• 2020年高考真题 理科数学 (全国III卷)
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单选题 本大题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的4个选项中,有且只有一项是符合题目要求。
1

1.已知集合A=,B=,则中元素个数为

A2

B3

C4

D6

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1

2.复数的虚部是

A

B

C

D

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1

3.在一组样本数据中,1,2,3,4出现的频率分别为,且,则下面四种情形中,对应样本的标准差最大的一组是

A

B

C

D

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1

4. Logistic模型是常用数学模型之一,可应用于流行病学领域,有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数的单位:天)的Logistic模型:,其中为的最大确诊病例数.当时,标志着已初步遏制疫情,则约为(ln193)

A60

B63

C66

D69

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1

5. 设O为坐标原点,直线与抛物线交于D,E两点,若,则C的焦点坐标为

A(,0)

B(,0)

C(1,0)

D(2,0)

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1

6. 已知向量a,b满足,则

A

B

C

D

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1

7. 在△ABC中,,则

A

B

C

D

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1

8.  右图为某几何体的三视图,则该几何体的表面积是


A

B

C

D

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1

9.已知,则

A-2

B-1

C1

D2

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1

10.若直线与曲线和圆都相切,则的方程为

A

B

C

D

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1

11. 设双曲线的左、右焦点分别为, ,离心率为. 上一点,且.若△的面积为4,则a=

A1

B2

C4

D8

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1

12. 已知,设,则

A

B

C

D

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填空题 本大题共4小题,每小题5分,共20分。把答案填写在题中横线上。
1

13. 若x,y满足约束条件,则z=3x+2y的最大值为_____.

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1

14. 的展开式中常数项是______(用数字作答).

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1

15.已知圆锥的底面半径为1,母线长为3,则该圆锥内半径最大的球的体积为____.

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1

16.关于函数有如下四个命题:

的图像关于轴对称.

的图像关于原点对称.

的图像关于直线对称.

的最小值为2.

其中所有真命题的序号是____.

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简答题(综合题) 本大题共70分。简答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
1

17. (12分)

设数列满足.

(1)计算,猜想的通项公式并加以证明;

(2)求数列的前n项和.

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1

18. (12分)

某学生兴趣小组随机调查了某市100天中每天的空气质量等级和当天到某公园锻炼的人次,整理数据得到下表(单位:天):

(1)  分别估计该市一天的空气质量等级为1,2,3,4的概率;

(2)  求一天中到该公园锻炼的平均人次的估计值(同一组中的数据用该组区间的中点值为代表);

(3)  若某天的空气质量等级为1或2,则称这天“空气质量好”;若某天的空气质量等级为3或4,则称这天“空气质量不好”。根据所给数据,完成下面的列联表,并根据列联表,判断是否有95%的把握认为一天中到该公园锻炼的人次与该市当天的空气质量有关?

附:,

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1

19. (12分)

如图,在长方体-中,点E,F分别在棱上,且.

(1)证明:点在平面内;

(2)若,求二面角的正弦值.


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1

20. (12分)

已知椭圆C: 的离心率为,A,B分别为C的左、右顶点.

(1)求C的方程;

(2)若点P在C上,点Q在直线上,且,,求的面积.

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1

21. (12分)

设函数,曲线在点处的切线与轴重直,

(1)求

(2)若有一个绝对值不大于1的零点,证明: 所有零点的绝对值都不大于1.

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1

(二)选考题:共10分,请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做,则按所做的第一题计分。

(1)22. [选修4—4:坐标系与参数方程] (10分)

在直角坐标系中,曲线C的参数方程为(t为参数且t≠1),C与坐标轴交于A,B两点.

(1)求|AB|;

(2)以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,求直线AB的极坐标方程.

(2)23. [选修4—5:不等式选讲](10分)

,abc=1.

(1)  证明:

(2)  用表示的最大值,证明:

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