2016年高考真题 理科数学 (全国II卷)
精品
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单选题 本大题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的4个选项中,有且只有一项是符合题目要求。
1
题型: 单选题
|
分值: 5分

2.已知集合,则(    )

A

B

C

D

正确答案

C

解析

试题分析:集合,而,所以,故选C.

考查方向

本题主要考查了集合的运算,为高考必考题,在近几年的各省高考题出现的频率较高,常与函数函数定义域及值域、不等式解集等知识点交汇命题。

解题思路

集合的交、并、补运算问题,应先把集合化简在计算,常常借助数轴或韦恩图处理.

易错点

忽略导致出错。

知识点

子集与真子集
1
题型: 单选题
|
分值: 5分

6.下图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图,则该几何体的表面积为(    )

A

B

C

D

正确答案

C

解析

试题分析:由题意可知,圆柱的侧面积为,圆锥的侧面积为,圆柱的底面面积为,故该几何体的表面积为,故选C.

考查方向

本题主要考查了三视图求几何体的表面积,为高考常考题,在近几年的各省高考题出现的频率较高,常与几何体的表面积、体积等知识点交汇命题,由三视图还原出原几何体,是解决此类问题的关键。

解题思路

由三视图可知该几何体的直观图,然后即可求出多面体的体积。

易错点

不能将三视图还原为原图导致出错。

知识点

棱柱的结构特征
1
题型: 单选题
|
分值: 5分

8.中国古代有计算多项式值的秦九韶算法,下图是实现该算法的程序框图.执行该程序框图,若输入的,依次输入的为2,2,5,则输出的(    )

A7

B12

C17

D34

正确答案

C

解析

C

第一次运算:

第二次运算:

第三次运算:

故选C.

考查方向

本题主要考查了程序框图,直到型循环结构,在近几年的各省高考题出现的频率较高,常与数列、函数等知识点交汇命题。

解题思路

求解此类问题一般是把人看作计算机,按照程序逐步列出运行结果。

易错点

不知何时终止循环导致出错。

知识点

选择结构
1
题型: 单选题
|
分值: 5分

1.已知在复平面内对应的点在第四象限,则实数的取值范围是(    )

A

B

C

D

正确答案

A

解析

A

,∴,故选A.

考查方向

本题主要考查了复数的几何意义,为高考必考题,在近几年的各省高考题出现的频率较高,常常与复数相等,复数的几何意义,共轭复数,复数的模及复数的乘除运算等知识点交汇命题。

解题思路

复数的分类及对应点的位置问题都可以转化为复数的实部与虚部应该满足的条件问题,只需把复数化为代数形式,列出实部和虚部满足的方程(不等式)组即可。

易错点

对复数的几何意义不熟悉导致出错。

知识点

复数的基本概念复数代数形式的混合运算
1
题型: 单选题
|
分值: 5分

3.已知向量,且,则(    )

A-8

B-6

C6

D8

正确答案

D

解析

试题分析:向量,由,解得,故选D.

考查方向

本题主要考查了平面向量的坐标运算、数量积,为高考常考题,在近几年的各省高考题出现的频率较高,常与向量的坐标运算、几何意义等知识点交汇命题。

解题思路

直接根据向量的坐标运算公式及向量垂直的坐标表示进行计算。

易错点

不熟悉向量的坐标运算公式导致出错。

知识点

平行向量与共线向量
1
题型: 单选题
|
分值: 5分

4.圆的圆心到直线的距离为1,则a=(    )

A

B

C

D2

正确答案

A

解析

A

化为标准方程为:

故圆心为,解得

故选A.

考查方向

本题主要考查了圆的方程、点到直线的距离公式等知识点,为高考常考题,在近几年的各省高考题出现的频率较高,常与直线与圆的位置关系的判定、点到直线的距离公式等知识点交汇命题。

解题思路

化圆的方程为标准方程,再根据点到直线的距离公式进行计算。

易错点

不能熟记点到直线的距离公式导致出错。

知识点

点与圆的位置关系
1
题型: 单选题
|
分值: 5分

5.如图,小明从街道的E处出发,先到F处与小红会合,再一起到位于G处的老年公寓参加志愿者活动,则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为(    )

A24

B18

C12

D9

正确答案

B

解析

B

种走法,种走法,由乘法原理知,共种走法

故选B.

