2015年高考权威预测卷 理科数学 (辽宁卷)
精品
|
单选题 本大题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的4个选项中,有且只有一项是符合题目要求。
1
题型: 单选题
|
分值: 5分

4.设等比数列{an}的前n项和为Sn,若=3,则=(  )

A2

B

C

D3

正确答案

B

解析

设公比为q,则===1+q3=3,所以q3=2,所以===,故选B。

知识点

由数列的前几项求通项
1
题型: 单选题
|
分值: 5分

6.已知函数f(x)=在区间(﹣∞,+∞)上是增函数,则常数a的取值范围是(  )

A(1,2)

B(﹣∞,1]∪[2,+∞)

C[1,2]

D(﹣∞,1)∪(2,+∞)

正确答案

C

解析

由于f(x)=

且f(x)在区间(﹣∞,+∞)上是增函数,

则当x≥0时,y=x2显然递增;

当x<0时,y=x3+a2﹣3a+2的导数为y′=3x2≥0,则递增;

由f(x)在R上单调递增,

则02≥03+a2﹣3a+2,即为a2﹣3a+2≤0,

解得,1≤a≤2.

故选C.

知识点

函数的概念及其构成要素
1
题型: 单选题
|
分值: 5分

9.已知点分别是正方体的棱的中点,点分别是线段上的点,则满足与平面平行的直线有()

A0条

B1条

C2条

D无数条

正确答案

D

解析

与平面平行,而且与线段分别相交与M、N的平面有无数多,所以直线有无数条。

知识点

空间几何体的结构特征
1
题型: 单选题
|
分值: 5分

3.设x、y是两个实数,命题“x、y中至少有一个数大于1”成立的充分不必要条件是(  )

Ax+y=2

Bx+y>2

Cx2+y2>2

Dxy>1

正确答案

B

解析

时有x+y≤2但反之不成立,例如当x=3,y=﹣10满足x+y≤2当不满足,所以是x+y≤2的充分不必要条件,所以x+y>2是x、y中至少有一个数大于1成立的充分不必要条件,故选B。

知识点

四种命题及真假判断
1
题型: 单选题
|
分值: 5分

7.已知点,若线段有相同的垂直平分线,则点的坐标是(   )

A

B

C

D

正确答案

A

解析

由点斜式求得线段AB的垂直平分线方程,检验得选项为A。

知识点

由数列的前几项求通项
1
题型: 单选题
|
分值: 5分

8.以下有五个结论:

①某校高三一班和高三二班的人数分别是,某次测试数学平均分分别是,则这两个班的数学平均分为

②若x1,x2,…,x10的平均数为a,方差为b,则x1+5,x2+5,…,x10+5的平均数为a+5,方差为b+25.;

③从总体中抽取的样本, 则回归直线=至少过点中的某一个点;

其中正确结论的个数有(    )

A0个

B1 个

C2 个

D3个

正确答案

A

解析

略。

知识点

函数的概念及其构成要素
1
题型: 单选题
|
分值: 5分

2.已知集合A={x|x2≥1},B={x|y=},则A∩∁RB=(  )

A(2,+∞)

B(﹣∞,﹣1]∪(2,+∞)

C(﹣∞,﹣1)∪(2,+∞)

D[﹣1,0]∪[2,+∞)

正确答案

B

解析

由A中不等式解得:x≥1或x≤﹣1,即A=(﹣∞,﹣1]∪[1,+∞),由B中y=,得到1﹣log2x≥0,即log2x≤1=log22,解得:0<x≤2,即B=(0,2],∴∁RB=(﹣∞,0]∪(2,+∞),则A∩∁RB=(﹣∞,﹣1]∪(2,+∞),

故选:B。

知识点

集合的含义
1
题型: 单选题
|
分值: 5分

5.定义在R上的函数f(x)满足f(x+6)=f(x),当﹣3≤x<﹣1时,f(x)=﹣(x+2)2,当﹣1≤x<3时,f(x)=x.则f(1)+f(2)+f(3)+…+f(2012)=(  )

A335

B338

C1678

D2012

正确答案

B

解析

∵f(x+6)=f(x),

∴f(x)是以6为周期的函数,

又当﹣1≤x<3时,f(x)=x,

∴f(1)+f(2)=1+2=3,f(﹣1)=﹣1=f(5),f(0)=0=f(6);

当﹣3≤x<﹣1时,f(x)=﹣(x+2)2

∴f(3)=f(﹣3)=﹣(﹣3+2)2=﹣1,

f(4)=f(﹣2)=﹣(﹣2+2)2=0,

∴f(1)+f(2)+f(3)+f(4)+f(5)+f(6)=1+2﹣1+0+(﹣1)+0=1,

∴f(1)+f(2)+f(3)+…+f(2012)

=[f(1)+f(2)+f(3)+…+f(2010)]+f(2011)+f(2012)

=335×1+f(1)+f(2)

=338.

故选:B.

