2017年高考真题 文科数学 (北京卷)
精品
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单选题 本大题共8小题,每小题5分,共40分。在每小题给出的4个选项中,有且只有一项是符合题目要求。
1
题型: 单选题
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分值: 5分

1.已知,集合,则(        )

A

B

C

D

正确答案

C

解析

因为所以故选C.

考查方向

主要考查集合的补集运算.

解题思路

利用集合的补集运算即可求解.

易错点

注意端点的取值是否取到.

1
题型: 单选题
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分值: 5分

2.若复数在复平面内对应的点在第二象限,则实数的取值范围是(     )

A

B

C

D

正确答案

B

解析

因为且对应的点在第二象限,所以解得故选B.

考查方向

主要考查复数的运算.

解题思路

利用复数四则运算和复数的几何意义即可求解.

易错点

易在计算时出现问题.

1
题型: 单选题
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分值: 5分

3.执行如图所示的程序框图,输出的值为(       )

A2

B

C

D

正确答案

C

解析

成立,第一次进入循环成立,第二次进入循环,成立,第三次进入循环不成立,结束循环,输出故选C.

考查方向

主要考查程序框图.

解题思路

根据程序框图模拟程序即可求解.

易错点

易在模拟程序计算时出错.

1
题型: 单选题
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分值: 5分

7.设m, n为非零向量,则“存在负数,使得m=λn”是“m·n<0”的(         )

A充分而不必要条件

B必要而不充分条件

C充分必要条件

D既不充分也不必要条件

正确答案

A

解析

,使,即两向量反向,夹角是,那么T,若,那么两向量的夹角为 ,并不一定反向,即不一定存在负数,使得,所以是充分不必要条件,故选A.

考查方向

主要平面向量的夹角公式和简易逻辑.

解题思路

利用平面向量的夹角公式即可求解.

易错点

注意平面向量夹角公式的运用和取特殊角时的情况.

1
题型: 单选题
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分值: 5分

8.根据有关资料,围棋状态空间复杂度的上限M约为3361,而可观测宇宙中普通物质的原子总数N约为1080.则下列各数中与最接近的是(        )

(参考数据:lg3≈0.48)

A1033

B1053

C1073

D1093

正确答案

D

解析

两边取对数, 所以最接近故选D.

考查方向

主要考查对数的运算.

解题思路

利用对数的运算和对数的换底公式即可求解.

易错点

易在对数的运算和换底公式的运用上出现错误.

1
题型: 单选题
|
分值: 5分

4.若满足的最大值为(       )

A1

B3

C5

D9

正确答案

D

解析

如图,画出可行域,

表示斜率为的一组平行线,当过点时,目标函数取得最大值,故选D.

考查方向

主要考查简单的线性规划问题.

解题思路

画出不等式组表示的可行域,根据目标函数的几何意义即可求解.

易错点

在求目标函数时易出现错误.

1
题型: 单选题
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分值: 5分

5.已知函数,则(           )

A是偶函数,且在R上是增函数

B是奇函数,且在R上是增函数

C是偶函数,且在R上是减函数

D是奇函数,且在R上是增函数

正确答案

B

解析

因为所以函数是奇函数,并且是增函数,是减函数,根据增函数—减函数=增函数,所以函数是增函数,故选B.

考查方向

主要考查函数的基本性质.

解题思路

利用函数奇偶性和单调性即可求解.

易错点

注意函数的单调性和奇偶性的运用.

1
题型: 单选题
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分值: 5分

6.某三棱锥的三视图如图所示,则该三棱锥的体积为(        )

A60

B30

C20

D10

正确答案

D

解析

该几何体是三棱锥,如图:

图中红色线围成的几何体为所求几何体,该几何体的体积是故选D.

考查方向

主要几何体的三视图.

解题思路

利用几何体的三视图还原几何体,代入几何体的体积计算公式即可求解.

易错点

易在几何体图形的数据对应上出现错误.

填空题 本大题共6小题,每小题5分,共30分。把答案填写在题中横线上。
1
题型:填空题
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分值: 5分

9.在平面直角坐标系xOy中,角与角均以Ox为始边,它们的终边关于y轴对称.若sin=,则sin=_________.

正确答案

解析

关于轴对称,则 ,所以,故答案为

考查方向

主要考查三角函数的诱导公式的运用.

解题思路

根据角关于轴对称,找出二者的关系式,再利用诱导公式即可求解.