考查方向

本题主要考查了分步乘法计数原理、组合数公式等知识点,为高考常考题,在近几年的各省高考题出现的频率较高,常与排列、组合等知识点交汇命题。

解题思路

从实际问题中抽出数学模型,再根据两个原理进行计算。

易错点

不能从实际问题中抽出数学模型导致出错。

知识点

古典概型的概率
1
题型: 单选题
|
分值: 5分

7.若将函数的图像向左平移个单位长度,则平移后图象的对称轴为(    )

A

B

C

D

正确答案

B

解析

B

平移后图像表达式为

,得对称轴方程:

故选B.

考查方向

本题主要考查了三角函数的图象变换与对称性等知识点,为高考常考题,在近几年的各省高考题出现的频率较高,常与正弦型函数的图像、性质等知识点交汇命题。

解题思路

先根据平移变换公式求出平移后的表达式,再根据对称性求出对称轴方程.

易错点

忽略平移变换和伸缩变换都是针对x而言,即x本身加减多少值,而不是依赖于ωx加减多少值导致出错.

知识点

对数函数的定义域
1
题型: 单选题
|
分值: 5分

9.若,则(    )

A

B

C

D

正确答案

D

解析

试题分析: ,

,故选D.

考查方向

本题主要考查了三角恒等变换、倍角公式等知识点,在近几年的各省高考题出现的频率较高,常与三角恒等变换公式、三角函数的性质等知识点交汇命题。

解题思路

直接根据三角恒等变换公式进行计算。

易错点

对三角恒等变换公式不熟悉导致出错。

知识点

指数函数的单调性与特殊点
1
题型: 单选题
|
分值: 5分

10.从区间随机抽取个数,,…,,…,,构成n个数对,…,,其中两数的平方和小于1的数对共有个,则用随机模拟的方法得到的圆周率的近似值为

A

B

C

D

正确答案

C

解析

试题分析:利用几何概型,圆形的面积和正方形的面积比为,所以.选C.

考查方向

本题主要考查了几何概型,为高考常考题,在近几年的各省高考题出现的频率较高,求解几何概型问题的关键是确定“测度”,常见的测度由:长度、面积、体积等。

解题思路

先确定几何度量,再根据几何概型的概率计算公式即可求解。

易错点

不能准确选择几何度量导致出错。

知识点

等差数列的前n项和及其最值
1
题型: 单选题
|
分值: 5分

12.已知函数满足,若函数图像的交点为(    )

A0

B

C

D

正确答案

C

解析

B

关于对称,

也关于对称,

∴对于每一组对称点

,故选B.

考查方向

本题主要考查了函数图象的对称性等知识点,为高考常考题,在近几年的各省高考题出现的频率较高,常与函数的图像、性质等知识点交汇命题。

解题思路

根据已知条件判断出函数的对称中心,再利用对称性即可求出的值。

易错点

不能由判断出函数的对称性导致出错。

知识点

函数单调性的判断与证明
1
题型: 单选题
|
分值: 5分

11.已知是双曲线的左,右焦点,点上,轴垂直,,则的离心率为(    )

A

B

C

D2

正确答案

A

解析

A

离心率,由正弦定理得

故选A.

考查方向

本题主要考查了双曲线的性质、离心率及正弦定理等知识点,为高考常考题,在近几年的各省高考题出现的频率较高,常与双曲线的定义、标准方程、性质及正余弦定理等知识点交汇命题。

解题思路

根据双曲线的定义及正弦定理直接计算即可。

易错点

不能准确区分双曲线中abc的关系与椭圆中abc的关系导致出错。

知识点

双曲线的几何性质
填空题 本大题共4小题,每小题5分,共20分。把答案填写在题中横线上。
1
题型:填空题
|
分值: 5分

15.有三张卡片,分别写有1和2,1和3,2和3.甲,乙,丙三人各取走一张卡片,甲看了乙的卡片后说:“我与乙的卡片上相同的数字不是2”,乙看了丙的卡片后说:“我与丙的卡片上相同的数字不是1”,丙说:“我的卡片上的数字之和不是5”,则甲的卡片上的数字是       

正确答案

1和3

解析

试题分析:由题意分析可知甲的卡片上数字为1和3,乙的卡片上数字为2和3,丙卡片上数字为1和2.

考查方向

本题主要考察逻辑推理等知识点.

解题思路

从题中所给信息出发,逐步推导,即可得出结论。

易错点

不能保持思维的严密性、一贯性导致出错。

知识点

导数的乘法与除法法则
1
题型:填空题
|
分值: 5分

16.若直线是曲线的切线,也是曲线的切线,则       

正确答案

解析

的切线为:(设切点横坐标为

的切线为:

解得 

考查方向

本题主要考察导数的几何意义等知识点.

