理科数学 热门试卷

在△中，由余弦定理，得

因为，所以.

由题意知，四所中学报名参加数独比赛的学生总人数为100名，

抽取的样本容量与总体个数的比值为，

所以甲、乙、丙、丁四所中学各抽取的学生人数分别为9，12，6，3.

设“从30名学生中随机抽取两名学生，这两名学生来自同一所中学”为事件，

从30名学生中随机抽取两名学生的取法共有种，                  ………………5分

来自同一所中学的取法共有．                      ………………7分

所以．

答：从30名学生中随机抽取两名学生来自同一所中学的概率为．          ………………8分

由（Ⅰ）知，30名学生中，来自甲、丙两所中学的学生人数分别为9，6．

依题意得，的可能取值为，                                       ………………9分

 ， ，．    ……………12分

所以的分布列为：

……………….14分

取中点，连接，，

因为是正方形，所以，.

因为分别是,中点，所以,.

又因为且，

所以，，

所以四边形是平行四边形,   .3分

所以.

又因为平面，平面

所以平面．                                …….5分

因为平面⊥平面，

平面平面，

，平面，

所以平面．                                                ……………….6分

如图，以D为原点，射线DA，DC，DP分别为xyz轴正方向，建立空间直角坐标系．

设，则 ．                            ………………7分

因为⊥底面，所以平面的一个法向量为.          ……………….8分

设平面PFB的一个法向量为，

 ,

则

即

令x=1，得，所以．                            ……………….10分

由已知，二面角的余弦值为，

所以得 ，                                   ……………….11分

解得a =2,所以．                                                                    ……………….13分

因为是四棱锥的高，

所以其体积为．                                                 ……………….14分

解：（Ⅰ）因为，

所以.                                 ……………….2分

因为，所以.                                   ……………….4分

因为与的图象在（0,0）处有相同的切线，所以，所以. …….5分

由（Ⅰ）知, ,

令，，

则．                          ……………….6分

(1)当时，，，所以在[1,2]上是增函数，

故的最小值为；                                      ……………….7分           (2)当时，由得，，                                 ……………….8分

①若，即，则，，所以在[1,2]上是增函数，

故的最小值为.                                      ……………….9分

②若，即，则，，，，

所以在上是减函数，在上是增函数，

故的最小值为；                              ……………….11分

③若，即，则，，所以在上是减函数，

故的最小值为.                                   ……………….12分

综上所述，当时，的最小值为，

当时，的最小值为，

当时，的最小值为.                            ……………….13分

把点代入抛物线的方程，得，解得，

所以抛物线的方程为.

因为，所以直线为，焦点的坐标为

设直线的方程为，，，

则直线的方程为,直线的方程为.               ……………….5分

由得，同理得．                      ……………….7分

所以，，则．        ……………….9分

由得，所以，                    ……………….11分

则．

所以，的值是定值，且定值为0.                              ……………….13分