理科数学 东城区2017年高三上学期期末考试
精品
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单选题 本大题共8小题,每小题5分,共40分。在每小题给出的4个选项中,有且只有一项是符合题目要求。
1
题型: 单选题
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分值: 5分

2.抛物线的准线方程是(  )

A

B

C

D

正确答案

D

解析

由抛物线的标准方程知道,所以准线方程为

考查方向

抛物线的标准方程。

解题思路

先求出的值,再求出准线方程。

易错点

①焦点的位置要看清楚②要求正确。

1
题型: 单选题
|
分值: 5分

4.执行如图所示的程序框图,输出的值为(  )

A

B

C

D

正确答案

B

解析

否,所以输出8

考查方向

当型循环结构

解题思路

逐步满足循环结构中的,直到不符合就输出值。

易错点

循环过程中注意按照流程线进行。

1
题型: 单选题
|
分值: 5分

5.已知,且,则(  )

A

B

C

D

正确答案

D

解析

正切函数在上递增故A选项不对;对B选项可以考虑函数求导后可以看到其不单调,故B不对;不一定大于零故C不对;因为函数在R上单调递增所以成立。

考查方向

函数的综合应用

解题思路

逐个选项构造函数

易错点

①不能熟练构造函数②注意各种方法的应用

1
题型: 单选题
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分值: 5分

7.某三棱锥的三视图如图所示,则该三棱锥的体积为(  )

A

B

C

D

正确答案

B

解析

本题先从俯视图入手容易解决。

考查方向

由三视图求直观图的体积。

解题思路

俯视图结合主视图即可。

易错点

空间想象能力不足。

1
题型: 单选题
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分值: 5分

8.数列表示第天午时某种细菌的数量.细菌在理想条件下第天的日增长率().当这种细菌在实际条件下生长时,其日增长率会发生变化.下图描述了细菌在理想和实际两种状态下细菌数量随时间的变化规律.那么,对这种细菌在实际条件下日增长率的规律描述正确的是()

A

B

C

D

正确答案

B

解析

由图像可知,第一天到第六天,实际情况与理想情况重合,为定值,而实际情况在第10天后增长率是降低的,并且降低的速度是变小的故选B

考查方向

分析图像解决问题的能力。

解题思路

从第一天到第六天至关重要,以及第10天后增长率的变化。

易错点

分析不到位,把握不到关键信息。

1
题型: 单选题
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分值: 5分

1.已知集合,则 (  )

A

B

C

D

正确答案

C

解析

由A得取交集可得答案

考查方向

集合的交集运算。

解题思路

先求A集合再进行交集

易错点

计算错误。

1
题型: 单选题
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分值: 5分

3.“”是“直线与圆相切”的 (  )

A充分而不必要条件

B必要而不充分条件

C充分必要条件

D既不充分也不必要条件

正确答案

A

解析

充分性:时圆心到直线的距离为3,等于半径,则时直线与圆相切;必要性:与圆相切可得,所以“”是“直线与圆相切”的充分不必要条件

考查方向

充分必要条件

解题思路

从充分性和必要性两个方面分别考虑,注意直线与圆相切时大多采用圆心到直线的距离等于半径。

易错点

①充分性和必要性的正确理解②熟练解决圆和直线相切的问题。

1
题型: 单选题
|
分值: 5分

6.已知是定义在上的奇函数,且在上是增函数,则的解集为(  )

A

B

C

D

正确答案

C

解析

已知是定义在上的奇函数,所以,则有,当时可得的解集为

考查方向

奇函数的应用。

解题思路

是定义在上的奇函数得出至关重要。

易错点

忽略

填空题 本大题共6小题,每小题5分,共30分。把答案填写在题中横线上。
1
题型:填空题
|
分值: 5分

9.若复数是纯虚数,则实数        

正确答案

解析

,则有,所以

考查方向

复数的概念。

解题思路

化简计算,根据纯虚数的含义求出值。

易错点

计算错误。

1
题型:填空题
|
分值: 5分

10.若满足 则的最大值为        

正确答案

6

解析

,化为,求目标函数的最大值,只需要求直线轴截距的最大值,容易得到最优解为(2,2)时目标函数取得最大值6

考查方向

线性规划

解题思路

先画出不等式组所表示的目标区域,再通过平移即可得到取最大值时的最优解,进而求出其最大值。

易错点

不等式组所表示的区域要找准以及平移目标函数要准确。

1
题型:填空题
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分值: 5分

12.在△中,若,则        ; 若,则_______.