解题思路

根据导数的几何意义进行计算即可求出b的值。

易错点

不能分清在点P处的切线与过P点的切线的不同导致出错。

知识点

导数的乘法与除法法则
1
题型:填空题
|
分值: 5分

13.的内角的对边分别为,若,则       

正确答案

解析

试题分析:因为,且为三角形内角,所以,又因为

所以.

考查方向

本题主要考察三角函数和差公式,正弦定理等知识点.

解题思路

先根据求出,再利用和角公式即可求出b。

易错点

相关知识点不熟悉导致出错。

教师点评

三角函数和差公式,正弦定理.

知识点

弦切互化
1
题型:填空题
|
分值: 5分

14. 是两个平面,是两条直线,有下列四个命题:

(1)如果,那么.

(2)如果,那么.

(3)如果,那么.

(4)如果,那么所成的角和所成的角相等.

其中正确的命题有        . (填写所有正确命题的编号)

正确答案

②③④

解析

试题分析:对于①,,则的位置关系无法确定,故错误;对于②,因为,所以过直线n作平面与平面相交的直线c,则n//c,因为,所以,所以,故②正确;对于③,有两个平面平行的性质可知正确;对于④,由线面所成交的定义和等角定理可知其正确,故正确的有②③④。

考查方向

本题主要考察空间中的线面、面面位置关系等知识点.

解题思路

根据相关定理直接进行判断。

易错点

忽略在空间中考虑线、面关系导致出错。

知识点

异面直线及其所成的角
简答题(综合题) 本大题共70分。简答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
1
题型:简答题
|
分值: 12分

为等差数列的前项和,且,其中表示不超过的最大整数,如

17.求

18.求数列的前1 000项和.

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

(Ⅰ)

解析

试题分析:本题属于数列与函数的综合应用问题,属于简单题,只要掌握相关的知识,即可解决本题,解析如下:

试题解析:(Ⅰ)设的公差为,据已知有,解得

所以的通项公式为

考查方向

本题考查了等差数列的的性质,前项和公式,对数的运算等知识点。

解题思路

(Ⅰ)先用等差数列的求和公式求公差,从而求得通项,再根据已知条件表示不超过的最大整数,求

易错点

对取整函数的性质不熟悉导致出错。

第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

(Ⅱ)1893.

解析

试题分析:本题属于数列与函数的综合应用问题,属于简单题,只要掌握相关的知识,即可解决本题,解析如下:

⑵记的前项和为,则

时,

时,

时,

时,

考查方向

本题考查了等差数列的的性质,前项和公式,对数的运算等知识点。

解题思路

(Ⅱ)对分类讨论,再用分段函数表示,再求数列的前1 000项和.

易错点

对取整函数的性质不熟悉导致出错。

1
题型:简答题
|
分值: 12分

已知椭圆的焦点在轴上,的左顶点,斜率为的直线交两点,点上,

24.当时,求的面积;

25.当时,求的取值范围.

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

(Ⅰ)

解析

试题分析:本题属于圆锥曲线的综合应用问题,属于拔高题,不容易得分,解析如下:

(I)设,则由题意知,当时,的方程为.

由已知及椭圆的对称性知,直线的倾斜角为.因此直线的方程为.

代入.解得,所以.

因此的面积.

因此.等价于

考查方向

本题考查了椭圆的性质,直线与椭圆的位置关系等知识点。

解题思路

(1)先求出直线AM的方程,再求点M的纵坐标,最后求的面积;

易错点

不知如何运用题中所给条件导致本题没思路。

第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

(Ⅱ).

解析

试题分析:本题属于圆锥曲线的综合应用问题,属于拔高题,不容易得分,解析如下:

⑵直线AM的方程为

联立并整理得,

解得

所以

所以

因为

所以,整理得,

因为椭圆E的焦点在x轴,所以,即,整理得

解得因此的取值范围是.

考查方向

本题考查了椭圆的性质,直线与椭圆的位置关系等知识点。

解题思路

(2)设,将直线AM的方程与椭圆的方程组成方程组,小区y,用k表示x1,从而表示,同理用k表示,再由求k。

易错点

不知如何运用题中所给条件导致本题没思路。

1
题型:简答题
|
分值: 12分

某险种的基本保费为(单位:元),继续购买该险种的投保人称为续保人,续保人的本年度的保费与其上年度的出险次数的关联如下:

设该险种一续保人一年内出险次数与相应概率如下:

19.求一续保人本年度的保费高于基本保费的概率;

20.若一续保人本年度的保费高于基本保费,求其保费比基本保费高出60%的概率;

21.求续保人本年度的平均保费与基本保费的比值.