易错点

易在两角之间的关系式和诱导公式的运用时出现问题.

1
题型:填空题
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分值: 5分

10.若双曲线的离心率为,则实数m=__________.

正确答案

2

解析

,所以 ,解得 .故答案为2.

考查方向

主要考查双曲线的简单几何性质.

解题思路

根据双曲线的定义以及三个参数之间的关系即可求解.

易错点

易在计算时出现错误.

1
题型:填空题
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分值: 5分

12.已知点P在圆上,点A的坐标为(-2,0),O为原点,则的最大值为_________.

正确答案

6

解析

所以最大值是6.

考查方向

主要考查平面向量的数量积.

解题思路

利用平面向量的数量积和三角函数的值域即可求解.

易错点

易在向量积的计算和夹角的取值出现问题.

1
题型:填空题
|
分值: 5分

13.能够说明“设abc是任意实数.若a>b>c,则a+b>c”是假命题的一组整数a,b,c的值依次为

______________________________.

正确答案

-1,-2,-3(答案不唯一)

解析

相矛盾,所以验证是假命题.

考查方向

主要考查命题的真假判断.

解题思路

取特殊值代入即可求解.

易错点

易在对题设的理解上出现错误.

1
题型:填空题
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分值: 5分

11.已知,且x+y=1,则的取值范围是__________.

正确答案

解析

所以当时,取最大值1;当时,取最小值因此取值范围为,故答案为.

考查方向

主要考查函数的值域问题.

解题思路

根据已知条件将式子进行化简,变形成关于的二次函数求最值问题.

易错点

易在式子的变形和变量的取值范围出现错误.

1
题型:填空题
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分值: 5分

14.某学习小组由学生和学科网&教师组成,人员构成同时满足以下三个条件:

(ⅰ)男学生人数多于女学生人数;

(ⅱ)女学生人数多于教师人数;

(ⅲ)教师人数的两倍多于男学生人数.

①若教师人数为4,则女学生人数的最大值为__________.

②该小组人数的最小值为__________.

正确答案

6,12

解析

设男生数,女生数,教师数为 ,则

第一小问:

第二小问:

考查方向

不等式的性质.

解题思路

根据男生数,女生数,教师数之间的关系即可求解.

易错点

易在数值的取定上出现错误.

简答题(综合题) 本大题共80分。简答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
1
题型:简答题
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分值: 13分

15.(本小题13分)

已知等差数列和等比数列满足a1=b1=1,a2+a4=10,b2b4=a5

(Ⅰ)求的通项公式;

(Ⅱ)求和:

正确答案

(1) (2).

解析

(1)设公差为所以

(2)设公比为所以是以为首项,为公比的等比数列,所以

考查方向

(1)主要考查等差数列的性质和通项公式.

(2)主要考查等比数列的性质和求和公式.

解题思路

(1)设公差为代入通项公式即可求解.

(2)设公比为利用等比数列的性质和已知条件即可求出是以为首项,为公比的等比数列,代入等比数列的求和公式即可求解.

易错点

(1)易在代入通项公式的计算时出现错误.

(2)易在计算时出现错误.

1
题型:简答题
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分值: 13分

17.(本小题13分)

某大学艺术专业400名学生参加某次测评,根据男女学生人数比例,使用分层抽样的方法从中随机抽取了100名学生,记录他们的分数,将数据分成7组:[20,30),[30,40),┄,[80,90],并整理得到如下频率分布直方图:

(Ⅰ)从总体的400名学生中随机抽取一人,估计其分数小于70的概率;

(Ⅱ)已知样本中分数小于40的学生有5人,试估计总体中分数在区间[40,50)内的人数;

(Ⅲ)已知样本中有一半男生的分数学.科网不小于70,且样本中分数不小于70的男女生人数相等.试估计总体中男生和女生人数的比例

正确答案

(1)0.4(2)20人(3).

解析

(1)根据频率分布直方图可知,样本中分数不小于70的频率为所以样本中分数小于70的频率为

所以从总体的400名学生中随机抽取一人,其分数小于70的概率估计为

(2)根据题意,样本中分数不小于50的频率为分数在区间内的人数为所以总体中分数在区间内的人数估计为

(3)由题意可知,样本中分数不小于70的学生人数为

所以样本中分数不小于70的男生人数为.

所以样本中的男生人数为,女生人数为,男生和女生人数的比例为.

所以根据分层抽样原理,总体中男生和女生人数的比例估计为.

