2021年高考真题 理科数学 (全国甲卷)
精品
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单选题 本大题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的4个选项中,有且只有一项是符合题目要求。
1
题型: 单选题
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分值: 5分

1.设集合M={x|0<x<4},N={x|≤x≤5},则M∩N=

A{x|0<x≤

B{x|≤x<4}

C{x|4≤x<5}

D{x|0<x≤5}

正确答案

B
1
题型: 单选题
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分值: 5分

4.青少年视力是社会普遍关注的问题,视力情况可借助视力表测量,通常用五分记录法和小数记录法记录视力数据,五分记录法的数据L和小数记数法的数据V满足L=5+lgV。已知某同学视力的五分记录法的数据为4.9,则其视力的小数记数法的数据约为(≈1.259)

A1.5

B1.2

C0.8

D0.6

正确答案

C
1
题型: 单选题
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分值: 5分

6.在一个正方体中,过顶点A的三条棱的中点分别为E,F,G.该正方体截去三棱锥A-EFG后,所得多面体的三视图中,正试图如右图所示,则相应的侧视图是

A

B

C

D

正确答案

D
1
题型: 单选题
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分值: 5分

2.为了解某地农村经济情况,对该地农户家庭年收入进行抽样调查,将农户家庭年收入的调查数据整理得到如下频率分布直方图:

根据此频率分布直方图,下面结论中不正确的是

A该地农户家庭年收入低于4.5万元的农户比率估计为6%

B该地农户家庭年收入不低于10.5万元的农户比率估计为10%

C估计该地农户家庭年收入的平均值不超过6.5万元

D估计该地有一半以上的农户,其家庭年收入介于4.5万元至8.5万元之间

正确答案

C
1
题型: 单选题
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分值: 5分

3.已知,则z=

A-1-i

B-1+i

C-+i

D--i

正确答案

B
1
题型: 单选题
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分值: 5分

5.已知F1,F2是双曲线C的两个焦点,P为C上一点,且∠F1PF2=60°,|PF1|=3|PF2|,则C的离心率为

A

B

C

D

正确答案

A
1
题型: 单选题
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分值: 5分

8.2020年12月8日,中国和尼泊尔联合公布珠穆朗玛峰最新高程为8848.86(单位:m),三角高程测量法是珠峰高程测量方法之一.右图是三角高程测量法的一个示意图,现有以A,B, C三点,且A,B,C在同一水平而上的投影A’,B’,C'满足.由c点测得B点的仰角为15°,曲,的差为100 :由B点测得A点的仰角为45°,则A,C两点到水平面的高度差约为

A346

B373

C446

D473

正确答案

B
1
题型: 单选题
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分值: 5分

7.等比数列{an}的公比为q,前n项和为Sn,设甲:q>0,乙:{Sn}是递増数列,则

A甲是乙的充分条件但不是必要条件

B甲是乙的必要条件但不是充分条件

C甲是乙的充要条件

D甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件

正确答案

B
1
题型: 单选题
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分值: 5分

9.若,,则

A

B

C

D

正确答案

A
1
题型: 单选题
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分值: 5分

10.将4个1和2个0随机排成一行,则2个0 不相邻的概率为

A

B

C

D

正确答案

C
1
题型: 单选题
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分值: 5分

11.已知A,B,C是半径为1的求O的球面上的三个点,且AC⊥BC,AC=BC=1,则三棱锥O-ABC的体积为

A

B

C

D

正确答案

A
1
题型: 单选题
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分值: 5分

12.设函数f(x)的定义域为R,f(x+1)为奇函数,f(x+2)为偶函数,当时,.若,则

A

B

C

D

正确答案

D
填空题 本大题共4小题,每小题5分,共20分。把答案填写在题中横线上。
1
题型:填空题
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分值: 5分

15.已知F1,F2为椭圆C:的两个焦点,P,Q为C上关于坐标原点堆成的两点,且,则四边形PF1QF2的面积为__________。

正确答案

8

1
题型:填空题
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分值: 5分

16.已知函数的部分图像如图所示,则满足条件的最小正整数x为_________。

正确答案

2

1
题型:填空题
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分值: 5分

13.曲线在点(-1,-3)处的切线方程为________。

正确答案

5x-y+2=0

1
题型:填空题
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分值: 5分

14.已知向量a=(3,1),b=(1,0),,若a⊥c,则k=_________。

正确答案

简答题(综合题) 本大题共80分。简答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
1
题型:简答题
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分值: 12分

19.  (12分)

已知直三棱柱ABC-A1B1C1.中,侧面AA1B1B为正方形, AB= BC = 2, E, F分别为AC和CC1的中点,D为棱A1B1上的点,BF丄A1B1.