知识点

函数的概念及其构成要素
1
题型: 单选题
|
分值: 5分

10.已知数列满足,则()

A143

B156

C168

D195

正确答案

C

解析

由an+1=an+2+1,得

,又a1=0,

∴{}是以1为首项,以1为公差的等差数列,则

.则a13=169﹣1=168.故选:C。

知识点

随机事件的关系
1
题型: 单选题
|
分值: 5分

1.已知i是虚数单位,若z(1+3i)=i,则z的虚部为(  )

A

B

C

D

正确答案

A

解析

由z(1+3i)=i,得,∴z的虚部为.故选:A。

知识点

虚数单位i及其性质
1
题型: 单选题
|
分值: 5分

11.用1,2,3,4,5,6组成数字不重复的六位数,满足1不在左右两端,2,4,6三个偶数中有且只有两个偶数相邻,则这样的六位数的个数为(  )

A432

B288

C216

D144

正确答案

B

解析

从2,4,6三个偶数中任意选出2个看作一个“整体”,方法有=6种.先排3个奇数:

①若1排在左端,方法有种;则将“整体”和另一个偶数中选出一个插在1的左边,方法有种,另一个偶数插在2个奇数形成的3个空中,方法有种,根据分步计数原理求得此时满足条件的六位数共有6×××=72种.

②若1排在右端,同理求得满足条件的六位数也有72种,

③若1排在中间,方法有种,则将“整体”和另一个偶数插入3个奇数形成的4个空中,

根据分步计数原理求得此时满足条件的六位数共有6××=144种.

综上,满足条件的六位数共有 72+72+144=288种,

故选B.

知识点

函数的概念及其构成要素
1
题型: 单选题
|
分值: 5分

12.函数在区间上单调递增,则的取值范围是()

A

B

C

D

正确答案

C

解析

当a>0时,y=在(﹣∞,]上为减函数,在[,+∞)上为增函数,且y=>0恒成立,

若函数在区间[0,1]上单调递增,

则y=在[0,1]上单调递增则≤0解得a∈(0,1],

当a=0时,在区间[0,1]上单调递增,满足条件,

当a<0时,在R单调递增,令=0,则x=ln

在(0,ln]为减函数,在[ln,+∞)上为增函数,

则ln≤0,解得a≥﹣1,

综上,实数a的取值范围是[﹣1,1],故选C。

知识点

函数的概念及其构成要素
填空题 本大题共5小题,每小题5分,共25分。把答案填写在题中横线上。
1
题型:填空题
|
分值: 5分

13.能够把圆:的周长和面积同时分为相等的两部分的函数称为圆的“和谐函数”,①   ② ③

上述函数不是圆的“和谐函数”的是()

正确答案

解析

若为和谐函数,则该函数为过原点的奇函数,显然①②④都满足条件,而③不是奇函数,所以不是圆O的和谐函数,所以答案为③。

知识点

定义法求轨迹方程
1
题型:填空题
|
分值: 5分

14.已知球的直径PQ=4,A、B、C是该球球面上的三点,∠APQ=∠BPQ=∠CPQ=30°,ABC是正三角形,则棱锥P-ABC的体积为_________________.

正确答案

解析

设球心为M,三角形ABC截面小圆的圆心为0,∵ABC是等边三角形,∠APQ=∠BPQ=∠CPQ=30°,∴P在面ABC的投影O是等边△ABC的重心(此时四心合一)∵PQ是直径,∴∠PCQ=90°.∴PC=4cos30°=2 ,∴PO=2cos30°=3.

OC=2sin30°=,O是等边△ABC的重心,∴OC=OH,∴等边三角形ABC的高

OH=,AC=÷sin60°=3.

则三棱锥P-ABC体积=PO•S△ABC=×3×××3=.

知识点

空间几何体的结构特征
1
题型:填空题
|
分值: 5分

16.已知函数为自然对数的底数)的图像与直线的交点为,函数的图像与直线的交点为恰好是点到函数图像上任意一点的线段长的最小值,则实数的值是()

正确答案

2

解析

由已知得M(0,2a),N(a,0),因为,则g(x)在x=a处的切线斜率为,若恰好是点到函数图像上任意一点的线段长的最小值,则,解得a=2。

知识点

函数的概念及其构成要素
1
题型:填空题
|
分值: 10分

17.已知数列的前项和为,且满足 ().

(1)求证:数列是等差数列;

(2)求.

正确答案

见解析。

解析

(1)证明:当时,,①

   由上式知若,则

,由递推关系知

∴由①式可得:当时,

是等差数列,其中首项为,公差为.

(2).

时,

时,不适合上式。

知识点

由数列的前几项求通项
1
题型:填空题
|
分值: 5分

15.已知直线与圆交于两点,是坐标原点,向量满足,则实数的值是()

正确答案

±2

解析

因为向量满足,所以OA⊥OB,又直线x+y=a的斜率为-1,所以直线经过圆与y轴的交点,所以a=±2。

知识点

直线的倾斜角与斜率
简答题(综合题) 本大题共60分。简答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
1
题型:简答题
|
分值: 10分

19.如图所示,圆O的直径为BD,过圆上一点A作圆O的切线AE,过点D作DE⊥AE于点E,延长ED与圆O交于点C.

(1)证明:DA平分∠BDE;

(2)若AB=4,AE=2,求CD的长.