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

(Ⅰ)0.55;

解析

试题分析:本题属于概率与统计综合应用问题,属于简单题,只要掌握相关概率与统计的知识,即可解决本题,解析如下:

试题解析:(Ⅰ)设表示事件:“一续保人本年度的保费高于基本保费”,则事件发生当且仅当一年内出险次数大于1,故

考查方向

本题考查了条件概率,随机变量的分布列、期望等知识点。

解题思路

(Ⅰ)根据互斥事件的概率公式求一续保人本年度的保费高于基本保费的概率;

易错点

相关知识点不熟容易出错。

第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

(Ⅱ)

解析

试题分析:本题属于概率与统计综合应用问题,属于简单题,只要掌握相关概率与统计的知识,即可解决本题,解析如下:

(Ⅱ)设表示事件:“一续保人本年度的保费比基本保费高出”,则事件发生当且仅当一年内出险次数大于3,故

,故

因此所求概率为

考查方向

本题考查了条件概率,随机变量的分布列、期望等知识点。

解题思路

(Ⅱ)一续保人本年度的保费高于基本保费,当且仅当一年内出险次数大于3,由条件概率公式求解;

易错点

相关知识点不熟容易出错。

第(3)小题正确答案及相关解析

正确答案

(Ⅲ).

解析

试题分析:本题属于概率与统计综合应用问题,属于简单题,只要掌握相关概率与统计的知识,即可解决本题,解析如下:

⑶解:设本年度所交保费为随机变量

平均保费

∴平均保费与基本保费比值为

考查方向

本题考查了条件概率,随机变量的分布列、期望等知识点。

解题思路

(Ⅲ)记续保人本年度的保费为,求的分布列,再根据期望公式求解.

易错点

相关知识点不熟容易出错。

1
题型:简答题
|
分值: 12分

如图,菱形的对角线交于点,点分别在上,于点.将沿折到位置,

22.证明:平面

23.求二面角的正弦值.[来源:Z#xx#k.Com]

[来源:学,科,网]

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

(Ⅰ)详见解析;

解析

试题分析:本题属于立体几何的综合应用问题,属于中档题,只要掌握相关立体几何的知识,即可解决本题,解析如下:

⑴证明:∵

∵四边形为菱形,

又∵

考查方向

本题考查了线面垂直的判定、二面角等知识点。

解题思路

(1)先证明,再证,最后证明平面

易错点

解题步骤不完整或考虑不全致推理片面导致出错。

第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

(Ⅱ).

解析

试题分析:本题属于立体几何的综合应用问题,属于中档题,只要掌握相关立体几何的知识,即可解决本题,解析如下:

(II)如图,以为坐标原点,的方向为轴的正方向,建立空间直角坐标系

.设是平面的法向量,则,即

所以可以取.设是平面的法向量,则

所以可以取.于是.

因此二面角的正弦值是.

考查方向

本题考查了线面垂直的判定、二面角等知识点。

解题思路

(2)建立空间直角坐标系,分别求出两个平面的法向量,再利用公式即可求出二面角.

易错点

解题步骤不完整或考虑不全致推理片面导致出错。

1
题型:简答题
|
分值: 12分

回答下列各题

26.讨论函数的单调性,并证明当时,

27.证明:当时,函数有最小值.设的最小值为,求函数的值域.

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

(Ⅰ)详见解析;

解析

试题分析:本题属于导数的综合应用问题,属于拔高题,不容易得分,解析如下:

⑴证明:

∵当时,

上单调递增

时,

考查方向

本题考查了利用导数判断函数的单调性、证明不等式、极值与最值等知识点。

解题思路

(1)先求定义域,用导数法求函数的单调性,当时,证明结论;

易错点

第二问对题中所给条件不知如何下手导致失分。

第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

(Ⅱ).

解析

试题分析:本题属于导数的综合应用问题,属于拔高题,不容易得分,解析如下:

由(1)知,当时,的值域为,只有一解.

使得

单调减;当单调增

,在时,,∴单调递增

考查方向

本题考查了利用导数判断函数的单调性、证明不等式、极值与最值等知识点。

解题思路

(2)用导数法球函数的最值,在构造新函数,又用导数法求解.