(1)  证明:BF⊥DE;

⑵ 当为B1D何值时,面BB1C1C与面DFE所成的二面角的正弦值最小?

正确答案

(1)直棱柱ABC-A1B1C1,侧面AA1B1B为正方形

所以A1B1=B1B=AB=BC=2

所以侧面BB1C1C为正方形

取BC中点M,连接B1M和EM

因为F为CC1重点,所以B1M⊥BF

由已知BF⊥A1B1

且A1B1B1M=B1

所以BF⊥平面A1B1M

由于E为AC中点,所以EM∥A1B1

所以EM平面A1B1M,所以BF⊥DE

(2)由(1)可知,A1B1⊥BF,且A1B1⊥B1B,所以A1B1⊥平面B1BCC1

以B为原点,BC,BY,BB1为xyz轴建立空间直角坐标系

设C(2,0,0),A(0,-2,0),B1(0,0,2)

C1(2,0,2),A1(0,-2,2),E(1,-1,0),F(2,0,1),D(0,n,2)

则向量EF=(1,1,1),向量FD=(-2,n,1)

设向量m⊥平面BB1C1C,则向量m=(0,1,0)

向量n⊥平面DEF,则向量n=(x,y,z)

由: 得:得:

得:=(n-1,3,-n-2)

设平面BB1C1C与平面DEF所称角为Q

cosQ=|cos<>|==

==

所以,当n=-1/2时,cosQ最大为=

此时sinQ 最小为

所以,当B1D=1/2时,sinQ最小为

1
题型:简答题
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分值: 12分

20.  (12分)

抛物线C的顶点为坐标原点O,焦点在x轴上,直线L:x = 1交C于P,Q两点, 且OP丄OQ.已知点M(2,0),且M与L相切,

(1)    求C , M的方程;

(2)    设A1,A2,A3,是C上的三个点,直线A1 A2, A1 A3均与 M相切,判断A2A3与M的位置关系,并说明理由.

正确答案

(1)由题可得,C:,p>0,点P(1,,Q(1,

因为OP⊥OQ,所以1-2P=0,2P=1,所以抛物线C为:

M(2,0),L:x=1且圆M与L相切,所以圆M的方程为:

(2)设A1(), A2(), A3(

由抛物线及圆M对称性,不妨设>0

①若A1A2,A1A3中有一条切线斜率不存在,不妨设为A1A2

则:A1(3,),A2(3,-),设A1A3:y-=k(x-3)

即kx-y-3k+=0

因为A1A3与圆M相切,所以=1

解得:k=

====

所以,即A3(0,0)

此时,直线A2A3与A1A3关于x轴对称,所以直线A2A3与圆M相切。

②若A1A2,A1A3斜率均存在,则且,

==

直线A1A2:y-=,即x-(

同设A1A3:x-()y+=0,直线A2A3:x-(

因为直线A1A2,A1A3均与圆M相切,

所以,,即:

所以关于y的方程:=0的两个根

所以:

设M到直线A2A3距离为d

==1

所以直线A2A3与圆M相切

1
题型:简答题
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分值: 12分

17.  (12 分)

甲、乙两台机床生产同种产品,产品按质量分为一级品和二级品,为了比较两台机床产品的质量,分别用两台机床各生产了200件产品,产品的质量情况统计如下表:

(1)甲机床、乙机床生产的产品中一级品的频率分别是多少?

⑵能否有99%的把握认为甲机床的产品质量与乙机床的产品质量有差异?

附:

正确答案

(1)由题意可知:甲机床生产的产品中一级品的频率是:150/200=3/4

乙机床生产的产品中一级品的频率是:120/200=3/5

(2)由于

所以,有99%的把握认为甲机床的产品质量与乙机床的产品质量有差异。

1
题型:简答题
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分值: 12分

18.  (12 分)

已知数列{an}的各项均为正数,记Sn为{an}的前n项和,从下面①②③中选取两个作为条件,证明另外一个成立.

①   数列{an}是等差数列:②数列{}是等差数列;③a2=3a1

注:若选择不同的组合分别解答,则按第一个解答计分.