正确答案

见解析。

解析

(1)证明:∵AE是⊙O的切线,∴∠DAE=∠ABD,

∵BD是⊙O的直径,∴∠BAD=90°,

∴∠ABD+∠ADB=90°,

又∠ADE+∠DAE=90°,

∴∠ADB=∠ADE.

∴DA平分∠BDE.

(2)由(1)可得:△ADE∽△BDA,∴

,化为BD=2AD.

∴∠ABD=30°.

∴∠DAE=30°.

∴DE=AEtan30°=.

由切割线定理可得:AE2=DE•CE,

解得CD=.

知识点

空间几何体的结构特征
1
题型:简答题
|
分值: 10分

18.为了解甲、乙两个快递公司的工作状况,假设同一个公司快递员的工作状况基本相同,现从甲、乙两公司各随机抽取一名快递员,并从两人某月(30天)的快递件数记录结果中随机抽取10天的数据,制表如下:

每名快递员完成一件货物投递可获得的劳务费情况如下:

甲公司规定每件4.5元;乙公司规定每天35件以内(含35件)的部分每件4元,超出35件的部分每件7元.

(1)根据表中数据写出甲公司员工A在这10天投递的快递件数的平均数和众数;

(2)为了解乙公司员工B的每天所得劳务费的情况,从这10天中随机抽取1天,他所得的劳务费记为(单位:元),求的分布列和数学期望;

(3)根据表中数据估算两公司的每位员工在该月所得的劳务费.

正确答案

(1)平均数为36,众数为33

(2)E(X)=165.5元

(3)甲公司被抽取员工该月收入4860元,乙公司被抽取员工该月收入4965元.

解析

(1)甲公司员工A投递快递件数的平均数为36,众数为33.

(2)设为乙公司员工B投递件数,则

=34时,=136元,当>35时,元,

的可能取值为136,147,154,189,203

的分布列为:

(3)根据图中数据,可估算甲公司被抽取员工该月收入4860元,乙公司被抽取员工该月收入4965元.

知识点

随机事件的关系
1
题型:简答题
|
分值: 12分

20.如图,在三棱柱中,的中点,.

(1)求证:平面平面

(2)求直线与平面所成角的正弦值;

(3)求二面角的余弦值.

正确答案

见解析。

解析

(1)取中点为,连接.

因为,所以.

所以平面

因为平面,所以.

由已知,,又

所以,因为

所以平面.

平面,所以平面平面.

(2)由(1)知,两两垂直.以

坐标原点,的方向为轴的方向, 为

单位长度1,建立如图所示的

空间直角坐标系.

由题设知.

.

设平面的法向量为m,则

mm,即,可取m.

设直线与平面所成角为

.

(3)由题设知

可取平面的法向量n1

平面的法向量n2

n1n2

所以二面角的余弦值为.

知识点

空间几何体的结构特征
1
题型:简答题
|
分值: 14分

21.已知中心在原点,焦点在轴上的椭圆C的离心率为,且经过点.

(1)求椭圆C的方程;

(2)是否存在过点的直线与椭圆C相交于不同的两点,满足?若存在,求出直线的方程;若不存在,请说明理由.

正确答案

(1)

(2) 存在,方程为

解析

(1)设椭圆C的方程为=1(a>b>0),由题意得解得a2=4,b2=3.故椭圆C的方程为

(2)假设存在直线l1且由题意得斜率存在,设满足条件的方程为y=k1(x-2)+1,

代入椭圆C的方程得,(3+4k)x2-8k1(2k1-1)x+16k-16k1-8=0.因为直线l1与椭圆C相交于不同的两点A,B,

设A,B两点的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),

所以Δ=[-8k1(2k1-1)]2-4(3+4k)·(16k-16k1-8)=32(6k1+3)>0,所以k1>-.又,x1x2=,因为

即(x1-2)(x2-2)+(y1-1)(y2-1)=,所以(x1-2)(x2-2)(1+)=.

即[x1x2-2(x1+x2)+4](1+)=.

所以,解得.因为k1>-,所以k1.于是存在直线l1满足条件,其方程为y=x.

知识点

函数的概念及其构成要素
1
题型:简答题
|
分值: 14分

22.已知函数.

(1)当时,求曲线处的切线方程;

(2)设函数,求函数的单调区间;

(3)若在上存在一点,使得成立,求的取值范围.

正确答案

(1)y=1;

(2)时在上单调递减,在上单调递增;时在上单调递增.

(3).

解析

(1)的定义域为

时, , ,切点,斜率,∴曲线在点处的切线方程为

(2)

①当时,即时,在,在

所以上单调递减,在上单调递增;②当,即时,在,所以函数上单调递增.

(3)在上存在一点,使得成立,即在上存在一点,使得,即函数上的最小值小于零.由(Ⅱ)可知:①当,即时, 上单调递减,

所以的最小值为,由可得

因为,所以

②当,即时,上单调递增,

所以最小值为,由可得

③当,即时,可得最小值为

因为,所以,

此时不存在使成立.

综上可得所求的范围是:.

知识点

函数的概念及其构成要素

点击 “立即下载”

即可下载本试卷,含解析哦

知道啦