与
轴不重合)与椭圆
交于
两点,直线
与直线
相交于点
,试证明:直线
与
轴平行.
正确答案
解:(Ⅰ)由题意可知所以
.
所以椭圆的方程为
. …………………………3分
(Ⅱ)①当直线的斜率不存在时,此时
轴.设
,直线
与
轴相交于点
,易得点
是点
和点
的中点,又因为
,
所以.
所以直线轴.
②当直线的斜率存在时,设直线
的方程为
,
.
因为点,所以直线
的方程为
.
令,所以
.
由消去
得
.
显然恒成立.
所以
因为
,
所以.
所以直线轴.
综上所述,所以直线轴. …………………………14分
(本小题满分14分)
如图,在三棱柱中,底面
为正三角形,侧棱
底面
.已知
是
的中点,
.
(Ⅰ)求证:平面平面
;
(Ⅱ)求证:∥平面
;
(Ⅲ)求三棱锥的体积.
正确答案
(Ⅰ)证明:由已知为正三角形,且
是
的中点,
所以.
因为侧棱底面
,
,
所以底面
.
又因为底面
,所以
.
而,
所以平面
.
因为平面
,所以平面
平面
.…………………………5分
(Ⅱ)证明:连接
,设
,连接
.
由已知得,四边形为正方形,则
为
的中点.
因为是
的中点,
所以.
又因为平面
,
平面
,
所以∥平面
. …………………………10分
(Ⅲ)由(Ⅱ)可知∥平面
,
所以与
到平面
的距离相等,
所以.
由题设及,得
,且
.
所以,
所以三棱锥的体积为
. …………………………14分
(本小题满分13分)
已知函数,
.
(Ⅰ)求曲线在点
处的切线的斜率;
(Ⅱ)判断方程(
为
的导数)在区间
内的根的个数,说明理由;
(Ⅲ)若函数在区间
内有且只有一个极值点,求
的取值范围.
正确答案
解:(Ⅰ).
. …………………………3分
(Ⅱ)设,
.
当时,
,则函数
为减函数.
又因为,
,
所以有且只有一个,使
成立.
所以函数在区间
内有且只有一个零点,即方程
在区间
内有且只有一个实数根. …………………………7分
(Ⅲ)
若函数在区间
内有且只有一个极值点,由于
,即
在区间
内有且只有一个零点
,且
在
两侧异号.
因为当时,函数
为减函数,所以在
上,
,即
成立,函数
为增函数;
在上,
,即
成立,函数
为减函数.
则函数在
处取得极大值
.
当时,虽然函数
在区间
内有且只有一个零点
,但
在
两侧同号,不满足
在区间
内有且只有一个极值点的要求.
由于,显然
.
若函数在区间
内有且只有一个零点
,且
在
两侧异号,
则只需满足:
.即
,解得
. ……………………13分