正确答案

解析

由余弦定理可知,由等面积知,知

考查方向

解三角形。

解题思路

第一问直接用余弦定理即可,第二问注意等面积法应用。

易错点

①余弦定理正确应用②观察到等面积法的简洁方便。

1
题型:填空题
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分值: 5分

14.关于的方程的实根个数记为.若,则=_______;若,存在使得成立,则的取值范围是_________.

正确答案

解析

,则函数的值域为R,且函数为单调函数,故方程只有一个解,故,当恒成立。若存在使得成立,则时,函数的最大值大于2,且对称轴位于轴右侧,即

解得

考查方向

函数的综合应用。

解题思路

,则则函数的值域为R,且函数为单调函数,故方程只有一个解,故,若若存在使得成立,则时,函数的最大值大于2,且对称轴位于轴右侧,解得答案。

易错点

分析问题的能力,分类讨论的思想。

1
题型:填空题
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分值: 5分

11.若点到双曲线的一条渐近线的距离为,则_______.

正确答案

解析

因为双曲线,即到渐近线的距离为,所以为双曲线的焦点,所以,所以

考查方向

双曲线的几何意义。

解题思路

根据焦点到渐近线的距离为这个结论。

易错点

对这一结论要熟练

1
题型:填空题
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分值: 5分

13.在△所在平面内一点,满足,延长于点,若,则_______.

正确答案

解析

,设,则有,即

,又因为,所以,由题知

,所以

考查方向

平面向量的基本定理的应用。

解题思路

向量的分解即用基底来表示,转化到已知条件。

易错点

①不会转化②要善于观察做题方向。

简答题(综合题) 本大题共80分。简答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
1
题型:简答题
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分值: 13分

已知是等比数列,满足,数列是首项为,公差为的等差数列.

15.求数列的通项公式;

16.求数列的前项和.

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

解析

设等比数列的公比为

由题意,得

所以

又数列是首项为,公差为的等差数列,

所以

从而

考查方向

等差数列和等比数列的通项公式。

解题思路

根据等比数列的通项公式即可求得,再根据为等差数列,由等差数列的通项公式即可解得答案。

易错点

计算要正确

第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

解析

由(Ⅰ)知

数列的前项和为.            ……………9分

数列的前项和为.     ……………12分

所以,数列的前项和为

考查方向

等差数列和等比数列的前项和.

解题思路

数列由等差数列和等比数列构成,因此采取分组求和即可。

易错点

计算要仔细,化简容易出现错误。

1
题型:简答题
|
分值: 13分

设函数

22.若的极小值,求的值;

23.若恒成立,求的最大值.

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

解析

的定义域为

因为

所以

因为的极小值,

所以,即

所以

此时,

时,单调递减;

时,单调递增.

所以处取得极小值,

所以

考查方向

函数的极值的求法

解题思路

求导后根据0是极小值点知,得到,再进行检验即可。

易错点

容易忽视检验,解题的严密性。

第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

1

解析

由(Ⅰ)知当时,上为单调递增函数,

所以

所以恒成立.

因此,当时,

恒成立.

时,

所以,当时,,因为上单调递减,

所以

所以当时,并非对恒成立.

综上,的最大值为

考查方向

恒成立的问题。

解题思路

分类讨论的思想,借助前面的结果。

易错点

本题要能够找准突破点。

1
题型:简答题
|
分值: 14分

已知椭圆经过点,离心率为是椭圆上两点,且直线的斜率之积为为坐标原点.