正确答案

情况一:选择①③为条件,即数列为等差数列,且

证明:设等差数列的公差为d,由题意可知,>0,d>0,且=

所以,d=2,所以

所以=(n*2n)/2=

所以=n=(n+1)

=,为常数,所以数列为等差数列。

情况二:选择①②为条件。

证明:设等差数列的公差为d,则 d>0

因为为等差数列,所以,即

等式两边平方得:4=

即:

等式两边平方:=0

也就是:=0,即d=2a1,所以a2=a1+d=3a1

情况三:选择②③为条件。

证明:因为为等差数列,且>0,所以可设=Kn+b(k>0)

其中k,b为常数,kn+b>0对任意n属于成立

所以:==

N大于等于2时,

又因为a2=3a1,所以3=3,解得b=0或者4k+3b=0

当b=o时,a1=,n大于等于2时,,n=1时同

所以,所以数列为等差数列。

当4k+3b=0时,b=4/3k,=K+b=-1/3k<0,舍去。

综合,数列为等差数列

1
题型:简答题
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分值: 10分

23.[选修4一5:不等式选讲](10分)

已知函数f(x)=|x-2|, g(x) =|2x + 3|-|2x-1|.

(1)画出f(x)和y=g(x)的图像;

(2)若f(x+a)≥g(x),求a的取值范围.

正确答案

当x≤-3/2时,2x+3≤0,2x-1≤0

g(x)=-(2x+3)+(2x-1)=-4

当-3/20,2x-1<0

g(x)=2x+3+2x-1=4x+2

当x≥1/2时,2x+3>0,2x-1≥0

g(x)=2x+3-(2x-1)=4

f(x+a)≥g(x)⟺|x+a-2|≥g(x)⟹|2-a+a-2|≥g(2-a)

⇒g(2-a)≤0 有图像可知2-a≤-1/2⇒a≥5/2

∴a+1/2≥3⇒f(1/2+a)≥g(1/2)⟺a+1/2-2≥4⟹a≥11/2

下证当a≥11/2时,f(x+a)≥g(x)

当x≤-1/2,g(x)≤0≤f(x+a)

当-1/2≤x≤1/2时,g(x)=4x+a

x+a≥-1/2+a≥-1/2+11/2=5⇒f(x+a)=|x+a-2|=x+a-2

x+a-2-(4x-2)=a-3x-4≥11/2-3*1/2-4=0

综上,a取值范围为[11/2,+∞)

1
题型:简答题
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分值: 12分

21.  (12 分)

己知a>0且a≠1,函数f(x)=(x>0),

(1)当a=2时,求f(x)的单调区间;

(2)若曲线y= f(x)与直线y=1有且仅有两个交点,求a的取值范围.

正确答案

(1)f(x)定义域为(0,+∞)

因为a>0且a≠1,所以f’(x)=,且lna≠0

所以f’(x)==

当a=2时,f’(x) =

所以f(x)增区间为(0,,减区间为(

(2)题目等价于f(x)=1在(0,上有且只有两个解

当0<a<1时,<0,又x>0,所以x->0

所以f’(x)>0,所以f(x)=1至少有一个解,所以a>1

此时lna>0,>0,将f(x)定义域改为[0,+∞

此时f(0)=0

f()==>1=

又y=(a>1)在(0,+∞)上↑,所以

得到(lna>ln(lna),得到lna-1>ln(lna)  (*)

令g(x)=x-1-lnx,x∈(0,+∞)

g’(x)=1-0-1/x=(x-1)/x

所以g(x)≥g(1)=1-1-ln1=0

由a>1得到lna>0,得到:g(lna)≥0

所以,f(

所以,a>1且a≠e

令b=,又a>1,所以b>1

则f(x)==

由贝努力不等式得:=>=

当x>max时,

所以,∈(0,1),得到f(x)∈(0,1)

由f(x)单调性可知:f(x)=1,在(0,和(,+∞)上各有一解。

综上,a取值范围为(1,e)∪(e,+∞)

1
题型:简答题
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分值: 10分

22.  [选修4一4:坐标系与参数方程](10分)

在直角坐标系xOy中,以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C的极坐标方程为=2cosθ.

(1)将C的极坐标方程化为直角坐标方程;

(2)设点A的直角坐标为(1,0),M为C上的动点,点P满足 = ,写出 P的轨迹C1的参数方程,并判断C与C1是否有公共点.

正确答案

(1)=2,得到:2

即:C:0

(2)C:

设P(,则向量AP= (

向量AM=AP=(

所以向量DM=向量OA+向量AM=(

又因为M在上,所以

即:

所以,C1:

C1:,Q∈R

圆心距CC1=3=3

半径分别为2和

因为3,所以C在圆C1内部,没有公共点。

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