考查方向

(1)主要考查频率分布直方图的性质.

(2)主要考查频率分布直方图的性质.

(3)主要考查分层抽样的性质.

解题思路

(1)根据频率分布直方图先求出频率,进一步求出求结果.

(2)利用频率计算出结果.

(3)利用频率分布直方图计算出每层人数,根据分层抽样的性质即可计算.

易错点

(1)易在频率的计算时出现错误(忘记乘以组距).

(2)以忽视低于40分的人数.

(3)易在每层的抽取时出现错误.

1
题型:简答题
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分值: 13分

20.(本小题13分)

已知函数

(Ⅰ)求曲线在点处的切线方程;

(Ⅱ)求函数在区间上的最大值和最小值.

正确答案

(1) (2)最大值1;最小值.

解析

(1)因为又因为所以曲线在点处的切线方程

(2)设,则.

时,

所以在区间上单调递减.

所以对任意,即.

所以函数在区间上单调递减.

因此在区间上的最大值为,最小值为.

考查方向

(1)主要考查导数在某点出的几何意义.

(2)主要考查导数在函数单调性中的应用.

解题思路

(1)对函数求导,利用导数的几何意义即可求出切线方程.

(2)设,则.

根据的单调性进一步求出函数的单调性,根据单调性进一步求出函数的最值.

易错点

(1)易在函数的求导和计算时出现错误.

(2)易在导函数的求取和符号判断时出现问题.

1
题型:简答题
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分值: 13分

16.(本小题13分)

已知函数.

(I)f(x)的最小正周期;

(II)求证:当时,

正确答案

(1) (2)详见解析

解析

(1).

所以的最小正周期.

(2)因为

所以.

所以.

所以当时,.

考查方向

(1)主要考查三角函数的周期

(2)主要考查三角函数的图象和性质.

解题思路

(1)利用两角和与差的正余弦公式化简即可求出函数的最小正周期.

(2)利用三角函数的图象性质进行求值即可.

易错点

易在函数的化简出现错误.易在三角函数的求值时出现错误.

1
题型:简答题
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分值: 14分

18.(本小题14分)

如图,在三棱锥PABC中,PAABPABCABBCPA=AB=BC=2,D为线段AC的中点,E为线段PC上一点.

(Ⅰ)求证:PABD;(Ⅱ)求证:平面BDE⊥平面PAC;(Ⅲ)当PA∥平面BDE时,求三棱锥EBCD的体积.

正确答案

(1)详见解析(2)详见解析(3)

解析

(1)证明:因为又因为所以PABD.

(2)因为中点,所以

由(I)知,,所以平面

所以平面平面.

(3)因为平面,平面平面

所以.

因为的中点,所以.

由(I)知,平面,所以平面.

所以三棱锥的体积.

考查方向

(1)主要考查线面垂直的判定和性质.

(2)主要考查面面垂直的判定.

(3)主要考查棱锥的体积计算.

解题思路

(1)利用线面垂直的判定和性质即可得出结果.

(2)利用面面垂直的判定即可得出结果.

(3)利用线面平行的性质和锥体的体积计算公式即可得出结果.

易错点

(1)易在性质的应用时出错.

(2)易在条件的找取出现错误.

(3)易在锥体的体积计算时出错.

1
题型:简答题
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分值: 14分

19.(本小题14分)

已知椭圆C的两个顶点分别为A(−2,0),B(2,0),焦点在x轴上,离心率为

(Ⅰ)求椭圆C的方程;(Ⅱ)点Dx轴上一点,过Dx轴的垂线交椭圆C于不同的两点MN,过DAM的垂线交BN于点E.求证:△BDE与△BDN的面积之比为4:5.

正确答案

(1) (2)详见解析

解析

(1)设椭圆的方程为由题意可得解得所以椭圆的方程为

(2)设,则.

由题设知,且.

直线的斜率,故直线的斜率.

所以直线的方程为.

直线的方程为.

联立解得点的纵坐标.

由点在椭圆上,得.

所以.

所以的面积之比为.

考查方向

(1)主要考查椭圆的标准方程.

(2)主要考查直线与椭圆的综合问题.

解题思路

(1)根据条件确定三个参数之间的关系,求出,进一步求出椭圆方程.

(2)将直线方程与椭圆方程联立,利用韦达定理,结合三角形的面积公式,即可求出结果.

易错点

(1)根据条件确定三个参数时易出现错误.

(2)易在利用韦达定理计算时出现错误.

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