2019年高考真题 理科数学 (全国III卷)
精品
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前去估分
单选题 本大题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的4个选项中,有且只有一项是符合题目要求。
1
题型: 单选题
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分值: 5分

1.已知集合,则

A

B

C

D

正确答案

A
1
题型: 单选题
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分值: 5分

2.若,则z=

A

B

C

D

正确答案

D
1
题型: 单选题
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分值: 5分

3.《西游记》《三国演义》《水浒传》和《红楼梦》是中国古典文学瑰宝,并称为中国古典小说四大名著.某中学为了解本校学生阅读四大名著的情况,随机调查了100位学生,其中阅读过《西游记》或《红楼梦》的学生共有90位,阅读过《红楼梦》的学生共有80位,阅读过《西游记》且阅读过《红楼梦》的学生共有60位,则该校阅读过《西游记》的学生人数与该校学生总数比值的估计值为

A0.5

B0.6

C0.7

D0.8

正确答案

C
1
题型: 单选题
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分值: 5分

4.(1+2x2 )(1+x)4的展开式中x3的系数为

A12

B16

C20

D24

正确答案

A
1
题型: 单选题
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分值: 5分

7.函数的图像大致为

A

B

C

D

正确答案

B
1
题型: 单选题
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分值: 5分

8.如图,点N为正方形ABCD的中心,△ECD为正三角形,平面ECD⊥平面ABCDM是线段ED的中点,则

ABM=EN,且直线BMEN 是相交直线

BBMEN,且直线BMEN 是相交直线

CBM=EN,且直线BMEN 是异面直线

DBMEN,且直线BMEN 是异面直线

正确答案

B
1
题型: 单选题
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分值: 5分

9.执行下边的程序框图,如果输入的为0.01,则输出的值等于

A

B

C

D

正确答案

C
1
题型: 单选题
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分值: 5分

5.已知各项均为正数的等比数列{an}的前4项和为15,且a5=3a3+4a1,则a3=

A16

B8

C4

D2

正确答案

C
1
题型: 单选题
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分值: 5分

6.已知曲线在点(1,ae)处的切线方程为y=2x+b,则

A

Ba=e,b=1

C

D

正确答案

D
1
题型: 单选题
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分值: 5分

10.双曲线C=1的右焦点为F,点PC的一条渐近线上,O为坐标原点,若,则△PFO的面积为

A

B

C

D

正确答案

A
1
题型: 单选题
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分值: 5分

11.设是定义域为R的偶函数,且在单调递减,则

A(log3)>)>

B(log3)>)>

C)>)>(log3

D)>)>(log3

正确答案

C
1
题型: 单选题
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分值: 5分

12.设函数=sin()(>0),已知有且仅有5个零点,下述四个结论:

在()有且仅有3个极大值点

在()有且仅有2个极小值点

在()单调递增

的取值范围是[)

其中所有正确结论的编号是

A①④

B②③

C①②③

D①③④

正确答案

D
填空题 本大题共4小题,每小题5分,共20分。把答案填写在题中横线上。
1
题型:填空题
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分值: 5分

13.已知ab为单位向量,且a·b=0,若,则___________.

正确答案

1
题型:填空题
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分值: 5分

15.设为椭圆C:的两个焦点,MC上一点且在第一象限.若为等腰三角形,则M的坐标为___________.

正确答案

1
题型:填空题
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分值: 5分

14.记Sn为等差数列{an}的前n项和,,则___________.

正确答案

4

1
题型:填空题
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分值: 5分

16.学生到工厂劳动实践,利用3D打印技术制作模型.如图,该模型为长方体挖去四棱锥OEFGH后所得的几何体,其中O为长方体的中心,EFGH分别为所在棱的中点,,3D打印所用原料密度为0.9 g/cm3,不考虑打印损耗,制作该模型所需原料的质量为___________g.

正确答案

118.8

简答题(综合题) 本大题共80分。简答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
1
题型:简答题
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分值: 12分

17.(12分)

为了解甲、乙两种离子在小鼠体内的残留程度,进行如下试验:将200只小鼠随机分成A,B两组,每组100只,其中A组小鼠给服甲离子溶液,B组小鼠给服乙离子溶液,每只小鼠给服的溶液体积相同、摩尔浓度相同.经过一段时间后用某种科学方法测算出残留在小鼠体内离子的百分比.根据试验数据分别得到如下直方图:

C为事件:“乙离子残留在体内的百分比不低于5.5”,根据直方图得到PC)的估计值为0.70.

(1)求乙离子残留百分比直方图中ab的值;

(2)分别估计甲、乙离子残留百分比的平均值(同一组中的数据用该组区间的中点值为代表).

正确答案

(1)由已知得0.70=a+0.20+0.15,故a=0.35.

b=1–0.05–0.15–0.70=0.10.

(2)甲离子残留百分比的平均值的估计值为

2×0.15+3×0.20+4×0.30+5×0.20+6×0.10+7×0.05=4.05.