易错点

第二问对题中所给条件不知如何下手导致失分。

1
题型:简答题
|
分值: 10分

请考生在22、23、24题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分,做答时请写清题号

选修4-1:几何证明选讲(请回答28、29题)

如图,在正方形中,分别在边上(不与端点重合),且,过点作

,垂足为

选修4—4:坐标系与参数方程(请回答30、31题)

在直角坐标系中,圆的方程为

选修4—5:不等式选讲(请回答32、33题)

已知函数为不等式的解集.

28.证明:四点共圆;

29.若的中点,求四边形的面积.

30.以坐标原点为极点,轴正半轴为极轴建立极坐标系,求的极坐标方程;

31.直线的参数方程是为参数), 交于两点,,求的斜率.

32.求

33.证明:当时,

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

(Ⅰ)详见解析;

解析

试题分析:本题属于圆的综合应用问题,属于简单题,只要掌握相关圆的知识,即可解决本题,解析如下:

(Ⅰ)证明:∵

BCGF四点共圆.

考查方向

本题考查了三角形相似、全等,四点共圆等知识点。

解题思路

(1)利用三角形相似即可证明四点共圆;

易错点

对相关定理不熟悉导致本题失分。

第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

(Ⅱ).

解析

试题分析:本题属于圆的综合应用问题,属于简单题,只要掌握相关圆的知识,即可解决本题,解析如下:

(II)由四点共圆,,连结

斜边的中点,知,故

因此四边形的面积面积的2倍,即

考查方向

本题考查了三角形相似、全等,四点共圆等知识点。

解题思路

(2)由四点共圆可得,再证明,根据四边形的面积面积的2倍求得结论.

易错点

对相关定理不熟悉导致本题失分。

第(3)小题正确答案及相关解析

正确答案

(Ⅰ)

解析

试题分析:本题属于坐标系与参数方程的综合应用问题,属于简单题,只要掌握相关的知识,即可解决本题,解析如下:

试题解析:(I)由可得的极坐标方程

考查方向

本题考查了圆的极坐标方程与普通方程互化, 直线的参数方程,点到直线的距离公式等知识点。

解题思路

(1)直接利用互化公式即可求出极坐标方程;

易错点

不能熟记极坐标方程与参数方程的互化公式及应用导致本题出错。

第(4)小题正确答案及相关解析

正确答案

(Ⅱ).

解析

试题分析:本题属于坐标系与参数方程的综合应用问题,属于简单题,只要掌握相关的知识,即可解决本题,解析如下:

(II)在(I)中建立的极坐标系中,直线的极坐标方程为

所对应的极径分别为的极坐标方程代入的极坐标方程得

于是

所以的斜率为.

考查方向

本题考查了圆的极坐标方程与普通方程互化, 直线的参数方程,点到直线的距离公式等知识点。

解题思路

(2)先求出直线l的极坐标方程,将其带入C的极坐标方程得到关于的一元二次方程,再根据维达定理、弦长公式求出,进而求出直线的斜率.

易错点

不能熟记极坐标方程与参数方程的互化公式及应用导致本题出错。

第(5)小题正确答案及相关解析

正确答案

(Ⅰ)

解析

试题分析:本题属于不等式的选讲内容,不等式证明选讲多以绝对值不等式为载体命制试题,主要涉及图像、解不等式、由不等式恒成立求参数范围等,解决此类问题通常转换为分段函数求解,注意不等式的解集一定要写出集合形式,属于简单题,只要掌握相关不等式的知识,即可解决本题,解析如下:

(I)

时,由解得

时,

时,由解得.

所以的解集.

考查方向

本题考查了绝对值不等式,不等式的证明等知识点。

解题思路

(1)根据零点分段讨论法直接求解;

易错点

第二问不知如何运用已知条件导致此问无思路。

第(6)小题正确答案及相关解析

正确答案

(Ⅱ)详见解析.

解析

试题分析:本题属于不等式的选讲内容,不等式证明选讲多以绝对值不等式为载体命制试题,主要涉及图像、解不等式、由不等式恒成立求参数范围等,解决此类问题通常转换为分段函数求解,注意不等式的解集一定要写出集合形式,属于简单题,只要掌握相关不等式的知识,即可解决本题,解析如下:

(II)由(I)知,当时,

从而

因此

考查方向

本题考查了绝对值不等式,不等式的证明等知识点。

解题思路

(2)采用平方作差法,再临行因式分解,进而可证当

易错点

第二问不知如何运用已知条件导致此问无思路。

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