24.求椭圆的方程;

25.若射线上的点满足,且与椭圆交于点,求的值.

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

解析

由题意得

解得,所以椭圆的方程为

考查方向

椭圆的标准方程。

解题思路

由题直接能够求得,再根据,即可求得

易错点

的正确求解。

第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

解析

因为点在直线上且满足

所以

因为三点共线,

所以

所以

解得

因为点在椭圆上,所以

所以

因为在椭圆上,

所以

因为直线的斜率之积为

所以,即

所以,解得

所以

考查方向

圆锥去想问题中的计算能力。

解题思路

关系的应用,

易错点

运算要仔细。

1
题型:简答题
|
分值: 13分

已知函数部分图象如图所示.

17.求的最小正周期及图中的值;

18.求在区间上的最大值和最小值.

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

,

解析

由题意.     ………2分

因为点图象上,

所以

又因为

所以.                        …………4分

所以

考查方向

周期公式以及的求法。

解题思路

先求周期再根据特殊点计算

易错点

①公式的正确应用②值的求法。

第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

最大值2,最小值

解析

由(Ⅰ)知

因为,所以

,即时,取得最大值

,即时,取得最小值

考查方向

三角函数在给定区间上的最大最小值。

解题思路

的范围求得的范围然后根据正弦函数的图像求得最大最小值。

易错点

容易忽视已知的范围。

1
题型:简答题
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分值: 14分

如图,在四棱锥中,底面为矩形,平面平面中点.

19.求证:∥平面

20.求二面角的余弦值;

21.在棱上是否存在点,使得?若存在,求的值;若不存在,说明理由.

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

∥平面

解析

的交点为,连结

因为为矩形,所以的中点.

在△中,由已知中点,

所以

平面

平面

所以∥平面

考查方向

线面平行的判定定理。

解题思路

关键找到

易错点

定理的完整表述。

第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

解析

中点,连结

因为△是等腰三角形,的中点,

所以

又因为平面平面

平面

所以平面

中点,连结

由题设知四边形为矩形,

所以

所以.…………………1分

如图建立空间直角坐标系

设平面的法向量为

,即

,则 .

所以

平面的法向量为

的夹角为,所以

由图可知二面角为锐角,

所以二面角的余弦值为

考查方向

二面角的求法

解题思路

建立坐标系用向量的方法

易错点

①向量法运用中坐标的正确求解②法向量求法

第(3)小题正确答案及相关解析

正确答案

解析

是棱上一点,则存在使得

因此点

,即

因为,所以在棱上存在点,使得

此时,

考查方向

存在性的解法

解题思路

假设存在,然后由即可求得

易错点

计算易错。

1
题型:简答题
|
分值: 13分

已知集合

,其中

26.若,写出中与正交的所有元素;

27.令.若,证明:为偶数;

28.若,且中任意两个元素均正交,分别求出时,中最多可以有多少个元素.

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

解析

中所有与正交的元素为

考查方向

分析问题。

解题思路

直接列出即可。

易错点

列不完全。

第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

为偶数;

解析

对于,存在

使得

;当,当.

那么.

所以为偶数.……………………4分

考查方向

分析处理问题的能力。

解题思路

根据题设直接计算。

易错点

对待陌生问题的应变能力。

第(3)小题正确答案及相关解析

正确答案

时,中最多可以有个元素;时,中最多可以有个元素.

解析

8个,2个

时,不妨设

在考虑时,共有四种互相正交的情况即: ,分别与搭配,可形成8种情况.

所以时,中最多可以有个元素.………………………10分

时,

不妨设,则正交.

且它们互相正交.

相应位置数字都相同的共有个,除去这列外

相应位置数字都相同的共有个,

相应位置数字都相同的共有个.

.

所以,同理.

可得.

由于,可得矛盾.

所以任意三个元素都不正交.

综上,时,中最多可以有个元素.     ………13分

考查方向

综合分析问题的能力。

解题思路

分类讨论的思想的应用。

易错点

分类讨论不完整。

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