乙离子残留百分比的平均值的估计值为

3×0.05+4×0.10+5×0.15+6×0.35+7×0.20+8×0.15=6.00.

1
题型:简答题
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分值: 12分

18.(12分)

ABC的内角ABC的对边分别为abc,已知

(1)求B

(2)若△ABC为锐角三角形,且c=1,求△ABC面积的取值范围.

正确答案

(1)由题设及正弦定理得

因为sinA0,所以

,可得,故

因为,故,因此B=60°.

(2)由题设及(1)知△ABC的面积

由正弦定理得

由于△ABC为锐角三角形,故0°<A<90°,0°<C<90°,由(1)知A+C=120°,所以30°<C<90°,故,从而

因此,△ABC面积的取值范围是

1
题型:简答题
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分值: 12分

19.(12分)

图1是由矩形ADEB,Rt△ABC和菱形BFGC组成的一个平面图形,其中AB=1,BE=BF=2,∠FBC=60°,将其沿ABBC折起使得BEBF重合,连结DG,如图2.

(1)证明:图2中的ACGD四点共面,且平面ABC⊥平面BCGE

(2)求图2中的二面角B−CG−A的大小.

正确答案

(1)由已知得ADBECGBE,所以ADCG,故ADCG确定一个平面,从而ACGD四点共面.

由已知得ABBEABBC,故AB平面BCGE

又因为AB平面ABC,所以平面ABC平面BCGE

(2)作EHBC,垂足为H.因为EH平面BCGE,平面BCGE平面ABC,所以EH平面ABC

由已知,菱形BCGE的边长为2,∠EBC=60°,可求得BH=1,EH=

H为坐标原点,的方向为x轴的正方向,建立如图所示的空间直角坐标系Hxyz

A(–1,1,0),C(1,0,0),G(2,0,),=(1,0,),=(2,–1,0).

设平面ACGD的法向量为n=(xyz),则

所以可取n=(3,6,–).

又平面BCGE的法向量可取为m=(0,1,0),所以

因此二面角BCGA的大小为30°.

1
题型:简答题
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分值: 12分

20.(12分)

已知函数.

(1)讨论的单调性;

(2)是否存在,使得在区间的最小值为且最大值为1?若存在,求出的所有值;若不存在,说明理由.

正确答案

(1)

,得x=0或.

a>0,则当时,;当时,.故单调递增,在单调递减;

a=0,单调递增;

a<0,则当时,;当时,.故单调递增,在单调递减.

(2)满足题设条件的ab存在.

(i)当a≤0时,由(1)知,在[0,1]单调递增,所以在区间[0,l]的最小值为,最大值为.此时ab满足题设条件当且仅当,即a=0,

(ii)当a≥3时,由(1)知,在[0,1]单调递减,所以在区间[0,1]的最大值为,最小值为.此时ab满足题设条件当且仅当b=1,即a=4,b=1.

(iii)当0<a<3时,由(1)知,在[0,1]的最小值为,最大值为b

b=1,则,与0<a<3矛盾.

,则a=0,与0<a<3矛盾.

综上,当且仅当a=0,a=4,b=1时,在[0,1]的最小值为-1,最大值为1.

1
题型:简答题
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分值: 10分

23.[选修4−5:不等式选讲](10分)

,且.

(1)求的最小值;

(2)若成立,证明:.

正确答案

(1)由于

故由已知得

当且仅当x=y=–时等号成立.

所以的最小值为.

(2)由于

故由已知

当且仅当时等号成立.

因此的最小值为

由题设知,解得

1
题型:简答题
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分值: 12分

21.已知曲线Cy=D为直线y=上的动点,过DC的两条切线,切点分别为AB.

(1)证明:直线AB过定点:

(2)若以E(0,)为圆心的圆与直线AB相切,且切点为线段AB的中点,求四边形ADBE的面积.

正确答案

(1)设,则.

由于,所以切线DA的斜率为,故 .

整理得

,同理可得.

故直线AB的方程为.

所以直线AB过定点.

(2)由(1)得直线AB的方程为.

,可得.

于是

.

分别为点DE到直线AB的距离,则.

因此,四边形ADBE的面积.

M为线段AB的中点,则.

由于,而与向量平行,所以.解得t=0或.

=0时,S=3;当时,.

因此,四边形ADBE的面积为3或.

1
题型:简答题
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分值: 10分

22.[选修4−4:坐标系与参数方程](10分)

如图,在极坐标系Ox中,,弧所在圆的圆心分别是,曲线是弧,曲线是弧,曲线是弧.

(1)分别写出的极坐标方程;

(2)曲线构成,若点M上,且,求P的极坐标.

正确答案

(1)由题设可得,弧所在圆的极坐标方程分别为.

所以的极坐标方程为的极坐标方程为的极坐标方程为.

(2)设,由题设及(1)知

,则,解得

,则,解得

,则,解得.

综上,P的极坐标为.

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